四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 游 嬌

四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 羅力杰

四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 劉成龍

中考試題立意深刻、設(shè)計(jì)獨(dú)特、背景公平，具有典型性、示范性和公平性，是知識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的載體，直接反映了中考命題規(guī)律和動(dòng)態(tài).因此，中考試題是研究中考的最佳材料.如何研究中考試題呢？我們認(rèn)為首要任務(wù)是選擇恰當(dāng)?shù)囊暯?研究中考試題的視角很多，如解法、變式、背景、立意、規(guī)律等.本文中針對(duì)2018年成都中考第28題，從解法、背景和變式三個(gè)角度進(jìn)行深入研究.

一、試題再現(xiàn)

試題：（2018年成都中考第28題，下文簡(jiǎn)稱28題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以直線x=為對(duì)稱軸的拋物線y=ax2+bx+c與直線l∶y=kx+m（k＞0）交于A（1，1）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，5），直線l與y軸交于點(diǎn)D.

圖1

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）設(shè)直線l與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為F，點(diǎn)G是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一點(diǎn).若，且△BCG與△BCD面積相等，求點(diǎn)G的坐標(biāo).

（3）若在x軸上有且僅有一點(diǎn)P，使∠APB=90°，求k的值.

注：解（1）得y=x2-5x+5，過(guò)程略.

二、試題解法

在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，問(wèn)題是研究的對(duì)象，而問(wèn)題解決不僅是研究的目標(biāo)，而且是最基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)形式.試題解法研究可以從一題多解和多題一解著手，從答題的典型失誤和優(yōu)美解、方法提煉、解題反思等視角展開.其中，一題多解指對(duì)試題從不同的路徑，采用不同的方法進(jìn)行研究，最終獲得不同的解法［1］.試題多解的研究有利于溝通解法間的聯(lián)系，有利于弄清試題的本質(zhì)，有利于發(fā)掘試題的背景，有利于厘清試題的變式，有利于從不同角度領(lǐng)會(huì)命題者的意圖.本文對(duì)28題（2）（3）進(jìn)行多解研究.

1.（2）的多種解法

解法1：如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BT⊥x軸于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥l于點(diǎn)M，AE⊥BT于點(diǎn)E.

圖2

由題意得點(diǎn)G的位置分為兩種情形，如圖3：

①點(diǎn)G在BC下方.

DG1∥BC，解得x=3，得出點(diǎn)G（3，-1）.

②點(diǎn)G在BC上方.

因?yàn)镚2G3與DG1關(guān)于BC對(duì)稱，所以

圖3

解法2：設(shè)點(diǎn)

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=x2-5x+5，解得k=，所以點(diǎn)得出直線BC的方程為下同解法1.

解法3：由解得x=k+4或x=1（舍去）.

所以點(diǎn)B（k+4，k2+3k+1）.又因?yàn)辄c(diǎn)，解得（舍去），所以得到點(diǎn)易知直線BC的方程為5.下同解法1.

解法4：如圖4，作AM⊥x軸，BN⊥x軸，垂足分別為點(diǎn)M、N，記直線x=與x軸的交點(diǎn)為Q，則.因?yàn)镸Q=，所以NQ=2，則點(diǎn)

圖4

下同解法1.

2.（3）的多種解法

解法1：如圖5，由題意可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1）.又點(diǎn)A在y=kx+m上，易得m=1-k，于是y=kx+1-k.

圖5

解法2：同解法1，解得點(diǎn)B（k+4，k2+3k+1）.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，0），則直線AP的方程為.因?yàn)椤螦PB=90°，所以AP⊥BP，得直線BP的方程為y=（n-1）x+n（1-n）.將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，得n2-（k+5）n+k2+4k+5=0.因?yàn)辄c(diǎn)P有且只有一個(gè)，解得k=-1+

解法3：同解法1，解得點(diǎn)B（k+4，k2+3k+1）.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，0），因?yàn)锽A的中點(diǎn)為顯然PO′則n2-（k+5）n+k2+4k+5=0，解得①.因?yàn)閗AP·kBP=-1，所以=-1，則k2+3k+1=（n-1）·（k+4-n）②.將①代入②，得

解法4：同解法1，點(diǎn)A（1，1）、B（k+4，k2+3k+1）.設(shè)點(diǎn)P（n，0），由kAP·kBP=-1，得，解得n=.因?yàn)辄c(diǎn)P是唯一的，所以Δ=0，解得，所以點(diǎn)因?yàn)椤螦PB=90°，所以AB2=AP2+BP2，則3k2+6k-5=0，解得.又因?yàn)閗＞0，所以k=-1+

三、試題變式

變式指相對(duì)于某種范式，不斷變更問(wèn)題情境或改變思維角度，使事物的非本質(zhì)屬性時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，而事物的本質(zhì)屬性保持不變的變化方式［2］.變式可以有效抑制題海戰(zhàn)術(shù)，而且能完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生形成良好的認(rèn)知能力.下面對(duì)28題（2）進(jìn)行變式研究.

分析1：（2）中△BCG與△BCD面積相等這一條件能變成更一般的情形嗎？

變式1：其他條件不變，將△BCG與△BCD的面積比改為，求點(diǎn)G的坐標(biāo).

解：已知點(diǎn)

（1）當(dāng)點(diǎn)G在BC上方時(shí)，得直線G1G2的方程為解得點(diǎn)G的坐標(biāo)為

（2）當(dāng)點(diǎn)G在BC下方時(shí)，得直線G3G4的方程為解得點(diǎn)G的坐標(biāo)為

分析2：（2）中這一條件能變成更一般的情形嗎？

變式2：其他條件不變，設(shè)=λ，求點(diǎn)G的坐標(biāo).

解：如圖4，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，得，即，解得，所以點(diǎn)又點(diǎn)A（1，1）在y=kx+m上，由解得，則直線直線

分析3：（2）中△BCD與△BCG面積相等和這兩個(gè)條件能同時(shí)變成更一般的情形嗎？（有興趣的讀者可以研究）

四、試題背景

試題背景指命題選材中涉及的知識(shí)、模型、思想、方法等.［2］研究試題背景對(duì)理解試題、把握試題本質(zhì)有積極意義.常見(jiàn)的試題背景有很多，如現(xiàn)實(shí)生活背景、初中教材背景、中考試題背景、高中數(shù)學(xué)背景等.［2］28題蘊(yùn)含豐富的高中數(shù)學(xué)背景，分析如下：

背景1：點(diǎn)到直線距離公式

分析1：（2）中△BCD與△BCG具有相同的邊BC，而△BCD與△BCG面積相等等價(jià)于BC邊上的高相等，即點(diǎn)G到BC的距離等于點(diǎn)D到BC的距離，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求到BC距離等于點(diǎn)D到BC距離的點(diǎn)G，顯然試題含有點(diǎn)到直線距離這一背景.

點(diǎn)到直線距離公式：設(shè)直線方程Ax+By+C=0，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），則點(diǎn)P到直線的距離下面給出點(diǎn)到直線距離公式下的試題解答：

圖6

解：如圖6，設(shè)點(diǎn)G（x，x2-5x+5），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，直線BC的方程為由S△BCD=解得DE=.又S△BCD=S△BCG，所以利用點(diǎn)到直線距離公式得出點(diǎn)G到直線BC的距離為

背景2：定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式.

分析2：（2）中將A、B、F三點(diǎn)聯(lián)系在一起，從本質(zhì)上講這種聯(lián)系是坐標(biāo)間的聯(lián)系，如何刻畫呢？最直接的表征方式是向量的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式.

定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)坐標(biāo)軸上一有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1和x2，分點(diǎn)M分此有向線段的比為λ，那么，分點(diǎn)M的坐標(biāo)

至于點(diǎn)B坐標(biāo)的求解，可以運(yùn)用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，如下：

數(shù)學(xué)家波利亞指出：一個(gè)有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付煩瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過(guò)量的題目，還不如適當(dāng)?shù)剡x擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個(gè)方面.［3］從多個(gè)方面對(duì)28題進(jìn)行分析，可以深刻理解試題的本質(zhì)、拓寬試題解法、加強(qiáng)試題變式，以達(dá)到舉一反三、觸類旁通.