浙江省三門縣三門初級(jí)中學(xué) 丁堅(jiān)鋒

在中考前的一段時(shí)間，畢業(yè)班的教師忙著選題、做題、研題，不亦樂乎.其間，有幾位教師與我交流了一道題的解法，得知這道題的得分率很低，這引起了筆者對(duì)這道題一探究竟的興趣.

一、試題呈現(xiàn)

圖1

圖2

二、解法探究

1.代數(shù)法：借助函數(shù)模型，關(guān)聯(lián)方程知識(shí)

求最值是函數(shù)問題中最常見的一類問題，從幾何圖形中找出數(shù)量關(guān)系，建立一個(gè)函數(shù)模型去求BD的最大值，便成了很自然的想法，于是筆者進(jìn)行了嘗試.

分析：如圖2，分別作AE⊥BC 于點(diǎn)E，DF⊥BC 交BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

設(shè)AE=a，DF=b.

由BE2+AE2=AB2，得，化簡(jiǎn)得a2+b2=

由BD2=（BC+CF）2+DF2，得（a+b）+1.此時(shí)，只需求出a+b的最大值即可.

圖3

不妨設(shè)a+b=m，消去a（消去b也行），得a=m-b.代入中，得m2+2=0.由Δ≥0，得0.畫出y=的圖像，如圖3，計(jì)算出圖像與橫軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合圖像可知，m的最大值為，此時(shí).至此，問題得到解決.

反思：此法通過數(shù)形結(jié)合，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，借助函數(shù)性質(zhì)去求最大值，這一過程對(duì)學(xué)生分析圖形中的數(shù)量關(guān)系提出了較高的要求.同時(shí)，需要有較強(qiáng)的綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，才能順利解決問題.學(xué)生較少接觸含兩個(gè)字母的二次式，對(duì)他們而言，首先想到的是解方程，而不會(huì)考慮用根的判別式.學(xué)生不易理解看成關(guān)于b的方程和關(guān)于m的方程的區(qū)別，如果從解方程的角度來看，這兩者是一樣的，因?yàn)楦谋磉_(dá)式是方程的另一種表現(xiàn)形式.我們知道，當(dāng)m變化時(shí)，會(huì)影響到b是否有實(shí)數(shù)根，所以，把方程看成關(guān)于b的方程，從方程有解還是無解方面去考慮，利用根的判別式求m的取值范圍.

不過，一元二次不等式在初中階段不做學(xué)習(xí)要求，通過建立二次函數(shù)，借助函數(shù)圖像去解二次不等式，對(duì)初中生來說難度過大.

2.幾何法：借助基本圖形，關(guān)聯(lián)圖形變換

用變換的方法將數(shù)量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，聚集分散的條件到一個(gè)三角形或基本圖形中，從而解決問題，是解決一類幾何最值問題的基本思路.

解法1：利用全等變換解決問題.

分析：如圖4，將△BCD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACE，即構(gòu)造出一對(duì)全等三角形：△ACE與△DCB，利用全等性質(zhì)，將已知條件分別進(jìn)行轉(zhuǎn)移，把問題轉(zhuǎn)化到△ABE中進(jìn)行解決.過點(diǎn)C作CE⊥BC，且CE=BC，連接BE、AE，所以易知所以BD=AE.AE的最大值等于AB+BE，所以BD的最大值為

圖4

解法2：利用相似變換解決問題.

分析：如圖5，將△ACD做相似變換，得到△AEB，將問題轉(zhuǎn)化到△BCE中進(jìn)行解決.以AB為斜邊，作Rt△AEB，AE=BE，連接CE.易知BE=.因?yàn)榍摇螮AC=∠BAD，所以，所以BD=的最大值等于BE+BC，所以BD的最大值等于

圖5

反思：一般地，數(shù)學(xué)問題的解決是經(jīng)過一系列的轉(zhuǎn)化來完成的，圖形的變換則能將幾何問題中的已知條件在圖形的位置上進(jìn)行轉(zhuǎn)移，在數(shù)量關(guān)系上進(jìn)行轉(zhuǎn)化，所以，圖形的變換思想在轉(zhuǎn)化過程中起到極大的作用.初中的圖形變換主要有全等變換（平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)）和相似變換.學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，當(dāng)圖形中有兩條共頂點(diǎn)的等線段時(shí)，一般可以構(gòu)造全等三角形（有些教師稱之為“手拉手”模型），學(xué)生對(duì)于添輔助線構(gòu)造全等三角形的方法較為熟悉，而對(duì)構(gòu)造“手拉手”型的相似三角形卻較為陌生.事實(shí)上，這與我們?cè)诮虒W(xué)過程中有沒有對(duì)一個(gè)基本圖形進(jìn)行深入探究和類比學(xué)習(xí)有極大的關(guān)系，如圖6，△ABC和△CDE都是等邊三角形，我們既要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖中的結(jié)論進(jìn)行探究，又要從圖形的變換角度提煉數(shù)學(xué)思想方法.圖7則是圖6一般化的結(jié)果，對(duì)此，可從類比學(xué)習(xí)角度進(jìn)行圖形關(guān)系的探究，從而使學(xué)生形成構(gòu)造“手拉手”型相似三角形的意識(shí)，培養(yǎng)圖形關(guān)聯(lián)的意識(shí).

圖6

圖7

從筆者與其他教師的交流中發(fā)現(xiàn)，解決這個(gè)問題最困惑的地方在于要用到什么知識(shí)，添什么樣的輔助線.思路受阻的原因是解題者在進(jìn)行問題表征的過程中無法有效地與相關(guān)知識(shí)和解題模型聯(lián)系起來，如：求最大值的模型、添輔助線構(gòu)造相似圖形的模型.在問題表征過程中能做到積極有效地關(guān)聯(lián)知識(shí)，這與解題者的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有直接關(guān)系，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得又與其學(xué)習(xí)活動(dòng)分不開，特別是參與探究圖形結(jié)論的過程性學(xué)習(xí).

在教學(xué)過程中，告訴學(xué)生一些“基本圖形”的結(jié)論是不夠的，更重要的是關(guān)注發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過程和深層次的學(xué)習(xí)內(nèi)容（數(shù)學(xué)方法的總結(jié)和數(shù)學(xué)思想的凝練）.

三、將問題一般化，發(fā)現(xiàn)共性見本質(zhì)

將上述問題進(jìn)行一般化處理，即得到如下的問題：如圖8，在四邊形ABCD中，AB=m，BC=n，CD∶AC∶AD=a∶b∶c，則BD的最大值為______.

分析：構(gòu)造∠BAO=∠CAD，所以∠BAC，所以，所以.如圖9，當(dāng)B、O、D三點(diǎn)共線時(shí)（點(diǎn)O在點(diǎn)B、D之間），BD的值最大，BD最大=

圖8

圖9

反思：把具體的數(shù)據(jù)換成字母，特殊的位置關(guān)系退化成一般情形，去探究一般化的結(jié)論，是從一題多解走向多解歸一的有效途經(jīng)，是發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)的有效方法.用相似變換轉(zhuǎn)化關(guān)系是解決這類問題的一般方法.

我們從圖9中可以看出，當(dāng)BD的值最大時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)共圓，凸顯了數(shù)學(xué)的奇異之美，在答案的結(jié)構(gòu)上也顯現(xiàn)出對(duì)稱之美.這不禁讓人聯(lián)想到托勒密定理：圓內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積；托勒密定理的推論：任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào).可見，對(duì)于這個(gè)問題，可利用托勒密定理的推論來求BD的最大值，設(shè)CD=ak，AC=bk，AD=ck，代入AC·BD≤AB·CD+AD·BC便可求得結(jié)果.

事實(shí)上，托勒密定理及其推論也是通過構(gòu)造“手拉手”型相似三角形得以證明的.

四、體會(huì)：發(fā)揮“解題模型”在解題中的積極作用——知識(shí)的關(guān)聯(lián)與思維的啟發(fā)

“解題模型”是指教師在解題教學(xué)中發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出的一些結(jié)論性認(rèn)識(shí).具體指一些一般化程度較高的結(jié)論或圖形（或稱之為“基本圖形”），如“手拉手”“一線三等角”等模型.它的主要作用在于聯(lián)想“原型”，啟迪解題方向，縮減思維長(zhǎng)度.從廣義上看，數(shù)學(xué)教材中的定義、法則、公式、原理、性質(zhì)、定理等也是數(shù)學(xué)“解題模型”.

“解題模型”是學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中開展聯(lián)想的原型，如果學(xué)生看到相應(yīng)的問題能建立聯(lián)想，就能順利地找到解題思路.

比如問題：如圖10，在△ABC 中，AB=BC=AC，AD=3，CD=4，BD=5，求∠ADC的度數(shù).

這是學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)后出現(xiàn)的一道典型的習(xí)題，我們把此題與文章開頭的問題（圖1）做一下對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)，它們?cè)谝阎獥l件的特征和相關(guān)線段的位置關(guān)系上都極為相似，解決問題的方法都用到了圖6的結(jié)論.在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，這三個(gè)問題（圖形）的出現(xiàn)順序應(yīng)該是：圖6—圖10—圖1，難度逐級(jí)上升，應(yīng)用圖6解決其他兩個(gè)問題，不僅是結(jié)論的應(yīng)用，更是一種數(shù)學(xué)思想和方法的體現(xiàn).在解決圖10所示的問題時(shí)，若能及時(shí)給予學(xué)生從分析已知尋找可關(guān)聯(lián)的知識(shí)、從分析圖形特征尋找可關(guān)聯(lián)的基本圖形這兩方面的啟發(fā)，就能使學(xué)生獲得有益的解題經(jīng)驗(yàn)，解決圖1所示的問題便會(huì)順利很多.

圖10

解題是一個(gè)復(fù)雜的思維活動(dòng)，數(shù)學(xué)解題模型作為重要的解題元素往往能夠幫助學(xué)生形成良好的解題直覺，啟迪解題方向.按照波利亞的觀點(diǎn)，在解決問題之前，我們應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問題相同或相似的知識(shí)點(diǎn)和題型，充分利用相似問題中的方法和結(jié)論，從而解決現(xiàn)有的問題.這反映出數(shù)學(xué)解題模型能使解題者在分析問題時(shí)產(chǎn)生活躍的聯(lián)想，誘發(fā)知識(shí)關(guān)聯(lián)，進(jìn)而催化假設(shè)、類比、遷移、轉(zhuǎn)化，問題也會(huì)順利解決.