曹邦興

(廣州大學(xué)松田學(xué)院，廣東 廣州 511370)

指數(shù)平滑法是時(shí)間序列分析的一個(gè)重要分支，具有適應(yīng)性強(qiáng)、容易操作等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域的預(yù)測(cè).在預(yù)測(cè)城市交通流量、鐵路旅客發(fā)送量、港口吞吐量和道路交通事故量等有一定趨勢(shì)的非線性時(shí)間序列時(shí)，三次指數(shù)平滑法具有理論簡(jiǎn)單、預(yù)測(cè)效果好等特點(diǎn)，被眾多研究人員采用.但在傳統(tǒng)三次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)模型中，平滑系數(shù)是靜態(tài)的，一旦確定就始終固定不變，難以跟蹤時(shí)間序列隨時(shí)間變化的因素，無(wú)法反應(yīng)不同時(shí)間段的歷史數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響，從而影響預(yù)測(cè)精度.鑒于此，筆者擬提出一種改進(jìn)的動(dòng)態(tài)三次指數(shù)平滑法，該方法使用誤差平方、最小原則和地毯式搜索算法來(lái)獲得動(dòng)態(tài)調(diào)整的平滑因子.

1 傳統(tǒng)三次指數(shù)平滑法

三次指數(shù)平滑法是在二次指數(shù)平滑法基礎(chǔ)上再進(jìn)行一次平滑，主要用于有明顯趨勢(shì)且呈非線性的時(shí)間序列的預(yù)測(cè).其基本模型如下：

(1)

(2)未來(lái)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè).設(shè)T為自t時(shí)點(diǎn)起向前預(yù)測(cè)的時(shí)點(diǎn)的期數(shù)，at，bt，ct為3個(gè)預(yù)測(cè)系數(shù)，且

則第t+T期的預(yù)測(cè)值[2]Yt+T=at+btT+ctT2.

β的取值在0.1～0.9之間[2].為了確定合適的值，可以設(shè)定開(kāi)始時(shí)β=0.1.計(jì)算出全部已知?dú)v史數(shù)據(jù)Xt與相應(yīng)期數(shù)的預(yù)測(cè)值Yt的誤差平方和后，取步長(zhǎng)λ=0.01，重新計(jì)算β=0.11時(shí)的誤差平方和.如此循環(huán)，直到計(jì)算出β=0.9時(shí)的誤差平方和，按誤差平方和最小原則選定對(duì)應(yīng)的β值作為最終的平滑系數(shù)值，然后以此平滑系數(shù)值對(duì)未來(lái)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè).

上述計(jì)算可在MATLAB軟件中編程實(shí)現(xiàn).需注意的是，平滑系數(shù)一旦確定，在未來(lái)的預(yù)測(cè)中就始終是同一個(gè)固定值.

2 改進(jìn)的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)三次指數(shù)平滑法

在采用三次指數(shù)平滑法進(jìn)行實(shí)際預(yù)測(cè)時(shí)，平滑系數(shù)是靜態(tài)的.若時(shí)間序列數(shù)據(jù)變化幅度較大，則預(yù)測(cè)模型的適應(yīng)性下降，從而影響到預(yù)測(cè)精度.為此，筆者建立了一種改進(jìn)的動(dòng)態(tài)三次指數(shù)平滑法，使平滑系數(shù)能夠不斷跟進(jìn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的變化并自動(dòng)作出相應(yīng)調(diào)整.其實(shí)現(xiàn)過(guò)程如圖1所示.

圖1 自適應(yīng)動(dòng)態(tài)三次指數(shù)平滑法模型流程Fig. 1 Flow Chart of Self-Adaptive and Dynamic Cubic ES Method

將(1)式展開(kāi)，得到

(2)

(1)歷史數(shù)據(jù)的平滑.令Xk,t=Xk+t-1,t=1,2,…,N，N為每次預(yù)測(cè)時(shí)選取的歷史數(shù)據(jù)的期數(shù)，則歷史數(shù)據(jù)的平滑公式改寫(xiě)為

(2)預(yù)測(cè)精度的評(píng)價(jià).最小誤差平方和

(3)

(3)未來(lái)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè).3個(gè)預(yù)測(cè)系數(shù)相應(yīng)改成

(4)

則第t+T期的預(yù)測(cè)值

Yk,t+T=ak,t+bk,tT+ck,tT2.

(5)

與靜態(tài)平滑系數(shù)β不同，動(dòng)態(tài)平滑系數(shù)φk,t是期數(shù)t的函數(shù)，隨著預(yù)測(cè)次數(shù)k和預(yù)測(cè)期數(shù)t的變化而改變，能夠跟蹤時(shí)間序列隨時(shí)間大幅度波動(dòng)的變化趨勢(shì)，提高了適應(yīng)性，從而提高了預(yù)測(cè)精度.

3 仿真實(shí)例分析

在現(xiàn)實(shí)生活中，交通狀況不但關(guān)系著普通百姓的出行，也事關(guān)社會(huì)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)的協(xié)調(diào)健康發(fā)展，對(duì)城市道路交通流量、鐵路旅客發(fā)送量、全國(guó)公路運(yùn)輸量、港口吞吐量和道路交通事故量等進(jìn)行有效預(yù)測(cè)，能夠?yàn)楦骷?jí)政府和職能部門(mén)科學(xué)制定規(guī)劃、合理配置資源等提供參考信息.上述交通流量、運(yùn)輸量和事故發(fā)生量等，都具有波動(dòng)范圍大、非線性變化和趨勢(shì)性等特點(diǎn)，非常適合用三次指數(shù)平滑法模型對(duì)未來(lái)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè).如黃榮富等[3]利用三次指數(shù)平滑法模型來(lái)預(yù)測(cè)港口吞吐量，郝軍章等[4-6]利用SARIMA模型、灰色馬爾柯夫過(guò)程和灰色線性回歸組合模型等來(lái)預(yù)測(cè)我國(guó)鐵路旅客運(yùn)量.

筆者以我國(guó)鐵路旅客發(fā)送量為例，選取2003—2018年實(shí)際發(fā)送量的原始數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)摘引自中華人民共和國(guó)交通運(yùn)輸部和國(guó)家鐵路局歷年《鐵道統(tǒng)計(jì)公報(bào)》)作為樣本，采用自適應(yīng)動(dòng)態(tài)三次指數(shù)平滑法對(duì)2019—2021年的全國(guó)鐵路旅客發(fā)送量進(jìn)行預(yù)測(cè).

根據(jù)圖1所示的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)三次指數(shù)平滑法模型流程，算法可按以下具體步驟實(shí)現(xiàn)：

(ⅰ)采用一段時(shí)間的歷史實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，如采用第1期到第N期的共N期數(shù)據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù){X1,1,X1,2,…,X1,N}={X1,X2,…,XN}，在動(dòng)態(tài)的三次指數(shù)平滑模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)誤差平方和最小原則，由(3)—(5)式確定平滑因子β1；

(ⅱ)通過(guò)(5)式運(yùn)用自適應(yīng)動(dòng)態(tài)三次指數(shù)平滑法進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到第1次的第N+1期的預(yù)測(cè)值，即第N+1期的鐵路旅客發(fā)送量；

(ⅲ)去掉最早的那個(gè)數(shù)據(jù)，將第N+1期的鐵路旅客發(fā)送量預(yù)測(cè)值作為X1,t+1，再次運(yùn)用自適應(yīng)動(dòng)態(tài)三次指數(shù)平滑模型，根據(jù)誤差平方和最小原則，由(3)—(5)式確定新的平滑因子β2；

(ⅳ)利用第2期實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)到第N+1期實(shí)測(cè)數(shù)據(jù){X2,1,X2,2,…,X2,N}={X2,X3,…,XN+1}，來(lái)預(yù)測(cè)第2次的第N+2期的鐵路旅客發(fā)送量；

(ⅴ)依此類(lèi)推，更新旅客發(fā)送量時(shí)間序列{Xk,1,Xk,2,…,Xk,N}={Xk,Xk+1,…,Xk+N-1}，由(3)—(5)式得到新的平滑因子βk，繼續(xù)預(yù)測(cè)后期的旅客發(fā)送量YN+k，直到規(guī)定的時(shí)刻為止.

預(yù)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差 =(預(yù)測(cè)值-實(shí)測(cè)值)/實(shí)測(cè)值×100%，為了避免正負(fù)誤差相互抵消，平均相對(duì)誤差用預(yù)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差取絕對(duì)值之后再取平均值.3種算法預(yù)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差與平均相對(duì)誤差見(jiàn)表1.

表1 3種算法預(yù)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差與平均相對(duì)誤差

分析2006—2018年共13年的平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差，三次指數(shù)平滑法的為2.747%，SARIMA模型的為2.018%，自適應(yīng)動(dòng)態(tài)三次指數(shù)平滑法的為1.269%，由此可知自適應(yīng)動(dòng)態(tài)三次指數(shù)平滑法具有明顯的優(yōu)勢(shì).自適應(yīng)動(dòng)態(tài)三次指數(shù)平滑法的年度最大相對(duì)預(yù)測(cè)誤差發(fā)生在2011年(-3.14%)，年度最小相對(duì)預(yù)測(cè)誤差發(fā)生在2017年(0.13%)，即期數(shù)為13的預(yù)測(cè)區(qū)間內(nèi)相對(duì)預(yù)測(cè)誤差范圍為0.13%～3.14%，平均值為1.269%，其預(yù)測(cè)精度和整體穩(wěn)定性都是令人滿意的.

將自適應(yīng)動(dòng)態(tài)三次指數(shù)平滑法用趨勢(shì)外推的方法，可得到2019，2020，2021年的鐵路旅客發(fā)送量預(yù)測(cè)值分別為370 513，401 668，433 257萬(wàn)人.

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)三次指數(shù)平滑法的不足，提出了一種改進(jìn)的動(dòng)態(tài)三次指數(shù)平滑法.將該方法與SARIMA模型、三次指數(shù)平滑法進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)鐵路旅客發(fā)送量的仿真實(shí)例分析結(jié)果可知，該方法能更好地適應(yīng)時(shí)間序列的變化趨勢(shì)，具有良好的預(yù)測(cè)精度，可以廣泛應(yīng)用于預(yù)測(cè)城市道路車(chē)輛通過(guò)量、民航旅客發(fā)送量、港口吞吐量、道路交通運(yùn)輸量和道路交通事故量等.