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        一題多解
        ——直線與圓相交時的有關(guān)垂直問題

        2019-11-25 03:58:56朱樹家徐加華
        數(shù)理化解題研究 2019年31期
        關(guān)鍵詞:本法圓心題意

        朱樹家 徐加華

        (山東省新泰市第一中學 271200)

        直線與圓相交時的有關(guān)垂直問題,涉及問題形式較多,方法比較靈活,方法的選擇尤為重要,方法選擇得當,則會節(jié)省解題時間,從而提高解題速度.現(xiàn)舉例加以說明.

        例1已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.

        (1)若此方程表示圓,求m的取值范圍;

        (2)若(1)中的圓與直線x+2y-4=0相交于M,N兩點,且OM⊥ON(O為坐標原點),求m的值.

        解(1)由題意得4+16-4m>0.解得m<5.

        (2)方法一(圓系方程)

        設(shè)過M,N兩點的圓的方程為x2+y2-2x-4y+m+λ(x+2y-4)=0,

        即x2+y2+(λ-2)x+(2λ-4)y+m-4λ=0,

        故(λ-2)2+(2λ-4)2-4(m-4λ)>0. ①

        說明:本法借助于圓系方程,由OM⊥ON知O在以MN為直徑的圓上,利用過M,N兩點的圓系方程,其圓心在已知直線上且過原點來構(gòu)造含有m的方程組進行求解.

        說明:本法借助于數(shù)量積的運算,把垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的坐標運算,進一步把坐標的關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程的根的關(guān)系,從而借助于韋達定理來構(gòu)造含有m的方程,來求得m的取值.

        說明:本法借助于圓的弦長公式,以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半來求解.

        變式:若此圓圓心為C,且CM⊥CN,求m的值.

        解析方法一(圓系方程)

        設(shè)過M、N兩點的圓的方程為:x2+y2-2x-4y+m+λ(x+2y-4)=0,

        即x2+y2+(λ-2)x+(2λ-4)y+m-4λ=0,

        故(λ-2)2+(2λ-4)2-4(m-4λ)>0。 ②

        (1)求曲線E的方程;

        (2)已知m≠0,設(shè)直線l1:x-my-1=0交曲線E于A、C兩點,直線l2:mx+y-m=0交曲線E于B、D兩點,若CD的斜率為-1時,求直線CD的方程.

        得(x+1)2+y2=3((x+1)2+y2),

        化簡得(x-2)2+y2=3.

        (2)由題意知l1,l2均過定點P(1,0),且l1⊥l2,故直線CD與圓E相交,且PC⊥PD.

        以下用兩種方法求解

        方法一(代數(shù)法) 設(shè)直線CD方程為y=-x+b.

        Δ=-4b2+24>0,b2<6.

        =b2-3b=0,得b=0或b=3.滿足b2<6.

        故直線的方程為y=-x或y=-x+3,即x+y=0或x+y-3=0.

        方法二(圓系方程) 設(shè)直線方程為x+y+b=0.

        過CD的圓的方程為

        x2-4x+y2+1+λ(x+y+b)=0,

        即x2+y2+(λ-4)x+λy+λb+1=0,

        (λ-4)2+λ2-4(λb+1)>0.③

        易知:以CD為直徑的圓過P(1,0),且圓心在直線x+y+b=0上.

        說明:本題若采用幾何法,計算相對來說復雜一些,在此不再贅述.本題的關(guān)鍵在于看出l1,l2均過定點P(1,0),且l1⊥l2.

        本文通過三個例題列舉了直線與圓相交時有關(guān)垂直問題的三種解法,通過解答,讀者不難看出各解法的優(yōu)劣.由此可見方法選擇得當,會避免一些復雜的計算,提高解題速度,在考試中也會為其它題目爭取更多的解題時間.當然,方法的選擇還需要靠平時的積累,希望在此能起到拋磚引玉的作用.

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