康 龍

（柏林國(guó)際應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 工商管理學(xué)院，德國(guó) 柏林10587）

一、引言

近年來(lái)，我國(guó)金融市場(chǎng)發(fā)展迅速。全國(guó)范圍的四個(gè)期貨交易所中，有許多新的期貨合約上市交易。交易合約數(shù)和交易總量都達(dá)到了十分可觀的規(guī)模。以上海期貨交易所為例，從1999 年到2017 年，單邊年成交量由0.03 億手增長(zhǎng)到13.64 億手，增長(zhǎng)454倍；單邊年成交金額由0.24 萬(wàn)億元增長(zhǎng)到89.94 萬(wàn)億元，增長(zhǎng)374 倍①。上市期貨品種由1999 年的3個(gè)增加到2018 年的15 個(gè)（含原油期貨）。各大期貨交易所還增添了基于某些期貨品種的期權(quán)交易，為各類投資者提供了更多的交易工具。例如，目前上海期貨所有銅期權(quán)交易和天然橡膠期權(quán)交易。

不斷增長(zhǎng)的合約品種和交易量也給交易所的風(fēng)險(xiǎn)控制帶來(lái)了新的問(wèn)題。隨著交易合約品種的增多，更多的投資者開(kāi)始同時(shí)交易多種期貨及其他衍生品合約，這就給交易所在計(jì)算和收取客戶保證金方面帶來(lái)了新問(wèn)題。一方面，投資者希望在交易每種合約的時(shí)候繳納較低的保證金，提高交易杠桿的同時(shí)，提高資金的使用效率。另一方面，交易所希望在收取合理保證金的前提下，不過(guò)度收取客戶的多余保證金，通過(guò)提高客戶的資金使用效率來(lái)增加整個(gè)市場(chǎng)的交易量，并提高市場(chǎng)活躍度。由于大多數(shù)客戶同時(shí)交易多種合約，且各個(gè)合約的相依關(guān)系不同，當(dāng)合約之間可以對(duì)沖部分風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)候，客戶整體賬戶的保證金就不需要設(shè)定為單獨(dú)交易每種合約所交保證金的總和，從而在收取合理保證金的同時(shí)釋放多余的保證金給客戶。怎樣才能較為準(zhǔn)確地估測(cè)和計(jì)算每個(gè)交易多種合約的客戶所須繳納的保證金呢？對(duì)于這個(gè)核心問(wèn)題，時(shí)變T-Copula 模型為我們提供了一個(gè)較為可行且效果良好的量化解決方案。本文運(yùn)用該模型對(duì)上海期貨交易所交易的12 種主力期貨合約價(jià)格變化的日內(nèi)數(shù)據(jù)進(jìn)行估測(cè)，結(jié)果顯示模型可以較好地描述各種期貨合約之間的相依關(guān)系。

二、文獻(xiàn)綜述

金融合約的相依關(guān)系一直是實(shí)證研究的一個(gè)重點(diǎn)，其研究結(jié)果主要運(yùn)用于風(fēng)險(xiǎn)管理、投資管理以及各種套?；蛱桌慕灰撞呗詢?yōu)化。例如，梁仁方等[1]運(yùn)用Copula-CoVaR 模型研究原油期貨與PTA 期貨的風(fēng)險(xiǎn)溢出效應(yīng)。謝赤等[2]運(yùn)用時(shí)變Copula 模型研究滬深300 股指期現(xiàn)貨高頻價(jià)格相依結(jié)構(gòu)測(cè)度。在金融合約的相依關(guān)系方面，Copula 模型比多元正態(tài)分布能夠更加靈活地描述某些特定的相依關(guān)系，比如明顯的尾部相依性或者非對(duì)稱的相依關(guān)系。因此，Copula 模型結(jié)合GARCH 模型被廣泛運(yùn)用于描述多種金融合約的相依關(guān)系。

Copula-GARCH 模型最早由Jondeau et al.[3]和Patton[4-5]開(kāi)始使用。為了度量時(shí)變時(shí)間序列的條件相關(guān)性，Jondeau et al.[3]使用了Copula 函數(shù)并將其系數(shù)指定為前期變量的函數(shù)。Jondeau et al.[3]還用Hansen[6]文章中的GARCH 模型來(lái)擬合數(shù)據(jù)的邊際分布。在他們的模型中偏度系數(shù)和峰度系數(shù)都是時(shí)變的。他們?cè)谖闹邪l(fā)現(xiàn)對(duì)于大多數(shù)金融數(shù)據(jù)，時(shí)間序列之間的相依性在市場(chǎng)較大波動(dòng)后，尤其是市場(chǎng)大幅下跌后會(huì)顯著攀升。此外，Patton[4]還運(yùn)用類似的模型對(duì)大盤股指數(shù)與小盤股指數(shù)的非對(duì)稱的相依性進(jìn)行了研究，并檢驗(yàn)這種非對(duì)稱的相依關(guān)系對(duì)投資組合是否有顯著影響。Hu[7]運(yùn)用混合Copula 模型研究了主要股票市場(chǎng)指數(shù)的相依性。她在模型中給正態(tài)Copula、Gumbel's Copula 和扭轉(zhuǎn)Gumbel's Copula不同權(quán)重并加和來(lái)形成新的Copula 形式。Jondeau et al.[8]運(yùn)用T-Copula 描述兩個(gè)股票指數(shù)的相依性，Copula 系數(shù)遵從雙狀態(tài)馬可夫過(guò)程。

通常描述多維聯(lián)合分布的相依關(guān)系是比較困難的。Garcia et al.[9]構(gòu)建了一個(gè)多維Copula 模型來(lái)描述四種資產(chǎn)的價(jià)格變化的相依關(guān)系。他在模型中運(yùn)用了狀態(tài)轉(zhuǎn)換（regime-switching）的構(gòu)造，在其中一個(gè)狀態(tài)（regime）中他運(yùn)用了多維正態(tài)Copula，在另一個(gè)狀態(tài)中運(yùn)用了混合Copula。在其混合Copula中，每一個(gè)Copula 側(cè)重于描述每對(duì)特定資產(chǎn)價(jià)格組合的相依關(guān)系。Savu et al.[10]運(yùn)用分級(jí)形式的Archimedean Copula，這種形式的Copula 在一定程度上可以靈活描述各個(gè)價(jià)格組合的相依關(guān)系。在模型中，每一對(duì)關(guān)系緊密的價(jià)格被一個(gè)特定類的Archimedean Copula 所描述，然后在上層運(yùn)用其他Archimedean Copula 來(lái)連接先前部分。Archimedean Copula 的一個(gè)很好的特性是在這種分級(jí)的結(jié)構(gòu)下，最后上層生成的函數(shù)形式依然滿足Copula 函數(shù)的定義。

但過(guò)多的系數(shù)也給Copula 模型的估測(cè)帶來(lái)了很大的困難。最大似然法在理論上可以用于估測(cè)Copula 模型。然而，在實(shí)際中當(dāng)所擬合的時(shí)間序列增多的時(shí)候，在估測(cè)過(guò)程中最大似然法的數(shù)值優(yōu)化問(wèn)題將會(huì)很難得出滿意的結(jié)果。Joe et al.[11]提出了一種兩步估測(cè)法。第一步用最大似然法估測(cè)各個(gè)時(shí)間序列邊際分布的系數(shù)，第二步再用最大似然法估測(cè)Copula 函數(shù)部分的系數(shù)。Joe[12]證明了在常規(guī)條件下，這種兩步估測(cè)法產(chǎn)生的估測(cè)值是一致的，并且漸近服從正態(tài)分布。Patton[13]也得出了相似的結(jié)論。另外，在第一步估測(cè)中，我們還可以不估測(cè)邊際分布的具體系數(shù)，而采用實(shí)證法來(lái)估測(cè)邊際分布。這種方法可以避免錯(cuò)誤假設(shè)邊際分布的問(wèn)題，被Cherubini et al.[14]稱為典范最大似然法（Canonical Maximum Likelihood）。Hu[7]使用這種估測(cè)方法并將其命名為半?yún)?shù)法，并基于Genest et al.[15]，她證明了這種半?yún)?shù)法的估測(cè)值是一致的，并且漸近服從正態(tài)分布。另外，Copula 模型還可以用無(wú)參數(shù)法來(lái)估測(cè)。Deheuvels[16]介紹了實(shí)證Copula 的定義并且證明了實(shí)證Copula 一致性收斂于真實(shí)的Copula 形式。Xu[17]闡明了Copula 模型可以用貝葉斯的方法來(lái)估測(cè)。

三、模型

Copula 模型在金融建模方面已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用。它的獨(dú)到之處在于能夠?qū)⒍嘣S機(jī)變量的聯(lián)合分布，分解為各自隨機(jī)變量的邊際分布和一個(gè)連接這些邊際分布的Copula 函數(shù)。也就是說(shuō)，為了構(gòu)建正確的多元隨機(jī)變量的聯(lián)合分布，我們可以先對(duì)每一個(gè)隨機(jī)變量單獨(dú)建模，找到一個(gè)最好地描述其邊際分布函數(shù)的模型，然后再尋找一個(gè)最合適的Copula 函數(shù)形式來(lái)連接這些邊際分布。Copula 函數(shù)具有很多形式，T-Copula 函數(shù)雖然不是最完美的，但是對(duì)于同時(shí)描述大量的隨機(jī)變量的相依關(guān)系，確實(shí)是一個(gè)很不錯(cuò)的選擇。它比正態(tài)Copula 函數(shù)能更加靈活準(zhǔn)確地?cái)M合現(xiàn)實(shí)的金融數(shù)據(jù)。T-Copula 模型主要可用于風(fēng)險(xiǎn)管理和量化投資。本文主要運(yùn)用Copula 函數(shù)結(jié)合GARCH 模型來(lái)對(duì)多種期貨合約的價(jià)格變化的聯(lián)合分布進(jìn)行建模估測(cè)。

（一）Copula 函數(shù)

Copula 函數(shù)是一個(gè)多元分布函數(shù)，而被描述的多元隨機(jī)變量的每一個(gè)邊際分布是這個(gè)多元函數(shù)中的變量。Copula 函數(shù)將所有的邊際分布連接起來(lái)形成多元隨機(jī)變量的聯(lián)合分布。Copula 理論主要基于Sklar[18]的結(jié)論，我們?cè)谙逻厰⑹鲠槍?duì)連續(xù)邊際分布的Sklar's 定理。

令F1（x1），…，F(xiàn)n（xn）分別為x1，…，xn的連續(xù)邊際分布函數(shù)。令H 為（x1，…，xn）的聯(lián)合分布。那么存在一個(gè)唯一的Copula 函數(shù)滿足以下條件：

相反，如果我們令F1（x1），…，F(xiàn)n（xn）為連續(xù)邊際分布函數(shù)且C 為一個(gè)Copula 函數(shù)，那么，由等式所定義函數(shù)H 是一個(gè)聯(lián)合分布且其各個(gè)邊際分布分別為F1（x1），…，F(xiàn)n（xn）。

根據(jù)以上理論，我們可以將一個(gè)多元隨機(jī)變量的聯(lián)合分布，分解為每個(gè)隨機(jī)變量的邊際分布和連接他們的Copula 函數(shù)。相反，這個(gè)理論也說(shuō)明要建立一個(gè)多元隨機(jī)變量的聯(lián)合分布，可以先為每一個(gè)隨機(jī)變量找到一個(gè)最合適的邊際分布，然后再尋找一個(gè)最合適Copula 函數(shù)來(lái)連接所有的邊際分布。另外，為了更好地?cái)M合數(shù)據(jù)，我們通常假設(shè)隨機(jī)變量分布的矩是時(shí)變的并且依賴于過(guò)去的變量數(shù)值。所以，在時(shí)間t 的隨機(jī)變量的聯(lián)合分布將變成基于過(guò)去變量數(shù)值的條件分布。這樣以上所述的Copula 理論則需要進(jìn)一步擴(kuò)展為在條件分布情況下的理論。

（二）邊際分布

作為組建Copula 模型的第一步，我們需要為每一個(gè)合約的價(jià)格變化的邊際分布，找到最合適的模型。因?yàn)檫x用錯(cuò)誤的模型來(lái)描述邊際分布，將會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的聯(lián)合分布。令xi，t為資產(chǎn)i 在時(shí)間t 的回報(bào)率，那么它的條件均值和條件方差服從以下描述。

在等式（2）到（4）中，我們用AR（1）過(guò)程來(lái)描述條件均值，并用一個(gè)GJR（1，1）構(gòu)造來(lái)描述條件方差[19]。以上等式中的系數(shù)有以下限制：β0，i＞0，是一個(gè)指示函數(shù)，當(dāng)εi，t-1＜0 時(shí)，此函數(shù)值為1，否則為0。以上模型可以足夠好地描述每個(gè)所包含資產(chǎn)回報(bào)率的邊際分布。當(dāng)然，也可以在等式（2）到（4）中包含更多的外因解釋變量，從而更好地描述數(shù)據(jù)。另外，我們假設(shè)ηi，t在時(shí)間軸上服從i.i.d.并且服從學(xué)生t 分布，自由度系數(shù)為νi。當(dāng)然我們還可以進(jìn)一步描述條件高階矩，例如，Hansen[6]、Jondeau et al.[8]假設(shè)GARCH 模型中的殘差服從偏t 分布，并且發(fā)現(xiàn)偏t分布比正態(tài)分布能更好地描述金融數(shù)據(jù)。我們可以假設(shè)ηi，t～SkewedT（ηi，t｜νi，t，λi，t）。其中，ηi，t均值為0，方差為1，νi，t為自由度系數(shù)，λi，t為偏度系數(shù)。兩個(gè)系數(shù)νi，t和λi，t隨時(shí)間而變，且非線性依賴于前期的解釋變量。

（三）相依結(jié)構(gòu)

正態(tài)Copula 和學(xué)生T-Copula 同屬于橢球分布族，他們經(jīng)常被用來(lái)描述多元隨機(jī)變量的聯(lián)合分布。在實(shí)際應(yīng)用中，通常學(xué)生T-Copula 比正態(tài)Copula 系數(shù)結(jié)構(gòu)更加靈活，能夠更好地描述多元隨機(jī)變量之間的相依關(guān)系，尤其在擬合金融數(shù)據(jù)的應(yīng)用中[20]。令Tν-1為標(biāo)準(zhǔn)學(xué)生t 分布Tv的逆分布，其自由度系數(shù)為ν＞2。TR，ν為n 維學(xué)生t 分布，其相關(guān)系數(shù)矩陣為R，自由度系數(shù)為ν。那么，n 維學(xué)生T-Copula可以定義如下：

且其密度函數(shù)可定義為：

其中，tν和tR，ν分別為Tν和TR，ν的概率密度函數(shù)。

我們借助DCC-GARCH 模型的思路[21]，可以構(gòu)建一個(gè)時(shí)變T-Copula，其時(shí)變相關(guān)系數(shù)矩陣由以下等式來(lái)描述：

另外，等式（7）確保條件相關(guān)系數(shù)矩陣Rt是正定的[22]。

（四）模型估測(cè)

令Θ=｛θ，γ1，…，γn｝為聯(lián)合分布的系數(shù)集，其中θ 為Copula 部分的系數(shù)，γi是第i 個(gè)資產(chǎn)價(jià)格的邊際分布的系數(shù)集。那么，所有n 個(gè)價(jià)格在時(shí)間t 的條件累計(jì)分布函數(shù)為：

基于等式（10），對(duì)數(shù)似然函數(shù)值可以寫成：

等式（12）顯示出Copula 和邊際分布是相加性可分的。所以我們可以運(yùn)用兩步法估測(cè)整個(gè)模型。第一步，用最大似然法估測(cè)每個(gè)變量的邊際分布的系數(shù)，然后再基于第一步的估測(cè)得出的每個(gè)價(jià)格變化的累計(jì)分布函數(shù)，用最大似然法估測(cè)Copula 的系數(shù)。Joe et al.[12]和Patton[13]都論證了這種兩步法的估測(cè)值是一致的，且漸進(jìn)服從正態(tài)分布。

本文先用最大似然法估測(cè)每個(gè)價(jià)格序列的GJR（1，1）模型，然后估測(cè)時(shí)變T-Copula 的系數(shù)。對(duì)于T-Copula 的最大似然法估測(cè)通常得不出分析解，并且數(shù)值法最大化問(wèn)題也十分困難。我們遵循Chen et al.[22]的辦法，基于，可以計(jì)算出的樣本協(xié)方差矩陣，這個(gè)樣本協(xié)方差矩陣是自由度ν 的函數(shù)。先設(shè)定，可以運(yùn)用等式將Qt和Rt在所有時(shí)間t 的數(shù)值表述為α，β 和ν的函數(shù)，然后通過(guò)最大化T-Copula 密度的對(duì)數(shù)似然值來(lái)估測(cè)α，β 和ν。

四、數(shù)據(jù)來(lái)源

本文擬合的數(shù)據(jù)為上海期貨交易所交易的12種期貨主力合約20 分鐘的價(jià)格變化（對(duì)數(shù)回報(bào)率）。我們運(yùn)用AR（1）來(lái)描述條件均值，然后用GJR（1，1）來(lái)描述每一個(gè)價(jià)格變化的條件波動(dòng)率[19]。在運(yùn)用TCopula 函數(shù)形式的時(shí)候，我們用一個(gè)時(shí)變相關(guān)系數(shù)矩陣來(lái)描述各個(gè)變量之間的動(dòng)態(tài)相依關(guān)系[21]。由于所需估測(cè)的系數(shù)比較多，直接用最大似然法估測(cè)很難得到滿意的結(jié)果。我們采用兩步法來(lái)估測(cè)，第一步估測(cè)每個(gè)合約價(jià)格變化的邊際分布模型，第二步估測(cè)Copula 函數(shù)中的系數(shù)。

目前在上海期貨交易所交易的期貨合約共有14 個(gè)品種，分別為銅、鉛、鋁、鋅、錫、鎳、天然橡膠、瀝青、螺紋鋼、熱卷、黃金、白銀、燃料油和線材。由于燃料油和線材交易十分不活躍或者交易時(shí)長(zhǎng)不滿1 年等原因，在分析中不考慮這兩個(gè)品種②。具體數(shù)據(jù)的時(shí)間跨度為2018 年1 月2 日至2018 年12 月28 日。由于我們所描述的數(shù)據(jù)頻率為20 分鐘，所以1 年長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)可以提供足夠的樣本數(shù)量用于估測(cè)。而且1 年長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)也可充分包括數(shù)據(jù)中的大部分的季節(jié)性因素。本文的原始數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)內(nèi)某大型期貨公司量化交易柜臺(tái)實(shí)時(shí)獲取的高頻數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)頻率為0.5 秒。我們對(duì)每一個(gè)交易品種在每一天按照最大持倉(cāng)量的原則選取主力合約，然后將每個(gè)品種的主力合約連接起來(lái)形成整體數(shù)據(jù)。所有12個(gè)品種的主力合約的價(jià)格按照接收行情的時(shí)間戳對(duì)齊。通常對(duì)于每一個(gè)相對(duì)交易比較活躍的合約價(jià)格，每0.5 秒交易所都會(huì)發(fā)送新的行情價(jià)格。而對(duì)于某些交易不活躍的合約或者某些活躍合約在極少數(shù)不活躍的時(shí)間段，在某些0.5 秒的時(shí)間段中交易所不會(huì)推送任何行情。我們根據(jù)數(shù)據(jù)中的買價(jià)和賣價(jià)算出中間價(jià)，再選出20 分鐘頻率的價(jià)格來(lái)計(jì)算價(jià)格變化。如果恰巧在所選的時(shí)間點(diǎn)上沒(méi)有數(shù)據(jù)，我們將用前后最近的價(jià)格均值來(lái)代替。另外，由于每種合約夜盤交易時(shí)段有所不同且模型估測(cè)的核心在于所有合約的聯(lián)合分布，夜盤時(shí)段只采用所有合約都進(jìn)行交易時(shí)段的數(shù)據(jù)。最后，所擬合的價(jià)格變化具體為每20 分鐘價(jià)格的自然對(duì)數(shù)的一階差分，當(dāng)交易停止時(shí)或者主力合約更換的時(shí)候，就會(huì)產(chǎn)生異常值。為了避免給整個(gè)模型估測(cè)帶來(lái)問(wèn)題，我們將交易中斷或主力合約更換期間的價(jià)格變化值都設(shè)為0。

五、實(shí)證結(jié)果

（一）數(shù)據(jù)的初步分析

同一品種合約在不同時(shí)期有不同的波動(dòng)率，而且具有明顯的波動(dòng)率聚集現(xiàn)象。即使在排除了交易間斷過(guò)程（包括更換主力合約等情況）的價(jià)格大幅度波動(dòng)的情況下，某些品種的價(jià)格變化仍有超常規(guī)的跳動(dòng)。表1 顯示了12 個(gè)期貨品種對(duì)數(shù)回報(bào)率的描述性統(tǒng)計(jì)量，分別為均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度和峰度。所有品種回報(bào)率趨近于0，標(biāo)準(zhǔn)差在0.000 8 到0.004 1 之間。其中，天然橡膠波動(dòng)率最高，黃金最低。12 個(gè)品種的偏度在-0.58 到0.52 之間。12 個(gè)品種的峰度都明顯大于3，充分說(shuō)明了所有回報(bào)率分布的厚尾性。根據(jù)以上的初步分析，采用GARCH 模型來(lái)描述回報(bào)率的波動(dòng)率聚集和分布的厚尾性。

表1 12 種期貨合約20 分鐘對(duì)數(shù)回報(bào)率的統(tǒng)計(jì)描述

（二）邊際分布的估測(cè)

在估測(cè)每一個(gè)合約的邊際分布時(shí)，本文采用了AR（1）過(guò)程和GJR（1，1）模型來(lái)描述價(jià)格變化的條件均值和條件方差。在實(shí)際應(yīng)用中，可以加入更多外生變量來(lái)提高模型的擬合和預(yù)測(cè)效果③。表2 顯示了單個(gè)合約邊際分布的估測(cè)結(jié)果。對(duì)于條件均值等式，除了銅、鉛、瀝青、熱卷和黃金，其他品種的第一個(gè)滯后項(xiàng)的系數(shù)都是統(tǒng)計(jì)上顯著的。說(shuō)明AR（1）可以較好地描述合約的條件均值。在條件方差方面，對(duì)于絕大多數(shù)合約的描述，GARCH 和ARCH 項(xiàng)的系數(shù)是統(tǒng)計(jì)上顯著的。然而，對(duì)于杠桿項(xiàng)，有很多合約的系數(shù)并不是統(tǒng)計(jì)上顯著的，或許GARCH（1，1）的模型會(huì)比GJR（1，1）的模型能夠更好地描述一部分期貨合約的價(jià)格變化④。另外，大部分合約的自由度系數(shù)都是統(tǒng)計(jì)上顯著的，并且估測(cè)數(shù)值比較小，充分說(shuō)明合約具有顯著的厚尾性。我們可以根據(jù)模型估測(cè)結(jié)果，繪制12 個(gè)合約估測(cè)的條件波動(dòng)率。對(duì)于20 分鐘間隔的價(jià)格變化，可以明顯觀測(cè)到波動(dòng)率的積聚性以及波動(dòng)率突發(fā)升高的現(xiàn)象。這也充分說(shuō)明了，交易所加強(qiáng)日內(nèi)價(jià)格變化的風(fēng)險(xiǎn)控制的重要性和必要性。

（三）時(shí)變Copula 函數(shù)的估測(cè)

表3 列示了Copula 函數(shù)的估測(cè)結(jié)果?；跇?biāo)準(zhǔn)誤差，Copula 函數(shù)的三個(gè)系數(shù)都是統(tǒng)計(jì)上顯著的。系數(shù)α 的估測(cè)值非常接近于0，系數(shù)β 的估測(cè)值非常接近于1，而自由度系數(shù)ν 的估測(cè)值大約為23。T-Copula 函數(shù)的自由度系數(shù)的估測(cè)值體現(xiàn)了TCopula 同時(shí)描述多組合約價(jià)格變化的相依關(guān)系時(shí)的相對(duì)表現(xiàn)。由于T-Copula 的自由度系數(shù)很大程度決定了所描述的各個(gè)組合期貨合約的尾部相依度，在擬合大量合約的情況下，有些合約之間尾部相依度較高，有些則較低，T-Copula 自由度系的估測(cè)值也是同時(shí)描述較高和較低尾部相依性的一種折中。所以，T-Copula 可以在一定程度上更好地描述多種價(jià)格變化的相依關(guān)系[20]。

表2 12 種期貨合約邊際分布的估測(cè)結(jié)果

表3 時(shí)變T-Copula 函數(shù)中系數(shù)的估測(cè)值及其標(biāo)準(zhǔn)誤差

（四）時(shí)變相依關(guān)系

時(shí)變T-Copula 模型的相關(guān)系數(shù)矩陣和自由度系數(shù)可以比較好地同時(shí)描述多種合約價(jià)格變化的相依關(guān)系，尤其是在一定程度上可以較好地描述每?jī)蓚€(gè)合約之間的尾部相依關(guān)系。圖1 繪出了螺紋鋼和熱卷、黃金和白銀、銅和鎳、銅和錫、錫和白銀、橡膠和瀝青，這6 組合約的動(dòng)態(tài)相關(guān)系數(shù)。前3 組合約品種由于屬于相同或者相近的合約類別，他們的相關(guān)系數(shù)均超過(guò)0.5，而后3 組合約屬于不同的類別，他們的相關(guān)系數(shù)均低于0.5。同時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)在時(shí)變的動(dòng)態(tài)模型構(gòu)造下，各組合約之間的相關(guān)系數(shù)時(shí)變性還是很明顯的⑤。圖2 繪出了上述6 組合約的尾部相依系數(shù)（tail dependence coefficient）。螺紋鋼和熱卷這對(duì)合約的尾部相依系數(shù)在0.3 左右波動(dòng)，可見(jiàn)這兩種產(chǎn)品的尾部相依關(guān)系是多么的密切。而黃金和白銀、銅和鎳，這2 組合約的尾部相依系數(shù)在0.03 左右波動(dòng)。后3 組非同類或接近同類的合約組合尾部相依系數(shù)都幾乎接近于0。由于模型的時(shí)變屬性，尾部相依系數(shù)也是一直在波動(dòng)的。以上結(jié)果充分說(shuō)明了，時(shí)變T-Copula 模型可以在一定程度上同時(shí)描述多種合約的相依關(guān)系，尤其是尾部的相依關(guān)系。

六、結(jié)論與展望

圖1 6 對(duì)期貨合約的估測(cè)條件相關(guān)系數(shù)

圖2 6 對(duì)期貨合約的估測(cè)尾部相依系數(shù)

基于時(shí)變T-Copula 模型，本文構(gòu)建和估測(cè)了期貨合約相依關(guān)系。第一，用AR（1）過(guò)程和GJR（1，1）模型來(lái)描述每個(gè)合約價(jià)格變化的條件均值和條件方差。第二，用時(shí)變T-Copula 模型來(lái)連接每個(gè)合約的邊際分布，從而描述它們的相依關(guān)系。在時(shí)變TCopula 模型中，時(shí)變的相依關(guān)系主要由時(shí)變的相關(guān)系數(shù)矩陣和自由度系數(shù)來(lái)共同描述。本文運(yùn)用一個(gè)動(dòng)態(tài)條件相關(guān)系數(shù)（DCC）的構(gòu)造，來(lái)實(shí)現(xiàn)隨時(shí)間變化的相依系數(shù)矩陣。估測(cè)結(jié)果顯示，對(duì)于上海期貨交易所12 個(gè)期貨品種的主力合約在2018 年所有交易日的20 分鐘價(jià)格變化數(shù)據(jù)，此模型可以較好地描述邊際分布和聯(lián)合分布。但GJR（1，1）模型中的杠桿效應(yīng)不是十分顯著，這也意味著用GARHCH（1，1）模型代替GJR（1，1）模型或許更加合適。在相依關(guān)系的描述方面，本文繪制了6 組合約估測(cè)的條件相依系數(shù)和尾部相依系數(shù)。時(shí)變T-Copula 模型可以很好地同時(shí)描述多個(gè)合約價(jià)格變化的相依關(guān)系，尤其是顯著的尾部相依性。

在理論上講，很難找到一個(gè)Copula 函數(shù)形式能夠足夠靈活地同時(shí)描述很多變量的相依關(guān)系。本文中所構(gòu)建的時(shí)變T-Copula 模型也具有一定的局限性。此模型的系數(shù)結(jié)構(gòu)對(duì)于每一對(duì)所包含的隨機(jī)變量，其產(chǎn)生的尾部相依系數(shù)中上尾相依系數(shù)和下尾相依系數(shù)總是相等的。在現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)中，兩個(gè)變量的上尾相依系數(shù)和下尾相依系數(shù)并不總是相等的。另外，當(dāng)所包含的變量數(shù)量不斷增加的時(shí)候，此模型描述尾部相依關(guān)系的能力將會(huì)降低。當(dāng)然，通過(guò)本文的闡述和對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)估測(cè)，時(shí)變T-Copula 模型可以足夠好地描述多種合約的條件相關(guān)系數(shù)和在一定程度上體現(xiàn)數(shù)據(jù)中的顯著的尾部相依關(guān)系。

注釋：

①數(shù)據(jù)來(lái)源于上海期貨交易所網(wǎng)站。

②每個(gè)交易品種的合約信息可以在上海期貨交易所網(wǎng)站獲得，http：//www.shfe.com.cn/。

③在目前中國(guó)期貨市場(chǎng)的高頻數(shù)據(jù)中，我們可以引入不少外生變量，比如成交量、持倉(cāng)量、買量和賣量等。

④在實(shí)際估測(cè)中，對(duì)于杠桿項(xiàng)不顯著的合約，可以用GARCH（1，1）模型替換GJR（1，1）模型。在本文中，仍然用GRJ（1，1）并且相信對(duì)模型的估測(cè)不會(huì)有很大影響。

⑤T-Copula 模型的相關(guān)系數(shù)矩陣在數(shù)值上很接近，但一般情況下不等于各個(gè)合約價(jià)格變化的相關(guān)系數(shù)矩陣。