楊高翔 吳航航

(安康學院數學與統(tǒng)計學院， 陜西 安康 725000)

在隨機變量分布函數一節(jié)的教學中，發(fā)現許多學生都難以理解分布函數的概念，在計算隨機變量分布函數時感到無從下手。為幫助學生克服學習難點，文獻[1— 4]已從不同的方面就分布函數的教學問題進行了探討。下面，針對隨機變量分布函數的計算問題，再介紹一種問題轉化方法。

關于隨機變量分布函數，教材[5]給出的定義是：設X為隨機變量，則下面這個函數就是X的分布函數。

F(x)=P(X≤x),x∈(-∞,+∞)

上述定義不僅包含了對離散型隨機變量統(tǒng)計規(guī)律的描述，也包含對連續(xù)型隨機變量統(tǒng)計規(guī)律的描述。

1 離散型隨機變量分布函數的問題轉化

設離散型隨機變量X的分布律如下，求X的分布函數F(x)。

X-1012P0.20.10.30.4

將問題轉化為：已知X=-1,0,1,2，且x∈(-∞,+∞)，求滿足不等式X≤x的X值有哪些。

【分析】 對于轉化后的問題，要得到滿足不等式X≤x的X值有哪些，則需討論x的取值情況。

當x<-1時，滿足不等式X≤x的X值不存在；

當-1≤x<0時，滿足不等式X≤x的X值為-1；

當0≤x<1時，滿足不等式X≤x的X值為-1,0；

當1≤x<2時，滿足不等式X≤x的X值為-1,0,1；

當x≥2時，滿足不等式X≤x的X值為-1,0,1,2；

根據上述x的取值情況，結合隨機變量X的概率分布律，則容易得到隨機變量X的分布函數。

當x<-1時，因滿足不等式X≤x的X值不存在，所以X的分布函數為：

F(x)=P(X≤x)=0

當-1≤x<0時，要滿足不等式X≤x，則X=-1；所以，X的分布函數為：

F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)

當0≤x<1時，要滿足不等式X≤x，則X=-1,0；所以，X的分布函數為：

F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0)

=0.3

當1≤x<2時，要滿足不等式X≤x，則X=-1,0,1；所以，X的分布函數為：

F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=0.6

當x≥2時，要滿足不等式X≤x，則X=-1,0,1,2；所以，X的分布函數為：

F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1.0

2 連續(xù)型隨機變量分布函數的問題轉化

設隨機變量X的概率密度函數如下，求隨機變量X的分布函數F(x)。

將問題轉化為：已知函數f(t)在(-∞,+∞)上的表達式如下，求函數f(t)在(-∞,x)上的表達式，其中x∈R。

【分析】 對于轉化后的問題，要得到函數f(t)在(-∞,x)上的表達式，同樣需要討論x的取值情況。

當x<0時，函數f(t)在(-∞,x)上的表達式為：

f(t)=0,t∈(-∞,x)

當0≤x<1時，函數f(t)在(-∞,x)上的表達式為：

當1≤x<2時，函數f(t)在(-∞,x)上的表達式為：

當x≥2時，函數f(t)在(-∞,x)上的表達式為：

根據上述表達式，可非常容易地得到隨機變量X的分布函數。

當x<0時，隨機變量X的分布函數為：

當0≤x<1時，隨機變量X的分布函數為：

當1≤x<2時，隨機變量X的分布函數為：

當x≥2時，隨機變量X的分布函數為：

把離散型隨機變量的分布函數計算問題，轉化為主要討論滿足一類不等式的取值問題；把連續(xù)型隨機變量的分布函數計算問題，轉化為主要討論已知函數在負半無窮區(qū)間上的表達式問題。通過這種問題轉化，計算隨機變量分布函數的問題就由難變易了。