孫媛媛，楊明亞，陳 俊，劉紅兵

(安徽新聞出版職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電信息系，安徽 合肥 230601)

層次分析法(Analytic Hierarchy Process，簡(jiǎn)稱AHP)是一種規(guī)范化、系統(tǒng)化、層次化的管理學(xué)分析方法.它在理論上將問(wèn)題分解成目標(biāo)、準(zhǔn)則、指標(biāo)、方案等若干層次，建立多個(gè)層次的判斷矩陣模型，各個(gè)層次都是用比較的方式得出一個(gè)權(quán)重，各權(quán)重組成矩陣，最后計(jì)算出矩陣的特征向量.為了公平、公正地開(kāi)展高校貧困學(xué)生資助工作，使國(guó)家的貧困助學(xué)資金精準(zhǔn)地資助到每一位貧困大學(xué)生，在資助工作中，可以利用AHP量化貧困大學(xué)生的家庭經(jīng)濟(jì)狀況，建立判斷矩陣，再通過(guò)數(shù)學(xué)建模對(duì)評(píng)定方案進(jìn)行分層，用Matlab軟件完成數(shù)值計(jì)算，從而為家庭貧困大學(xué)生的評(píng)定工作提供科學(xué)依據(jù)[1-2].

1 層次模型的建立

在貧困大學(xué)生的精準(zhǔn)資助過(guò)程中，將資助問(wèn)題分成4個(gè)層次，即目標(biāo)層、準(zhǔn)則層、指標(biāo)層和方案層[3-4]，具體見(jiàn)表1.

表1 貧困大學(xué)生評(píng)定決策層次

2 模型計(jì)算

2.1 判斷矩陣的構(gòu)建

為了使判斷矩陣更具說(shuō)服力，聘請(qǐng)參與貧困大學(xué)生評(píng)定工作的專家對(duì)層次模型每一層中不同的指標(biāo)進(jìn)行比較，分析其相對(duì)重要程度并給出具體的數(shù)值，再用這些數(shù)值構(gòu)建判斷矩陣A.根據(jù)AHP的原理，Aij=ai/aj，表示第i行問(wèn)題要素與第j列問(wèn)題要素的相對(duì)重要性度量值，若度量值為1，則說(shuō)明要素ai與要素aj的重要程度一樣，若度量值為3，則說(shuō)明要素ai比要素aj稍微重要.Aji是要素aj與要素ai相比較，Aji=aj/ai，Aij與Aji是互為倒數(shù)的關(guān)系，即Aij=1/Aji.

制定貧困大學(xué)生評(píng)定要素征詢意見(jiàn)表，向每位專家提供貧困大學(xué)生精準(zhǔn)資助所需的材料，之后對(duì)專家給出的數(shù)值進(jìn)行分析和匯總，并將首次統(tǒng)計(jì)結(jié)果反饋給專家，專家根據(jù)反饋意見(jiàn)和建議去修正度量值.進(jìn)行多次的征詢和意見(jiàn)反饋后，統(tǒng)計(jì)出Aij的數(shù)值.專家可以按照1～9的度量值來(lái)比較要素ai和要素aj的重要程度，其值用Aij或Aji表示.

2.2 評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重的確定

通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查的方式，請(qǐng)15位專家按同等重要、稍微重要、明顯重要、非常重要和極端重要等5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的AHP標(biāo)度，給出貧困大學(xué)生評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重的數(shù)值.貧困大學(xué)生評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重調(diào)查表如圖1所示.

圖1 貧困大學(xué)生評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重調(diào)查表Fig. 1 Questionnaire on Index Weight of Poverty-Stricken Students

(1)評(píng)價(jià)指標(biāo).A1表示是否低保建檔立卡家庭；A2表示離異或單親家庭；A3表示父母有無(wú)勞動(dòng)能力；A4表示適齡子女就學(xué)較多家庭；A5表示家庭成員是否患??；A6表示勤工儉學(xué)或校內(nèi)兼職；A7表示是否辦理助學(xué)貸款；A8表示貧困縣市生源；A9表示突發(fā)事件致貧.

(2)2個(gè)指標(biāo)相比較的權(quán)重.對(duì)15位專家給出的權(quán)重取平均值，最終得到貧困大學(xué)生的評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重，如A12=(1+1/2+1/3+1/2+1/3+1/2+1/4+1/2+1/2+1/4+1/3+1/2+1/2+1+1/2)/15=1/2，A13=(1/4+1/5+1/4+1/4+1/5+1/3+1/4+1/3+1/2+1/4+1/4+1/2+1/2+1/3+1/5)/15≈1/4.

2.3 矩陣特征值的求解

通過(guò)貧困大學(xué)生評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重構(gòu)建判斷矩陣A，得到

為了便于計(jì)算，利用Matlab軟件求解矩陣A的特征值和特征向量(圖2).

圖2 求解矩陣A的特征值和特征向量Fig. 2 Eigenvalues and Eigenvectors of Matrix A Solution

假設(shè)W(2)是第2層的矩陣A的特征向量，則

W(2)=(0.050 9 0.080 9 0.193 1 0.131 5 0.068 9 0.069 3 0.041 1 0.081 8 0.282 6)T.

再利用公式

(1)

計(jì)算最大特征值.令d=A×W(2).用Matlab軟件計(jì)算d，得到

d=(0.510 4 0.810 2 1.934 5 1.317 7 0.690 2 0.694 9 0.411 9 0.819 2 2.831 4)T.

根據(jù)(1)式，得到最大特征值

λmax=(0.510 4/0.050 9+0.810 2/0.080 9+1.934 4/0.193 1+1.317 7/0.131 5+0.690 2/0.068 9+

0.694 9/0.069 3+0.411 9/0.041 1+0.819 2/0.081 8+2.831 4/0.282 6)/9=10.019.

3 一致性檢驗(yàn)

3.1 判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)

在計(jì)算中，只要矩陣的一致性比率CR≤ 0.1，就可以完全接受判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)；反之，要重新建立兩兩比較矩陣.因?yàn)樽畲筇卣髦郸薽ax=10.019 5，所以CI=(10.019 5-9)/8=0.127 4.當(dāng)矩陣的階數(shù)或維數(shù)較大時(shí)，應(yīng)對(duì)矩陣的一致性放寬判斷條件，而本研究中的判斷矩陣為9階矩陣，故用修正系數(shù)RI進(jìn)行修正.AHP中的隨機(jī)一致性指標(biāo)RI是已知的(表2).

表2 隨機(jī)一致性指標(biāo)RI

由CR=CI/RI，可以得到CR=0.127 4/1.45=0.008 75<0.1，由此可知判斷矩陣A接近一致性要求，求出的權(quán)重是合理的.若CR≥ 0.1，則要對(duì)判斷矩陣A進(jìn)行修正或調(diào)整數(shù)值，直到CR≤ 0.1為止[7-9].

3.2 大學(xué)生貧困狀況的判別

圖3 9個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)的判斷矩陣Fig. 3 9 Judgment Matrices

以王倩、張俊、李云3個(gè)大學(xué)生為研究對(duì)象：王倩來(lái)自單親家庭，與奶奶一起生活，奶奶的歲數(shù)較大且無(wú)固定收入；張俊來(lái)自父母離異的家庭，與父親一起生活，父親的身體不好且無(wú)工作；李云來(lái)自多子女家庭，母親在農(nóng)村，父親在外地打工，家庭經(jīng)濟(jì)收入較少.現(xiàn)根據(jù)3位學(xué)生的家庭狀況來(lái)評(píng)定哪位學(xué)生最貧困.具體評(píng)定步驟如下：

(ⅰ)建立判斷矩陣.9個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)的判斷矩陣如圖3所示.

(ⅱ)利用Matlab軟件計(jì)算各矩陣的特征向量.計(jì)算結(jié)果為：

判斷矩陣B1的特征向量W(B1)=(0.146 3 0.531 7 0.322 0)T，

判斷矩陣B2的特征向量W(B2)=(0.124 3 0.358 6 0.517 1)T，

判斷矩陣B3的特征向量W(B3)=(0.569 5 0.333 1 0.097 4)T，

判斷矩陣B4的特征向量W(B4)=(0.614 4 0.268 4 0.117 2)T，

判斷矩陣B5的特征向量W(B5)=(0.287 2 0.634 8 0.078 0)T，

判斷矩陣B6的特征向量W(B6)=(0.095 3 0.249 9 0.654 8)T，

判斷矩陣B7的特征向量W(B7)=(0.673 8 0.100 7 0.225 5)T，

判斷矩陣B8的特征向量W(B8)=(0.457 9 0.416 1 0.126 0)T，

判斷矩陣B9的特征向量W(B9)=(0.658 6 0.185 2 0.156 2)T.

(ⅲ)計(jì)算各判斷矩陣的最大特征值λmax和一致性比率CR，結(jié)果見(jiàn)表3.

表3 最大特征值λmax和一致性比率CR

由表3可知，B1—B9的一致性比率CR均小于或等于0.1，說(shuō)明判斷矩陣的一致性滿足，求出的權(quán)重是合理的.即第3層的特征向量

(ⅳ) 計(jì)算權(quán)向量.第2層的矩陣A的特征向量

W(2)=(0.050 9 0.080 9 0.193 1 0.131 5 0.068 9 0.069 3 0.041 1 0.081 8 0.282 6)T，

根據(jù)公式W=W(3)×W(2)，利用Matlab軟件進(jìn)行計(jì)算，得到權(quán)向量W=(0.485 9 0.307 3 0.206 9)T.矩陣的一致性比率

CR=(0.050 9×0.058 2+0.080 9×0.054 0+0.193 1×0.013 0+0.131 5×0.009 1+

0.068 9×0.046 7+0.069 3×0.010 8+0.041 1×0.042 6+

0.081 8×0.004 6+0.282 6×0.014 5)=0.017 131 4≤0.1，

故層次總排序可以通過(guò)一致性檢驗(yàn).

(ⅴ)精準(zhǔn)評(píng)定貧困大學(xué)生.從W=(0.485 9 0.307 3 0.206 9)T可知，王倩同學(xué)是最貧困大學(xué)生.

4 結(jié)語(yǔ)

在高校貧困學(xué)生的評(píng)定過(guò)程中，筆者綜合考慮多方面因素，建立了貧困大學(xué)生評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，構(gòu)建了評(píng)價(jià)層次結(jié)構(gòu)模型，并利用貧困大學(xué)生的數(shù)據(jù)平臺(tái)收集并統(tǒng)計(jì)各項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)重，從而構(gòu)建了判斷矩陣，再利用Matlab軟件求解矩陣的特征值和特征向量，計(jì)算出學(xué)生的最終貧困數(shù)據(jù)，即計(jì)算權(quán)重得分.AHP避免了人為主觀因素的干擾，使評(píng)定過(guò)程更客觀、公正，達(dá)到了精準(zhǔn)資助的目的.