杜海洋
摘 要:一題多解對于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造能力,對增強數(shù)學(xué)知識的橫向聯(lián)系意識是非常有效的。通過這種方式的訓(xùn)練,能夠培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性及提高解題的效率,達到事半功倍的目的。
關(guān)鍵詞:課本例題;一題多解;過焦點直線
縱觀近幾年高考試題涉及拋物線知識,則將過拋物線焦點的直線的性質(zhì)常作為考查的切入點,本例由一道課本例題出發(fā),筆者從不同角度用十種方法來解答,以饗讀者。
(普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-1)69頁:
例4:斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點,與拋物線相交于A、B兩點。求線段AB的長。
方法一:(兩點間的距離公式)由已知可得直線AB的方程為y=x-1(1)。與拋物線y2=4x聯(lián)立解得x2-6x+1=0(2)。
方法二:直接利用公式:8。
方法三:利用勾股定理:(過B點向x軸作垂線交DA的延長線于點N)
由直線的傾斜角θ=45°。可得Rt△ABN為等腰Rt△
AB2=2BN2=2(x1-x2)2=2(x1+x2)2=8(x1x2)=2(36-4)=64∴AB=8
方法四:利用性質(zhì):AB=x1+x2+P。由方法一可得AB=6+2=8。
方法五:利用性
方法六:利用性質(zhì)S△
∵S(d為原點到直線的距離)∴AB=8。
方法七:利用=1
∴AB2P2=8
方法八:根據(jù)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線L相切的性質(zhì)。
即找到AB的到準(zhǔn)線L的距離為AB的一半。
由(2)可得x1+x2,即M(3,2).
所以點M到準(zhǔn)線L的距離為3-(-1)=4,則AB=8
方法九:利用參數(shù)方程。
設(shè)A(2pt2,2pt)則點A在直線y=x-1。即4t2-4t-1=,仿方法一可得結(jié)論。
方法十:利用以AF,BF分別為直徑的圓與y軸相切的性質(zhì)。
即分別求出AF,BF的中點到y(tǒng)軸的距離即可。
AF+2=8
附:過拋物線焦點弦的常用性質(zhì)。(以下希望讀者結(jié)合課本例題仿照引例證明)。(1)xAxB=2)焦點弦中通徑(垂直于x軸的焦點弦)最短;(3)Aα是直線AB的傾斜角);(4)S△直線AB的傾斜角);(5)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線MN相切,切點為MN的中點Q;(6)以MN為直徑的圓與AB相切,切點為焦點F;(7)A,O,N三點共線,B,O,M三點共線;(
點評:通過對教材典型代表例題進行一題多解的訓(xùn)練,不僅能讓學(xué)生對本節(jié)知識掌握更透徹,還能使學(xué)生的解題思路更加開闊,在進一步培養(yǎng)了學(xué)生思維遷移的能力和提高學(xué)生的解題能力的同時,還激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性、求知欲,并潛移默化地培養(yǎng)了學(xué)生優(yōu)良的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
參考文獻:
楊剛.多維視角 殊途同歸[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2018(10):46-47.