黃蘇梅

(福建省南靖一中 363600)

函數(shù)“零點”問題是數(shù)學函數(shù)教學內(nèi)容的重點和難度，同時也是連接代數(shù)和幾何的樞紐，據(jù)有高度的綜合性.所謂的函數(shù)零點，從代數(shù)的角度來說是方程的實根，即對于函數(shù)y=f(x)，當y=0的時候，x的實數(shù)解就是函數(shù)的零點；從幾何的角度來說，函數(shù)零點就是函數(shù)y=f(x)的圖象與橫坐標軸的交點的坐標.在新課程的背景下，函數(shù)“零點”問題逐漸成為教師、學生關注的焦點，也是高考的熱點，筆者借助數(shù)學思想，對有關函數(shù)“零點”問題的幾種類型進行巧妙解決.

一、借助“轉(zhuǎn)化思想”巧解

轉(zhuǎn)化思想是高中數(shù)學一種常用的解題方法，通過轉(zhuǎn)化思想的運用，將未知的問題進行分析、對比或聯(lián)想，采用正確的數(shù)學手段進行轉(zhuǎn)化，從而變成已知的問題或熟悉的問題，然后運用已知的方法進行解決.轉(zhuǎn)化思想的實質(zhì)是“尋求聯(lián)系，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化”.

例1 如果函數(shù)f(x)=x2-ax+2在區(qū)間[0,1]內(nèi)至少有一個零點，那么實數(shù)a的取值范圍是____.

∵易知函數(shù)g(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，∴g(x)∈[3,+).

故所求實數(shù)a的取值范圍是[3,+).

評注上述求解過程進行了兩次轉(zhuǎn)化——第一次將函數(shù)有零點轉(zhuǎn)化為對應方程有實數(shù)解；第二次通過分離參數(shù)將求參數(shù)的取值范圍轉(zhuǎn)化為求對應函數(shù)的值域.

變式2 如果函數(shù)f(x)=x2lna-2x+2只有一個零點在區(qū)間(1,2)上，那么實數(shù)a的取值范圍是____.

總結這類試題一般都需要用轉(zhuǎn)化思想將未知的函數(shù)轉(zhuǎn)化為已知的函數(shù)，即通過函數(shù)零點與x軸交點的性質(zhì)，令函數(shù)f(x)=0，從而構建新的關于a和x的函數(shù)，零點所在的范圍轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的定義域，實數(shù)a的取值范圍轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的值域，這樣，看似復雜的函數(shù)零點問題，就通過化歸思想變?yōu)閷W生熟悉的給出定義域求值域的問題，從而有效地解決問題.

二、借助“數(shù)形結合思想”巧解

高中數(shù)學問題中，“數(shù)”與“形”是不分彼此的兩個方面，“形”是“數(shù)”的直觀體現(xiàn)，“數(shù)”是“形”的精確描述，數(shù)形結合思想就是將“數(shù)”與“形”聯(lián)系起來，對問題進行綜合的分析和解決.華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休.”由此可見，數(shù)形結合的巧妙應用，可以起到事半功倍的效果.

例2 已知函數(shù)f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=log2x-2的零點分別為a,b,c，則( ).

A.a

解析∵函數(shù)f(x)的零點就是方程2x=-x的根，∴通過在同一坐標系內(nèi)作函數(shù)y=2x和y=-x的圖象，經(jīng)觀察即知a<0.

∵函數(shù)g(x)的零點就是方程log2x=-x的根，∴通過在同一坐標系內(nèi)作函數(shù)y=log2x和y=-x的圖象，經(jīng)觀察即知0

∵函數(shù)h(x)=log2x-2的零點為c，∴l(xiāng)og2c-2=0?c=4.

綜上知，a

評注本題主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與函數(shù)零點的交匯，此外要注意比較大小時經(jīng)常要以“0”、“1”等作為橋梁.

變式設函數(shù)f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x的零點分別為a,b，則( ).

A.ab>0 B.ab<0 C.ab>1 D.ab<1

總結數(shù)形結合思想是解決函數(shù)“零點”問題的有效方法，通過函數(shù)零點的概念，可以通過函數(shù)的圖象讓學生直接觀察出函數(shù)與坐標軸的交點(或函數(shù)與函數(shù)的交點)，從而順利地解決問題.在涉及有關函數(shù)“零點”問題的時候，如果只是一個函數(shù)的零點問題，這個一般運用代數(shù)的方法可能更直接、更精確，而當試題涉及到兩個或以上函數(shù)的“零點”問題，并求這些組合函數(shù)零點的范圍、比較大小、求和、求積的時候，代數(shù)的方法往往不能夠得出答案，這就需要考慮數(shù)形結合思想，將組合函數(shù)進行拆分，并在坐標中畫出這些函數(shù)的圖象，所求問題的答案就躍然于紙上，數(shù)形結合的優(yōu)勢自然地體現(xiàn)出來.

三、借助“分類與整合思想”巧解

分類與整合思想就是在對一個問題進行分析的時候，問題存在多種的情況，這就需要學生根據(jù)數(shù)學原理對問題進行分類，并根據(jù)所分的類別進行逐一分析，在分類的時候要不多不少，最后對滿足題意的解進行整合，從而得出答案.“化整為零”、“各個擊破”是對分類整合思想形象的描述.進行分類討論時，我們要遵循的原則是：標準統(tǒng)一，不漏不重.

例3已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≥0時，f(x)=x2-2mx+m.若函數(shù)f(x)只有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是____.

解析注意到二次函數(shù)y=x2-2mx+m的圖象開口向上，必過點(0,m)，且對稱軸為x=m.于是，本題可分以下三種情況加以討論.

(1)若m>0，則由函數(shù)f(x)的圖象必過點(0,m)且關于y軸對稱，易知為滿足題意應使Δ=(-2m)2-4×1×m=0，又m>0，解得m=1.

(2)若m=0，則∵函數(shù)f(x)=x2只有一個零點，∴m=0不適合題意.

(3)若m<0，則通過作出函數(shù)f(x)的大致圖象判斷即知，此時函數(shù)f(x)必有兩個不同的零點，適合題意.

綜上知，所求實數(shù)m的取值范圍是(-,0)∪{1}.

評注(1)本題具有綜合性，主要考查函數(shù)的奇偶性、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及函數(shù)的零點.(2)由于含參二次函數(shù)y=x2-2mx+m圖象的對稱軸位置不確定，所以靈活運用“分類與整合思想”是本題順利求解的關鍵所在.

綜上，關注有關數(shù)學思想在求解函數(shù)“零點”問題中的靈活運用，有利于迅速探求具體的解題思路，逐步提高分析、解決此類問題的實際能力，且學且悟且應用！