李大磊，李安民，張二亮

(鄭州大學(xué) 機械工程學(xué)院， 鄭州 450001)

齒輪箱是現(xiàn)代機械傳動系統(tǒng)中的重要部件之一，由于其恒定的傳動比、大功率及高效率等特點，被廣泛應(yīng)用于各類工程機械。振動與噪聲是評價齒輪箱工作性能的主要指標(biāo)，齒輪在傳動過程中嚙合剛度的時變特性是引起齒輪箱產(chǎn)生振動與噪聲的主要原因[1]。因此，齒輪時變嚙合剛度的計算研究得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。

齒輪時變嚙合剛度的計算方法主要分為3類：基于勢能原理的解析法[2-7]、基于有限元的數(shù)值計算方法[8-11]和解析有限元法[12-15]。勢能解析法的基本思想是視輪齒為基圓上的變截面懸臂梁，并根據(jù)彈性力學(xué)理論，推導(dǎo)齒輪嚙合過程中儲存在輪齒中的應(yīng)變能，進而計算齒輪嚙合剛度。Yang等[2]考慮了輪齒的彎曲勢能、徑向壓縮勢能以及輪齒接觸赫茲能，計算了齒輪的嚙合剛度；Wu等[3]進一步考慮了齒輪嚙合時的剪切變形能，完善了解析算法；Wan和Xiang等[4-5]考慮了輪齒基體的應(yīng)變能和齒輪基圓與齒根圓不重合的情況，提高了解析法的計算精度，但也增加了算法的復(fù)雜度。隨著有限元軟件幾何建模能力的日益增強，基于數(shù)值分析的齒輪嚙合剛度計算也得到了重視和發(fā)展，其主要途徑有：① 通過有限元方法分析計算輪齒接觸部位沿嚙合方向的位移量，提取嚙合輪齒的法向載荷，根據(jù)剛度的定義計算齒輪的嚙合剛度，如：唐進元等[8]應(yīng)用有限元分析軟件構(gòu)建螺旋錐齒輪模型并計算出法向接觸力和綜合彈性變形量，得到單齒嚙合剛度和多齒綜合嚙合剛度；Song等[9]利用有限元法研究了漸開線行星輪系的扭轉(zhuǎn)剛度。② 在準(zhǔn)靜態(tài)條件下(轉(zhuǎn)速很低)，通過計算齒輪副的傳遞誤差，獲得齒輪的嚙合剛度。Cooley等[10]利用有限元法計算了齒輪的嚙合剛度，并比較了平均斜率法和局部斜率法對剛度計算的影響；Zhan等[11]集成幾何造型軟件和有限元程序包，提出了一種嚙合剛度有限元計算方法。為了提高嚙合剛度的有限元計算效率，發(fā)展了解析有限元方法，其將輪齒變形分解為整體變形和局部變形，運用線性有限元模型計算嚙合輪齒整體位移和利用赫茲接觸理論計算輪齒嚙合部位的局部接觸變形。該方法已用于直齒輪[12]、斜齒輪[13-14]的嚙合剛度計算。

事實上，齒輪副空間位置關(guān)系涉及齒輪、軸、軸承及箱體等多個零件的裝配與連接。由于裝配誤差的累積，齒輪嚙合會偏離理想的設(shè)計狀態(tài)，造成嚙合剛度的改變，帶來附加載荷。因此，在裝配誤差存在的條件下，齒輪嚙合剛度的計算研究近期也受到了較多關(guān)注。目前考慮的裝配誤差形式主要是中心距誤差和軸偏斜誤差。Luo等[6]利用勢能解析法分析了中心距誤差對齒輪嚙合剛度的影響，Saxena等[7]用勢能法研究了軸傾斜對嚙合剛度的影響。此外，Zhan等[11]基于提出的有限元方法，分析了軸傾斜對嚙合剛度的影響。

綜上所述，勢能解析方法具有計算速度快、效率高等特點，但在考慮復(fù)雜齒形、裝配誤差等情形時，對模型簡化較大，且算法復(fù)雜度急劇增大。嚙合剛度有限元計算方法適用范圍廣泛，但為精確計算嚙合彈性變形(傳動誤差)，要求輪齒具有嚴(yán)格的(漸開線)幾何形式。

本文充分發(fā)揮有限元方法對復(fù)雜齒形和裝配幾何誤差的強大建模優(yōu)勢，采用勢能法的簡明求解思路，提出了一種嚙合剛度的計算方法，并研究了中心距誤差和軸傾斜誤差對齒輪嚙合剛度的影響，最后通過數(shù)值算例驗證了提出方法的有效性。

1 時變嚙合剛度計算方法

1.1 齒輪漸開線方程

齒輪的漸開線齒廓保證了其恒定的傳動比，根據(jù)漸開線特性及圖1，建立漸開線方程為

(1)

式中：rb為基圓半徑；θ為k點的展角與壓力角之和。

圖1 基圓和漸開線幾何關(guān)系

齒輪基圓半徑rb、齒頂圓半徑ra與齒根圓半徑rf分別為

(2)

1.2 齒輪嚙合有限元模型

根據(jù)漸開線幾何方程(1)(2)，編制了有限元腳本參數(shù)化程序，在有限元軟件中建立精確的齒輪幾何模型。為提高計算精度和速度，對模型網(wǎng)格進行均勻化離散處理，并在輪齒部分進行變密度均勻化，使整個模型網(wǎng)格分布更具合理性，如圖2所示。有限元接觸分析算法同樣影響著計算的收斂性，選擇兼具罰函數(shù)和拉格朗日算法特點的增廣拉格朗日算法來實現(xiàn)法向的接觸分析，降低接觸剛度因子的敏感性，減少滲透因子過小引起的收斂震蕩和迭代次數(shù)增加問題。

圖2 齒輪嚙合有限元模型

1.3 嚙合剛度的計算

本文基于勢能原理開展嚙合剛度的計算，用于勢能法的勢能(應(yīng)變能)和嚙合力通過有限元分析獲得。

當(dāng)齒輪傳動重合度∈(1,2)時，嚙合周期分為單對齒嚙合區(qū)與雙對齒嚙合區(qū)。參見圖3(a)，當(dāng)單對齒輪嚙合時，嚙合剛度k0為

(3)

當(dāng)處于雙對齒嚙合區(qū)域時，如圖3(b)所示，齒輪嚙合總剛度k0為

(4)

式中：k1，k2、k3，k4分別是輪齒沿嚙合線方向的等效剛度。

圖3 齒輪嚙合狀態(tài)

采用式(3)(4)計算嚙合剛度時，涉及單個輪齒在嚙合線方向的剛度。根據(jù)剛度的定義，剛度表征零件所受載荷與位移的比值即

(5)

根據(jù)線彈性力學(xué)基本理論，由嚙合力在輪齒形成的應(yīng)變能為

(6)

式中：F為作用于齒廓曲面的法向接觸力；d為所受載荷引起的位移；U為輪齒應(yīng)變能。在解析法中，U的計算往往通過分解為赫茲能、彎曲勢能、徑向壓縮變形能和剪切變形能來實現(xiàn)[4]。

最后，由式(5)(6)可得：

(7)

下面給出基于有限元分析的接觸力和應(yīng)變能的提取過程。

1) 接觸力F的計算

基于有限元分析結(jié)果，提取齒面接觸單元i上的壓力pi和面積si，則接觸力沿x、y、z三個方向的分量可表示為

Fij=pijsij

(8)

式中：pij、sij分別表示單元i的壓力和面積沿x、y、z三個方向的分量。則嚙合接觸合力F為

(9)

式中：N為單個輪齒上參與接觸的單元數(shù)；下標(biāo)j賦予的值1、2、3分別對應(yīng)x、y、z三個坐標(biāo)方向；當(dāng)不存在裝配誤差時，F(xiàn)總沿著齒輪嚙合線方向。

2) 應(yīng)變能U的計算

在準(zhǔn)靜態(tài)條件下，應(yīng)變能即嚙合力在輪齒上形成的勢能。基于數(shù)值分析獲得的輪齒模型單元i的彈性應(yīng)力σjq和應(yīng)變εjq，則該單元i的應(yīng)變能Ui為

(10)

因而，單個輪齒的總應(yīng)變能U為

(11)

式中M為單個輪齒模型上參與變形的單元數(shù)。

2 裝配誤差形式

軸承座、軸承、軸與齒輪依次裝配時帶來的裝配間隙誤差是造成齒輪裝配存在偏差的主要原因。齒輪實際作業(yè)位置偏離其理想位置的形式是多種多樣的，本文主要考慮中心距誤差和軸傾斜誤差兩種典型的裝配誤差類型，研究其對嚙合剛度的影響。不失一般性，考慮中心距正偏差情形，δ0>0，如圖4所示，嚙合線從A1B1偏移至A2B2。

圖4 中心距誤差(δ0)

圖5描述了存在軸傾斜偏差的情形。該裝配誤差的存在給嚙合剛度的精確計算帶來新困難。如在應(yīng)用基于有限元的嚙合剛度計算方法[10-11]時，很難精確確定由彈性變形帶來的沿嚙合線方向的傳動誤差。偏差的存在會帶來附加轉(zhuǎn)矩，在應(yīng)用勢能方法[7]時，由于齒間嚙合載荷分布未知，不能精確計算該附加轉(zhuǎn)矩。這些都將影響嚙合剛度的準(zhǔn)確計算。本文提出的嚙合剛度計算方法實質(zhì)上是基于有限元建模的勢能方法，給裝配誤差存在情形下的嚙合剛度計算提供了較為有效的解決途徑。

圖5 軸傾斜誤差(θ)

3 數(shù)值算例

3.1 算法驗證

為驗證本文所提嚙合剛度計算方法的有效性，與文獻[5]中的勢能解析方法做比較，采用的輪齒參數(shù)如表1所示。圖6表明，兩種方法計算得到的剛度值在整個嚙合周期內(nèi)吻合較好，嚙合剛度最大值相對偏差為1.52%，最小值相對偏差為2.3%。在單雙齒交替嚙合的過渡區(qū)域，本文方法相對于勢能解析法計算的剛度值躍變較為平緩，這是因為齒輪嚙合時由于輪齒的彈性變形，造成輪齒的嚙出時間比理論分離的時間晚。

表1 齒輪副基本參數(shù)

圖6 時變嚙合剛度計算數(shù)值驗證

3.2 裝配誤差對時變嚙合剛度的影響

分別針對中心距誤差和軸傾斜兩種靜態(tài)裝配誤差形式，分析這些裝配誤差形式對嚙合剛度的影響，所采用齒輪副具體參數(shù)如表2所示。

表2 齒輪副基本參數(shù)

3.2.1中心距誤差的影響

3.2.2軸傾斜誤差的影響

如圖5所示，取軸傾斜誤差θ為0.25°、0.5°，嚙合剛度計算結(jié)果如圖8所示。軸傾斜誤差對齒輪的嚙合剛度影響顯著，偏角越大，齒輪的嚙合剛度越小，且單齒嚙合區(qū)域的剛度變化量要小于雙齒嚙合區(qū)域，但在嚙合周期內(nèi)單雙齒嚙合區(qū)域的比例并沒有改變。這與文獻[7]中的結(jié)論吻合。

圖7 中心距誤差對嚙合剛度的影響

圖8 軸傾斜誤差對嚙合剛度的影響

4 結(jié)束語

本文方法充分發(fā)揮有限元軟件強大的幾何造型優(yōu)勢，充分考慮齒輪嚙合真實狀態(tài)，發(fā)展了一種基于勢能原理的齒輪嚙合剛度計算方法，其使用友好性強，適用范圍廣。

裝配誤差對嚙合剛度的影響研究表明，中心距誤差和軸傾斜誤差對齒輪嚙合剛度影響較為顯著，前者不僅影響嚙合剛度的幅值，還改變其頻率；而后者僅改變嚙合剛度的幅值。這對裝配誤差下的齒輪動力學(xué)分析具有重要意義。