張克磊 方 林

(1.安徽省定遠縣第二中學(xué) 233200;2.安徽省巢湖市第四中學(xué) 238000)

常言道：“數(shù)理不分家”, 數(shù)學(xué)與物理是聯(lián)系緊密的兩門學(xué)科，數(shù)學(xué)是物理解題的工具，物理又可以使數(shù)學(xué)知識得到運用.在高中物理競賽中有很多試題涉及到圓錐曲線知識，需要考生掌握一定的數(shù)學(xué)知識，如2018年度全國高中應(yīng)用物理競賽中就出現(xiàn)了運用橢圓面積求做功的試題，橢圓面積如何求解，僅數(shù)學(xué)方法有多種，本文將分別從數(shù)學(xué)和物理兩個角度推導(dǎo)橢圓的面積，為師生提供參考.

解法一 數(shù)學(xué)方法之積分法

根據(jù)橢圓圖形的對稱性可知，整個橢圓的面積應(yīng)等于位于第一象限內(nèi)圖形面積的4倍.

如圖1所示，取x為積分變量，由題意知0≤x≤a，

解法二 數(shù)學(xué)方法之射影法

解法三 物理方法之開普勒定律結(jié)合機械能守恒定律

如圖3所示，P、Q兩點為行星運動的橢圓軌道的遠地點和近地點，F(xiàn)為橢圓焦點(與太陽中心重合)，設(shè)軌道的半長軸為a、半短軸為b、焦距為c，設(shè)vP、vQ分別表示衛(wèi)星在這兩點的速度，由開普勒第二定律可知衛(wèi)星和地球的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等，取極短的時間Δt，則有