孫現(xiàn)申 岳魁

（1.鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 建筑工程學(xué)院，河南 鄭州 451150；2.方宇勘測(cè)有限公司，河南 鄭州 450000）

道路上、下坡的光滑連接常由圓曲線完成，該曲線的高程計(jì)算在一般教材中總是用近似方法，在一般情況下這不影響道路的施工精度。但道路建筑復(fù)雜度和施工精度要求的提高讓豎曲線嚴(yán)密計(jì)算成為必要，計(jì)算技術(shù)的迅速發(fā)展和普及，又使一般的數(shù)學(xué)計(jì)算很容易實(shí)現(xiàn)，所以在教學(xué)和生產(chǎn)中，豎曲線計(jì)算應(yīng)采用嚴(yán)密公式。

圖1 道路圓形豎曲線

圖1 表示了道路圓形豎曲線的6 種不同類型，其中，凹型豎曲線（i2＞i1）分為3 類：一類i1＜0、i2＞0，如圖1（a）所示；二類i1＞0、i2＞0，如圖1（b）所示；三類i1＜0、i2＜0，如圖1（c）所示。凸型豎曲線（i1＞i2）也分為3 類：一類i1＞0、i2＜0，如圖1（d）所示；二類i1＞0、i2＞0，如圖1（e）所示；三類i1＜0、i2＜0，如圖1（f）所示。為看圖清楚起見，對(duì)圖1 進(jìn)行了很大的夸張表示。

在圖1 中，已知變坡點(diǎn)C的里程CC和高程HC、第1 坡度i1、第2 坡度i2、圓形豎曲線的半徑R。記圓心為O，第1 切點(diǎn)（曲頭）為A，第2 切點(diǎn)（曲尾）為B，曲線中點(diǎn)為M。根據(jù)已知，依次可以算得：

線型判斷符：

當(dāng)s＞0 時(shí)，圓形豎曲線為凹曲線；當(dāng)s＜0 時(shí)，圓形豎曲線為凸曲線。

第1、2 傾角，亦即圓形豎曲線兩切線與水平面的夾角：

傾角增量，亦即圓形豎曲線兩切線的夾角：

切線長(zhǎng)：

外矢距：

第1、2 切點(diǎn)（曲頭、曲尾）A、B的里程：

第1、2 切點(diǎn)（曲頭、曲尾）A、B的高程：

圓心O的里程，由A點(diǎn)推算，可得：

或由B點(diǎn)推算，可得：

圓心O的高程，由A點(diǎn)推算，可得：

將公式（9）代入公式（13），可得：

或由B點(diǎn)推算，可得：

將公式（10）代入公式（15），可得：

由上，可得在如圖1 所示x-H坐標(biāo)系中，圓形豎曲線方程為：

至此，如果知道某點(diǎn)與O點(diǎn)的里程差，就可以用公式（17）計(jì)算出該點(diǎn)的精確高程。曲線另外的特征點(diǎn)的計(jì)算羅列如下。

曲線中點(diǎn)M是直線OC的分割點(diǎn)，故其里程與高程可由下式給出：

過C點(diǎn)鉛垂線與曲線交點(diǎn)的高程：

過O點(diǎn)鉛垂線與曲線交點(diǎn)，有文獻(xiàn)稱為最值點(diǎn)，也就是凹曲線的最低點(diǎn)，或凸曲線的最高點(diǎn)，其里程即CO，其高程由公式（17）可得：

具體的圓形豎曲線計(jì)算并不需要上述所有的公式。必要的公式依次為公式（1）～（8）、（11）、（13）、（17）、（18），其余的公式可用于檢核計(jì)算。

依上述過程和公式，使用True BASIC 算法語言編程，進(jìn)行了多算例驗(yàn)證，下面是其中一例的輸出結(jié)果：

表1 道路圓形豎曲線元素計(jì)算結(jié)果

表2 道路圓形豎曲線高程計(jì)算結(jié)果

關(guān)于道路圓形豎曲線的嚴(yán)密計(jì)算公式，已有若干文獻(xiàn)報(bào)道。比較而言，本文給出的計(jì)算公式，突出優(yōu)點(diǎn)在于將各種類型的圓形豎曲線統(tǒng)一在一個(gè)計(jì)算模型中，而不必在每次計(jì)算前先判斷圓形豎曲線的類型，然后再選擇相應(yīng)的公式。