賈凌云

(廣東省惠州市黃岡中學(xué)惠州學(xué)校 516001)

一、教材地位與背景分析

2018年高考改革明確提出高中教學(xué)中增加復(fù)數(shù)的三角形式.通過(guò)引入復(fù)數(shù)三角形式,可以簡(jiǎn)化復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算,徹底解決復(fù)數(shù)乘方開(kāi)方運(yùn)算,使復(fù)數(shù)知識(shí)的教學(xué)更完善,將復(fù)數(shù)與三角知識(shí)綜合,不但對(duì)三角公式能起到鞏固作用,并使某些知識(shí)如倍角、解方程等知識(shí)得到發(fā)展與深化,可以銜接高次方程的解法,使學(xué)生解方程的能力得到拓展.教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行復(fù)數(shù)三角形式的乘除運(yùn)算的教學(xué)時(shí),可以輕易得出棣莫弗定理,如果再適當(dāng)介紹歐拉公式,得出復(fù)數(shù)指數(shù)形式,三角形式和指數(shù)形式可以形成順利對(duì)接!或者將二項(xiàng)式定理用于棣莫弗公式,實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)與二項(xiàng)式定理的溝通,為學(xué)生展開(kāi)了一副非常壯闊的數(shù)學(xué)前景,可以為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成起到了引領(lǐng)的作用.

二、對(duì)教材內(nèi)容操作的探究

能力的培養(yǎng)是教學(xué)活動(dòng)的中心，理解教材是一個(gè)復(fù)雜的思維過(guò)程，為了便于學(xué)生準(zhǔn)確地理解教材，正確思維，教師要善于運(yùn)用比較、分析、綜合等邏輯思維方法和歸納、演繹等邏輯推理形式，來(lái)引導(dǎo)和組織學(xué)生的思維過(guò)程，讓學(xué)生在課堂中自己去觀察、去探索、去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并解決問(wèn)題，為了達(dá)到這樣的教學(xué)目標(biāo)，精心設(shè)計(jì)的教學(xué)思路就是一個(gè)老師對(duì)學(xué)生最好的幫助，下面是我的一個(gè)設(shè)想.

首先, 在復(fù)平面內(nèi)將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化成三角形式，從而得復(fù)數(shù)的到三角形式的定義,即

其次，設(shè)z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),通過(guò)使z1=z2=z得到

z2=r2(cos2θ+isin2θ) ,再繼續(xù)推導(dǎo)出z3=r3(cos3θ+isin3θ),……

從而歸納出棣莫弗公式zn=rn(cosnθ+isinnθ).

再次,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)棣莫弗公式進(jìn)行證明:

第四,介紹歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ,并代入z=r(cosθ+isinθ)得到復(fù)數(shù)的指數(shù)形式z=reiθ,在指數(shù)形式下再來(lái)證明棣莫弗定理：

證明：zn=rn(cosθ+isinθ)n=rn(eiθ)n=rneiθn=rn(cosnθ+isinnθ).

這個(gè)證明方法實(shí)在太漂亮了，哪個(gè)學(xué)生不會(huì)因此愛(ài)上數(shù)學(xué)？

對(duì)于多數(shù)學(xué)生而言,復(fù)數(shù)三角形式的教學(xué)到此完成一個(gè)段落,但是對(duì)于基礎(chǔ)好的學(xué)生,可以繼續(xù)拓展深化.

第五,將(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ的左邊用二項(xiàng)式定理展開(kāi)得到

本文樣本來(lái)自《中國(guó)工業(yè)企業(yè)數(shù)據(jù)庫(kù)》，樣本時(shí)間區(qū)間為2002～2006年。剔除相關(guān)變量缺失、數(shù)據(jù)明顯錯(cuò)誤(比如員工數(shù)量為0，資產(chǎn)小于0)樣本，最終形成時(shí)間范圍為2002～2006年的平衡面板數(shù)據(jù)，共計(jì)77 705家企業(yè)，所屬行業(yè)均為制造業(yè)。

在此，復(fù)數(shù)與二項(xiàng)式定理完美結(jié)合，為學(xué)生開(kāi)啟了一扇領(lǐng)略數(shù)學(xué)之美的智慧之窗.

三、對(duì)教材其他模塊知識(shí)的深化

概念的掌握并不是一次完成的，它是一個(gè)由淺入深、由易到難的循序漸進(jìn)的過(guò)程，學(xué)生學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的三角形式后容易將一些含有三角符號(hào)的復(fù)數(shù)表達(dá)式混同于復(fù)數(shù)的三角形式.為使學(xué)生準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)，教師設(shè)計(jì)問(wèn)題幫助學(xué)生區(qū)別其本質(zhì)與非本質(zhì)的屬性是必不可少的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

例如：將復(fù)數(shù)z=1-cosθ+isinθ(0<θ<π)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的三角形式.

此時(shí)復(fù)數(shù)z滿足了“模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連”，是標(biāo)準(zhǔn)的三角形式.通過(guò)這個(gè)問(wèn)題的分析，復(fù)數(shù)三角形式的本質(zhì)特點(diǎn)清晰得呈現(xiàn)出來(lái)：“模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連”.教學(xué)中通過(guò)將代數(shù)形式的復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形式，訓(xùn)練了學(xué)生的思維能力，也深化和鞏固了三角函數(shù)，對(duì)數(shù)學(xué)必修四中三角誘導(dǎo)公式及三角恒等變形能力有很大的促進(jìn).

即eiπ+1=0，這個(gè)等式將數(shù)學(xué)中最常用的五個(gè)數(shù)聯(lián)系起來(lái)的，被稱(chēng)為歐拉恒等式.

縱觀這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，緊緊圍繞復(fù)數(shù)的三角形式這一主題，依照學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，由淺入深地剖析概念，用例題辨析易錯(cuò)點(diǎn)，通過(guò)知識(shí)點(diǎn)間的新舊交融、步步設(shè)疑、點(diǎn)撥誘導(dǎo)、歸納類(lèi)比、適度拓展的教學(xué)策略，啟發(fā)學(xué)生積極思考，不斷探索，用老師的教促進(jìn)學(xué)生學(xué)，即教學(xué)生學(xué)！讓課堂成為學(xué)生思維活動(dòng)展示的舞臺(tái).數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)的思維思考世界,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”.通過(guò)對(duì)復(fù)數(shù)三角形式的教學(xué)，我們可以向?qū)W生充分展示數(shù)學(xué)之美，是新課標(biāo)中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的絕好的載體.