文尚平　徐華

在國家推行新一輪課程改革及各地陸續(xù)進入新高考的背景下，2019年廣西高考所采用的全國Ⅲ卷文、理科數(shù)學試題的命制，既嚴格遵循《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》的要求，又緊扣《2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱（數(shù)學）》（以下簡稱《2019年考綱》），試卷結構穩(wěn)中有變、變中求新，試題設計在立足基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經(jīng)驗的同時，堅持以立德樹人、服務高校人才選拔為導向，多角度、多層次地考查考生的學科素養(yǎng)，不僅考查了邏輯推理、數(shù)學運算、創(chuàng)新意識與中國傳統(tǒng)數(shù)學文化，更突出了數(shù)學的基礎性和應用性.深入分析試題的這些特點和變化，能夠為2020年的高考備考提供一些啟示.

一、2019年高考全國Ⅲ卷數(shù)學試題分析

（一）試題結構分析

2019年高考全國Ⅲ卷數(shù)學試題的結構、分值分布與往年相比基本保持不變.結構方面講，依然是12道選擇題、4道填空題、6道解答題，解答題依舊是5道必考題和1道選考題，選考題為“二選一”模式，考生只需從坐標系與參數(shù)方程、不等式選講中任選1題解答即可;分值分布方面講，單選題60分，填空題20分，解答題70分（含選考題10分）.數(shù)列與不等式、三角函數(shù)與平面向量、概率與統(tǒng)計、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導數(shù)六大主干知識依然是考查的重點和難點，數(shù)學學科基礎知識與基本技能的考查仍為主導方向，同時也兼顧了學科素養(yǎng)與人文精神的培養(yǎng)，突出了“立德樹人”價值導向.

（二）試題特點

分析近三年高考全國Ⅲ卷數(shù)學試題（理科）可知，高考數(shù)學試題總的特點是“穩(wěn)中有變，變中求新”（如圖1）.綜觀今年全國Ⅲ卷理、文科數(shù)學試題，又可見“四個相對穩(wěn)定”和“四個變化”.“四個相對穩(wěn)定”，即題型、題量和分值相對穩(wěn)定，主干知識、基礎知識的考查相對穩(wěn)定，數(shù)學思想、通解通法的考查相對穩(wěn)定，核心素養(yǎng)、關鍵能力的考查相對穩(wěn)定.“四個變化”，即文理趨同性變大、閱讀量增加、考查內容的順序改變和部分考查內容被刪除，比如三視圖、線性規(guī)劃連續(xù)兩年未曾出現(xiàn)，程序框圖間隔一年再次出現(xiàn)等.不僅如此，試題在變化中還突出了創(chuàng)新性，比如在落實“立德樹人”的要求中突出了“勞育”，在學科融合中滲透了邊緣知識的掌握和學科應用思想的培養(yǎng)，淡化了立體幾何向量法、解析幾何固定的解題程序，考查了考生思維的創(chuàng)新性和批判性.

具體說來，2019年高考全國Ⅲ卷理、文科數(shù)學試題主要具有如下幾個特點.

1.注重基礎知識，聚焦關鍵能力，提升數(shù)學素養(yǎng)

2019年高考全國Ⅲ卷理、文數(shù)學試題的基礎題、中等難度題及難題的比例都是7∶2∶1，基本遵循了“考查基礎知識，兼顧能力考查”的原則和“對能力的考查，以思維能力為核心，突出綜合性、應用性”的指導思想，將學科知識、關鍵能力和思想方法融為一體，全面檢測了考生的數(shù)學素養(yǎng).

以理科卷為例，考查數(shù)學運算的題目有第1、2、4、5、6、9、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23題，主要考查考生的運算求解能力，體現(xiàn)了量化的數(shù)學觀.考查邏輯推理的題目有第6、9、10、15、19、20、21、23題，主要考查考生的推理論證能力.考查數(shù)學抽象思維的題目有第9、11、20題，主要考查考生的抽象概括能力.考查直觀想象的題目有第7、8、10、15、16、19、21、22題，主要考查考生的直觀想象能力，如利用圖形描述和分析數(shù)學問題.考查數(shù)據(jù)分析的題目有第3、9、17題，主要考查考生的數(shù)據(jù)處理能力，如提取題目數(shù)據(jù)的關鍵信息，對已知數(shù)據(jù)進行細致分析，建立相應的模型，進而解決相關問題.考查數(shù)學建模的題目有第12、18、21題，主要考查考生的思維過程、實踐能力和創(chuàng)新意識.

2.弘揚優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，增強文化自信

《2019年考綱》明確提出，高考命題應弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，積極培養(yǎng)和踐行社會主義核心價值觀，充分發(fā)揮高考命題的育人功能，落實“立德樹人”目標，兼顧學科素養(yǎng)與人文精神的綜合培養(yǎng).如理科卷第3題、文科卷第4題，以考生閱讀“四大名著”的調查數(shù)據(jù)為題目背景，考查了處理抽樣數(shù)據(jù)、計算頻率的估計值等知識，情境貼近實際，為考生所熟悉.

3.關注現(xiàn)實問題，落實“立德樹人”

2019年高考全國Ⅲ卷在內容上推陳出新，既結合時代背景，關注現(xiàn)實生活，又積極融入數(shù)學文化，凸顯育人價值導向.而且題目的設計具有情境真實、貼近生活、文化底蘊深厚等特點，體現(xiàn)了數(shù)學思想方法在解決實際問題中的作用.如理、文同題的第16題，為求解運用3D打印技術制作的模型的質量，創(chuàng)設了考生到工廠勞動實踐的場景，引導考生關注勞動、尊重勞動、親自參與勞動，體現(xiàn)了“勞育”的要求.又如理、文同題的第17題，以離子在生物體內殘留情況為出題背景，考查了數(shù)據(jù)統(tǒng)計與分析的知識，反映了數(shù)學的本位知識、思想方法與其他學科知識、方法的融合.

4.增大文理趨同性，為新高考作鋪墊

對比分析今年高考全國Ⅲ卷文、理科數(shù)學試題的考查內容，其中有59%的相同題、27%的姊妹題，只有14%的題目不一樣，文理趨同性更為明顯，如文科數(shù)學的第3題還滲透了理科排列組合的知識與方法.相比過去3年，今年試題難度的變化是理降文升，這與即將在全國范圍內逐步推進的取消文理分科、文理數(shù)學同卷的改革相呼應.

（三）試題解題思路點撥

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三角函數(shù)與解三角、數(shù)列與不等式、概率與統(tǒng)計、立體幾何與空間向量、解析幾何、函數(shù)與導數(shù)這六大模塊是高中數(shù)學的主干知識和核心內容，是高考考查的重點.

（1）《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》（以下簡稱《2017課標》）將三角函數(shù)歸入主題二“函數(shù)”部分，更加強調了三角函數(shù)的“函數(shù)”屬性，要求考生學會用幾何直觀和代數(shù)運算的方法研究三角函數(shù)的性質，并利用三角函數(shù)構建數(shù)學模型，解決實際問題.同時，《2017課標》把解三角形歸入主題三“幾何與代數(shù)”部分，要求考生結合向量的運算，探索三角形邊和角的關系，掌握并利用正、余弦定理解決數(shù)學問題.

如文、理同題的第18題：△ABC的內角A，B，C的對邊分別是[a]，b，c，已知[a] [sinA+C2=b] sin A.（1）求B;（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

試題分析：今年的解三角形題難度加大，考查形式更加靈活，可以說是“容易題”不“容易”，讓一大批考生措手不及.試題中，第（1）問是求解三角形的幾何要素（內角），需要利用正弦定理、三角恒等變換、誘導公式進行求解;第（2）問是已知三角形一邊與鄰角的大小，求解三角形面積的取值范圍，考查考生幾何問題代數(shù)化的思維與能力，重基礎、考能力，體現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)中的幾何直觀、數(shù)學運算能力等要素.這道題設計“入口寬，方法多”，對函數(shù)與方程、轉化與化歸的要求較高，有區(qū)分度，有利于人才選拔.

解法分析：解三角形的取值范圍問題，往往會綜合考查三角恒等變換、均值不等式、函數(shù)等知識，數(shù)形結合、代數(shù)化思想是解決這類問題的關鍵.這道題第（1）問的三種解法分別體現(xiàn)了三種不同的恒等變換方向;第（2）問解法一、解法二分別從“角”“邊”兩個截然不同的方向描述了銳角三角形，解法三體現(xiàn)了極限思想與特值思想的應用，解法四體現(xiàn)了幾何法與代數(shù)法的綜合應用.

第（1）問解法一：由題設及正弦定理[asin A=bsin B]得sinA sin[A+C2=sin Bsin A].由于[sin A≠0]，所以[sinA+C2=][sin B].又A+B+C=[180°]，即[sinA+C2=cosB2]，所以[cosB2=][2sinB2cosB2]，且[cosB2≠0]，故[sinB2=12]，且[B∈（0°，180°）]，因此[B=60°].

第（1）問解法二：解法一是消[A+C2]留[B2]，其實也可以消[B2]留[A+C2].具體為，由解法一得[sinA+C2=][sinB]，又A+B+C=[180°]，即[sinB=2sinB2cosB2=2sinB2][sinA+C2]，又[sinA+C2≠0]，所以[sinB2=12]，且[B∈（0°，180°）]，因此B=60°.

第（1）問解法三：由解法一得[sinA+C2=sinB]，兩邊平方得[sin2A+C2=][sin2B]，即[1-cos（A+C）2=sin2B]，又A+B+C=180°，即cos（A+C）=-cosB，所以[1+cosB=2sin2B]，所以[2cos2B]+cosB-1=0，解得cosB=[ 12]，因此B=60°.

第（2）問解法一：由題設及（1）知△ABC的面積[S△ABC=][34a]，根據(jù)正弦定理得[a=csinAsinC=sin（120°-C）sinC=][33tanC+][12].由于△ABC為銳角三角形，故[0°

第（2）問解法二：由面積公式[S△ABC=12acsinB]及（1）得[S△ABC][=34a].根據(jù)余弦定理[cosB=a2+c2-b22ac=12]，所以[b2=a2-][a+1]①;由于△ABC為銳角三角形，故[cosA=][b2+c2-a22bc>0]，得[b2+1-a2>0]②;由[cosC=a2+b2-c22ab>0]得[a2+b2-1>0]③;由①②③得[12

第（2）問解法三：由（1）得B=[60°]，A+C=[120°].據(jù)大角對大邊，且△ABC是銳角三角形，可知當角A無限接近[π2]時，△ABC的面積無限靠近最大值[S1]，且[S1=32].同理，當角C無限接近[π2]時，△ABC的面積無限靠近最小值[S2]，且[S2=38].因此，[S△ABC∈（38，32）].

第（2）問解法四：由面積公式[S△ABC=12acsinB]及（1）得[S△ABC=][34a].由于△AB[C′]是銳角三角形（如下圖），在[Rt△ABC′]中作[AD⊥BC′]于D，所以符合本題條件的點C在線段[DC′]內，且[BD=12]，[BC′=2]，即[12

小結：《2017課標》對三角函數(shù)各模塊做出了明確要求，除了文科和理科要求基本相同，還把正弦、余弦定理規(guī)定為“掌握”，不僅突出了能力立意、學科特征，而且考查了考生的思維能力和學習潛能，有助于推動新一輪課程改革.

（2）歷年高考中，函數(shù)與導數(shù)通常是以3小題、1大題的方式進行考查，客觀題主要考查函數(shù)的基本性質、圖像辨識、零點問題、導數(shù)、定積分及與不等式綜合等，主觀題主要是以導數(shù)為工具解決函數(shù)、方程、不等式等綜合問題.題目設計的特點是輕技巧、重方法、多層次、重能力，考生要善于挖掘題目隱含的條件和等價轉化，掌握通法，方可做到會且對、對且全、全且快.

如文科數(shù)學的第12題、理科數(shù)學的第11題：設[f]（[x]）是定義域為[R]的偶函數(shù)，且在（0，[+∞]）單調遞減，則（ ?）.所列4個選項為：A. [flog314>f2-32>f2-23]，B. [flog314>f2-23>f2-32]，C. [f2-32>f2-23>flog314]，D. [f2-23>f2-32>flog314].

試題分析：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調性，解題關鍵在于利用中間量大小比較同一區(qū)間的取值.因為[f]（[x]）是R上的偶函數(shù)，所以[flog314=f（log34）];因為[log34>][log33=1，1=20>2-23>2-32，]所以[log34>2-23>2-32].又[f（x）]在（0，+∞）單調遞減，所以[flog34

小結：函數(shù)的性質及應用是客觀題考查的重點，主要考查圖像的辨識、初等函數(shù)的性質、函數(shù)零點、不等式、導數(shù)及應用等知識，常見的是比較大小和零點問題.上述題目更加突出了函數(shù)思想方法這一考點，解題時需要淡化技巧，善于采用特值的思想方法.

再如理科數(shù)學第20題：已知函數(shù)[f（x）=2x3-ax2+b].（1）討論[f（x）]的單調性;（2）是否存在a，b，使得f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值為-1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值;若不存在，說明理由.

試題分析：這是一道常規(guī)的導數(shù)不等式綜合題，題目難度較往年有所降低，思維量不大，但運算量不少.第（1）問起點低、入手寬，考查考生根據(jù)a的取值范圍進行分類討論研究函數(shù)單調性的能力，屬于容易題;第（2）問考查考生根據(jù)a的取值范圍，結合函數(shù)單調性進行最大值和最小值判斷的能力.

解法分析：含參函數(shù)單調性的研究、最值的求解，往往伴隨著分類討論的思想與方法，所以關于分類討論的程序和模式是解決這類問題的關鍵.

解：（1）f ′[（x）=6x2-2ax=2x（3x-a），x∈]R，令[f][′][（x）=0]，得[x=0或x=a3].

①若a=0，[f][′][（x）≥0]恒成立，[f（x）]在（-∞，+∞）單調遞增.

②若[a>0]，則[x∈（-∞，0）∪（a3，+∞）]時，[f]′[（x）>0];當[x∈][（0，a3）]時，[f][′][（x）<0].故[f（x）]在[（-∞，0），（a3，+∞）]單調遞增，在[（0，a3）]單調遞減.

③若[a<0]，則[x∈（-∞，a3）∪（0，+∞）]時，[f][′][（x）>0];當[x∈（a3，0）]時，[f][′][（x）<0].故[f（x）]在[（-∞，a3），（0，+∞）]單調遞增，在[（a3，0）]單調遞減.

（2）滿足條件的a，b存在.

①當[a<0]時，由（1）知[f（x）]在[0，1]單調遞增，所以[f（x）min=f（0）=b=-1]，[f（x）max=f（1）=2-a+b=1]，解得a=0，b=-1.結果與[a<0]矛盾.

②當[a=0]時，由（1）知[f（x）]在[0，1]單調遞增，所以[f（x）min=f（0）=b=-1]，[f（x）max=f（1）=2-a+b=1]，解得a=0，b=-1.結果與[a=0]符合.

③當[0

④當[2

⑤當時[a≥3]時，由（1）知[f（x）]在[0，1]單調遞減，所以[f（x）min=f（1）=2-a+b=-1]，[f（x）max=f（0）=b=1]，解得a=4，b=1.結果與[a≥3]符合.

綜上可知，當且僅當a=0，b=-1或a=4，b=1時，f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值為-1，最大值為1.

小結：導數(shù)解答題的位置前移，難度降低，變得“友好”，體現(xiàn)了今年數(shù)學試題“穩(wěn)中有變，變中求新”的趨勢.那么，是否意味著2020年會弱化導數(shù)的考查呢？相反，今年的試題強化了導數(shù)的工具性，對考生利用這個工具分析問題、解決問題的能力，以及分類與討論的思想、意識與能力提出了更高要求，體現(xiàn)了對數(shù)學核心素養(yǎng)的數(shù)學抽象、數(shù)學運算能力的培養(yǎng)，回歸了導數(shù)的工具本質.

（3）解析幾何的考查過去一直保持著2道小題1道大題的題量，以及文理同題的基本模式，但今年的考查難度有所增大，凸顯了代數(shù)與幾何的雙重特征，體現(xiàn)了這部分內容在高考中常考常新的特點.

解析幾何的小題往往與大題互補，而且立足基礎、突出運算能力，考查重點主要是求解圓錐曲線的幾何要素，比如離心率的值（范圍）、曲線方程、焦點坐標、弦長、漸近線方程等，注重考查基礎知識、基本方法.解析幾何的大題既重視代數(shù)運算與變形，又重視對幾何性質的探究分析;既重視函數(shù)與方程的重要思想方法，又重視向量的工具作用;既重視考查考生的分析探究能力，又重視考查運算推理能力.考查的重點主要有軌跡方程的求解、定點定值問題、存在型探究性問題、范圍（最值）問題等.

如理科卷第21題：已知曲線C：[y=x22]，D為直線[y=-12]上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.（1）證明直線AB過定點;（2）若以[E（0，52）]為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.

試題分析：第（1）問是證明拋物線切點弦所在直線過定點，屬于曲線系（或直線系）過定點的問題，問題的本質是當曲線系（或直線系）運動變化時，這些曲線（或直線）相交于一點;第（2）問是計算四邊形面積問題，屬于數(shù)學建模的問題，需要建立面積函數(shù)模型.

解法分析：關于第（1）問，解決定點、定值問題常用的方法有兩個.一是從特殊到一般，先從特殊情況入手，挖掘問題本質，猜出定點（定值），再通過觀察規(guī)律證明一般性結論;二是從變量中尋求不變，即先用變量表示出要求解的點坐標，再通過推理計算得出點的坐標與變量無關，體現(xiàn)一般到特殊的推理過程.關于第（2）問，求解平面多邊形面積問題關鍵在于尋底找高，通過引進合適的變量，構建關于面積的函數(shù)模型，并結合函數(shù)單調性、均值不等式進行最值（范圍）的求解.

第（1）問解法一（先特殊后一般）：設[A（x1，x212）]，[B（x2，x222）]，[x1≠x2]，特殊地，當點D的坐標為（[0，-12]），AB直線方程為[x=12]，不妨設AB直線過定點[F（0，12）]，則kAE=kBE，即[x212-12x1-0=x222-12x2-0]，即x1x2=-1.又[y=x22]，所以[y′=x]，則[kDA=x1]，則[x1=x212+12x1-t]，整理得[x21-2tx1-1=0]，同理[x22-2tx2-1=0]，所以[x1，x2]是方程[x2-]2tx-1=0的兩根，則[x1x2=-1]，顯然符合kAF=kBF，即AB直線過定點[F（0，12）].

第（1）問解法二（先一般后特殊）：設[D（t，-12）]，[A（x1，][y1）]，[B（x2，y2）]，且[y1=x212]，又[y1=x22]，所以[y′=x]，則[kDA=x1]，[x1=y1+12x1-t]，整理得[2tx1-2y1+1=0]，同理[2tx2-2y2+1=0]，故直線[AB]方程為[2tx-2y+1=0]，當[2x=0-2y+1=0]時等式恒成立，所以直線[AB]過定點[（0，-12）].

第（2）問解法一：由（1）知直線[AB]的方程為[y=tx+][12]，由[y=tx+12y=x22]可得[x2-2tx-1=0]，則[x1+x2=2t，x1x2=][-1，][y1+y2=t（x1+x2）+1=2t2+1]，[AB=1+t2x1-x2=][（x1+x2）2-4x1x2=2][（t2+1）].設[d1，d2]分別為[D，E]點到直線[AB]的距離，則[d1=t2+1]，[d2=2t2+1].因此，[SADBE=12AB][（d1+d2）=（t2+3）t2+1].

設[C]為線段[AB]的中點，則[C（t，t2+12）].由于[EC⊥][AB]，而[EC]=（t，t2-2），且[AB]與向量（1，t）平行，所以t+t（t2-2）=0，解得t=0或t=±1.當t=0時，SADBE=3;當t=±1時，SADBE=4[2].因此，四邊形ADBE的面積為3或4[2].

第（2）問解法二：由（1）知直線AB的方程為[y=tx+][12]，當[t=0]時，[D（0，-12），A（-1，12），B（1，12）]，則[SADBE=12×][1×2+12×2×2]=3;當t≠0時，設AB中點C（x0，y0），F(xiàn)（0，[12]），聯(lián)立方程[y=tx+12y=x22]得[x2-2tx-1=0]，所以[x1+x2=][2t]，[x1x2=-1]，[Δ>0]，所以[x0=x1+x22=t]，[y0=t2+12]①.此時直線EG方程為[y-y0=-1t]（x-x0），結合①得y=[-1tx+32+][t2]，由于過點（0，[52]），則t2=1，即t=±1.當t=1時，[AB=][AF+BF]=y1+y2+1=x1+x2+2=4，點D，E到直線AB的距離d1=d2=[2]，所以SADBE=4[2];同理t=-1時，SADBE=4[2].因此，四邊形ADBE的面積為3或4[2].

小結：本題對考生的推理計算能力的要求較高，既重視思想方法，特別是函數(shù)方程、等價轉化等的思維，也重視計算，繁雜、冗長的計算依然是考生答題的難點.而且導數(shù)作為工具性知識滲透在本題的求解過程中，釋放出兩個信號：一是高等幾何知識的結論、思想、方法的滲透與融合，是能力立意下高考命題的趨勢;二是淡化解析幾何問題求解的固定解題程序，即“聯(lián)立直線Ax+By+C=0與二次曲線方程f（x，y）=0→消元得到關于x（或[y]）的一元二次方程→利用根與系數(shù)的關系（設而不求）”，突出解析幾何的學科本質——解析法（坐標法），重點考查數(shù)形結合思想與運算求解能力.解析幾何高考試題往往有很大的拓展空間和研究價值，在本題條件中，過拋物線[x2=2py]焦點的斜率為[k]的直線與拋物線交于A，B兩點，那么在兩點處的切線一定交于準線上一點，且交點坐標為（kp，[-p2]）.

2.學科融合

今年的試題有了努力消彌學科邊界的嘗試，整合數(shù)學與其他學科，打破以往涇渭分明的學科分界，使考生形成相互聯(lián)系的知識結構，使數(shù)學不再停留在“自我的世界”，而是作為一種思想、方法或模型而存在，用于解釋生活中的問題或現(xiàn)象.

如文科數(shù)學第3題：兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是（ ?）.給出的選項是：（A）[16]，（B）[14]，（C）[13]，（D）[12].

試題分析：如果借助理科的排列組合知識來分析，本題其實就是相鄰問題，可用捆綁法解決，全排共[A44=24]種方法，兩位女生相鄰共[A22]·[A33]=12種方法，概率[P=1224=12]，故選D.

小結：新高考已經(jīng)在全國范圍逐步推進，文科生需要具備排列組合的知識和方法，才能解決相對復雜的計數(shù)問題，即文科理科化，而理科生也需要具備一定的人文知識，即理科文科化.

又如理科數(shù)學第3題以中國“四大名著”的閱讀調查數(shù)據(jù)為背景設計考題，既考查了抽樣統(tǒng)計的方法，又滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學運算的素養(yǎng)要求，同時對考生提出了養(yǎng)成終生閱讀好習慣的要求，體現(xiàn)了對閱讀的重視.

再如文、理同題的第16題：考生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為 ? ?g.

試題分析：因為SEFGH=4×6-4×[12]×2×3=12cm2，所以VO-EFGH=[13]×12×3=12cm3.又長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V2=4×6×6=144cm3，所以該模型體積為V=V2-V1=144-12=132cm2，其質量為0.9×132=118.8g.

小結：該題體現(xiàn)了對考生“勞育”的滲透，同時將數(shù)學中的體積問題與物理質量問題相結合，體現(xiàn)不同學科的融合.

再如文、理同題的第17題：為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記C為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計值為0.07.（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值;（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.

試題分析：（1）由題得[a]+0.20+0.15=0.70，解得[a]=0.35，由0.05+[b]+0.15=1-P（C）=1-0.70，解得[b]=0.10.（2）由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為0.15×2+0.20×3+0.30×4+0.20×5+0.10×6+0.05×7=4.05，乙離子殘留百分比的平均值為0.05×3+0.10×4+0.15×5+0.35×6+0.20×7+0.15×8=6.

小結：這道題以離子在生物體內的殘留情況為背景，反映了數(shù)學知識和方法在其他學科中的應用，體現(xiàn)了數(shù)學的應用價值.

2019年高考全國Ⅲ卷理、文科數(shù)學試題立足教材，緊扣《2019考綱》，注重基礎知識、基本技能的考查，突出考查主干知識、核心能力，強調數(shù)學思想和通解通法的培養(yǎng)，同時試題設計穩(wěn)中求新，為新高考的推進作鋪墊.試題在保持結構總體穩(wěn)定的基礎上，科學靈活地調整了試題的內容和順序.例如文、理同題的第17題，其內容調整為以頻率分布直方圖為背景求解樣本平均數(shù)等數(shù)字特征的概率統(tǒng)計，考查了數(shù)據(jù)分析和處理的能力，降低了概率統(tǒng)計的難度要求，與全國Ⅰ卷近兩年來把概率統(tǒng)計往后移甚至以壓軸題的形式出現(xiàn)，形成了強烈反差，對有押題、猜題想法的師生敲響了警鐘;理、文同題的第18題內容調整為已知三角形一邊和鄰角求銳角三角形面積的取值范圍，題型常規(guī)但運算量、思維容量大，考驗了考生的應變能力和心理素質.這兩題是“難題不難，易題不易”，要求考生全面掌握重點知識和重點內容，部分考生在考試中發(fā)揮失常，說明考生缺乏靈活應變的能力和主動調整適應的能力.

二、2020年高考備考建議

（一）構建知識網(wǎng)絡，立足基礎，回歸教材，探索科學的備考策略

很多高考試題的命制，源于課本且高于課本.所以高三第一輪復習，應立足基礎知識，多關注概念、知識的發(fā)生與發(fā)展過程，多歸納總結通性通法，回歸教材上的典型例題、習題，在教學中注重對考生進行啟發(fā)、引導，讓考生的思維缺陷得以暴露或進行“相異構想”，努力通過變換問題情境和設問方式來突破思維定勢.只有這樣才能幫助考生構建好系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡，提高解題的應變能力.那么在高考備考復習過程中，該如何幫助考生構建好系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡呢？具體的流程是“考查問題（大）→若干小問題→若干具體問題”.以數(shù)列的知識網(wǎng)絡構建為例（如下圖）：

構建知識網(wǎng)絡需要問題來支撐，關于問題的設計需要做到以下三點：

一是“選好題”.課前對復習資料上的例題、習題以及近5年高考試題進行評價分析，刪去偏難、偏怪、超綱、解法太單一的題目，多選“活，聯(lián)，變”題，加強中低檔題和“小，靈，通”題目的訓練.

二是“講好題”.在講解中、低檔例題時關注“三個點”——入手點、關鍵點、警戒點，做到“巧算與硬算并重，主干與細節(jié)并重，重點與非重點并重”.

三是“悟好題”.引導考生重視解題思路的探求與優(yōu)化，加強反思，通過“悟一悟”的方式提升考生分析問題、解決問題的思維能力.

總之，第一輪復習要回歸教材，以高考試題的考查為導向，充分研究教材上的典型習題、例題的內涵與外延，構建好知識網(wǎng)絡.

（二）強化限時訓練，提高運算的精確性與準確性

運算能力包括分析運算條件、探索運算方向、選擇運算方法、確定運算程序等一系列思維能力，以及在實施運算過程中遇到運算困難時調整運算方法的能力.對于部分考生而言，由于運算能力較弱，常常會因為答題不規(guī)范造成“會而不對”，或者由于答題速度和準確度不高、思維不嚴密造成“對而不全”.比如今年高考全國Ⅲ卷理、文同題的第18題第（2）問求解三角形面積取值范圍，大量考生通過余弦定理去轉化條件“已知三角形一邊及鄰角”進而構建面積模型，而沒有選擇正弦定理，這是解題精確度不高的表現(xiàn).部分考生雖然構建出了三角形面積的函數(shù)模型[S△ABC=14tanC+38]，但因為審題不細沒有關注到“銳角三角形”這個條件而導致面積范圍錯誤.這些都是限時訓練缺乏針對性、有效性、科學性所致，且說明考生沒有養(yǎng)成良好的解題習慣，比如考慮不周密、運算不準確、書寫不規(guī)范、作圖不標準、卷面不整潔等，而且不能做到每個步驟都“言之有理”.這些問題只有通過強化限時訓練，指導考生在規(guī)定的時間內學會分析問題，掌握科學、有效的考試方法和技巧，強化運算能力，提高心理素質，發(fā)現(xiàn)存在的問題并及時解決，提高應試技巧，才能得以很好解決.

（三）立足數(shù)學核心素養(yǎng)，突出關鍵能力，注重思維能力與創(chuàng)新意識的培養(yǎng)

數(shù)學核心素養(yǎng)包括數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)據(jù)分析6個方面.核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開數(shù)學學科的基礎知識與基本技能，它需要在學習數(shù)學知識的過程中、在掌握數(shù)學思想方法的過程中，逐步積累、領悟、內省才能形成.所以教學活動的開展必須緊緊圍繞數(shù)學學科的特征和考生的認知規(guī)律.

首先，高三數(shù)學復習課的教學設計需要以考生思維能力的培養(yǎng)為目標，以考生經(jīng)歷數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程為手段，啟發(fā)與引導考生學會用數(shù)學的眼光去觀察問題、分析問題、解決問題，培養(yǎng)考生“別人‘點，心有靈犀一點通;自己‘悟，融合貫通;動手‘做”，觸類旁通;自主‘學，無師自通”等多元化的能力.

其次，高三數(shù)學復習課的課堂生成需要以提升考生的邏輯推理與歸納、數(shù)學閱讀與表達、批判質疑與交流合作等關鍵能力為導向，鼓勵考生積極參與、探索，獨立思考，各抒己見，通過對問題的變式探究、交流、討論，跳出標準答案的窠臼，嘗試一題多解、多題一解.

（四）研究高考命題特點，探索科學備考策略

首先，要認真研究學科課程標準、考試大綱及說明，重視其中與往年不一樣的地方，比如哪些內容淡化了要求、哪些地方提高了要求等，通過逐一進行對比研究，精準把握2020年的高考基本要求.例如，由于課程改革的需要，三視圖、線性規(guī)劃的考查就沒有出現(xiàn)在今年的3套理科數(shù)學試卷里，只有全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷的文科數(shù)學試題中還保留了線性規(guī)劃的內容，這與課程標準及考試說明中要逐步淡化這兩個內容的要求一致.

又如關于立體幾何的高三備考，過去一直都過于突出坐標法的結果，而弱化了考生空間想象能力的考查，于是今年就出現(xiàn)了全國Ⅲ卷理科數(shù)學第8、16、21題這些以考查考生空間想象能力為主的試題，其中空間位置關系的判斷、積的計算、四點共面的證明是考查重點.

不過，考查形式更靈活的球與多面體相關的計算題今年并未出現(xiàn)，這應該引起注意.另外，過去一直突出概率統(tǒng)計中的統(tǒng)計分析，今年卻出現(xiàn)了“頻率分布直方圖”求平均數(shù)的問題;過去強調與[ex，lnx]有關的函數(shù)結構，今年卻出現(xiàn)了“三次函數(shù)”為背景的導數(shù)問題.可見，高考試題是不斷變化的，但靠近數(shù)學本質、考查關鍵能力和核心素養(yǎng)的宗旨不會改變.

其次，要研究最近5年的三套全國卷高考真題.高考題是備考的風向標，具有明確的指導性和重要的示范性.因此，各高中學校需要舉備考團隊全體同仁之力，重點研究試題的考點、試題的類型、試題的立意、試題的解法、試題的內涵與外延，并結合背景實質、命題思路、教材聯(lián)系、數(shù)學文化等多個角度進行全方位的研究，把握高考命題的方向，輕其所輕、重其所重，才能讓高考備考更有針對性與實效性.（題圖左為徐華，右為文尚平）

注：本文系廣西教育科學“十三五”規(guī)劃2017年度廣西考試招生研究專項課題“基于核心素養(yǎng)的有效性評價的研究”（立項編號：2017ZKS016）的階段研究成果.

（責編 蒙秀溪）