葉賢俊

摘要：轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)是解決一般物體平衡非常重要的依據(jù)，在此平衡狀態(tài)下作用在物體上的所有力的合力矩等于零。但是當(dāng)物體做變速直線運(yùn)動時，不轉(zhuǎn)動是否還等價于合力矩等于零？如果合力矩不等于零，那么與加速度間有何定量關(guān)系？這對于解決變速直線運(yùn)動有何幫助？學(xué)生初學(xué)時經(jīng)常會對這幾點(diǎn)產(chǎn)生疑惑，本文將對此進(jìn)行釋疑。

關(guān)鍵詞：力矩;轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài);剛體定軸轉(zhuǎn)動定律;平行軸定理

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2019）06-0119

一、問題引入

力可以使物體發(fā)生轉(zhuǎn)動，力對物體作用時所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動效應(yīng)用物理量力矩表示。轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)指一個有固定轉(zhuǎn)動軸的物體，在力的作用下保持靜止或勻速轉(zhuǎn)動。有固定轉(zhuǎn)動軸的物體的平衡條件是，作用在物體上的所有力的合力矩等于零，是以轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)也稱力矩平衡狀態(tài)。對于受平面力系作用而平衡的物體，則對任意轉(zhuǎn)軸的力矩的代數(shù)和都等于零。故常說不轉(zhuǎn)動就是力矩等于零，那么當(dāng)做變速直線運(yùn)動時，這種說法是否還成立？曾有學(xué)生以下題為例，提出疑惑。

例1.如圖1所示，在一輛做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動的小車?yán)铮靡桓L為l的細(xì)繩懸掛一質(zhì)量為m的小球A，繩與豎直方向的夾角為θ。

基于此計(jì)算結(jié)果提出三個問題：首先，這里小球A并沒有轉(zhuǎn)動，為何合力矩不等于零;其次，為何不同轉(zhuǎn)動軸下的力矩不相等;最后，轉(zhuǎn)動平衡關(guān)系是否不適用變速直線運(yùn)動？

二、參考系與轉(zhuǎn)動軸對力矩的影響

仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)學(xué)生分析時混淆了參考系：她所選的轉(zhuǎn)動軸O是在地面（慣性系）坐標(biāo)系中，而并不是固定在車（非慣性系）上的坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)軸O。以地面為參考系時，物體A相對轉(zhuǎn)軸O是在轉(zhuǎn)動的，并不處于轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)，所以合力矩不等于零。只有以車為參考系時，物體處于轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)，但此時所受的力需要加上水平向左的慣性力ma，如圖2所示。

是故在以車為參考系時，不同轉(zhuǎn)動軸下合力矩都等于零，處于轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)。為何在慣性系中以A為轉(zhuǎn)動軸時合力矩也等于零？這是由于A其實(shí)就是物體的質(zhì)心位置，慣性系中小球相對質(zhì)心做直線運(yùn)動，沒有發(fā)生轉(zhuǎn)動。

由此得出結(jié)論：首先，做變速直線運(yùn)動的物體在非慣性系中沒有發(fā)生轉(zhuǎn)動，作用在物體上的所有力的合力矩等于零，處于轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)。其次，做變速直線運(yùn)動的物體在慣性系中，繞定軸轉(zhuǎn)動時合力矩一般不等于零，除非選擇慣性系中物體的質(zhì)心位置為轉(zhuǎn)動軸。所以，在利用力矩平衡處理變速直線運(yùn)動時，需要關(guān)注在哪個參考系中處于轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)。

這里還存在一個問題：以慣性系中的O為轉(zhuǎn)動軸時合力矩不等于零，肯定是由于存在加速度產(chǎn)生的結(jié)果，那么合力矩與加速度之間有怎樣的定量關(guān)系？

三、合力矩與加速度

這里需要利用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律來加以理解。剛體定軸轉(zhuǎn)動定律指剛體所受的對于某定軸的合外力矩等于剛體對此定軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積。用表達(dá)式表示就是[M=Iβ]。

[θ]這里I指對應(yīng)定軸的轉(zhuǎn)動慣量，[β]指繞定軸轉(zhuǎn)動的角加速度。其中轉(zhuǎn)動慣量在繞不同軸轉(zhuǎn)動時是不相等的，遵循平行軸定理：設(shè)剛體質(zhì)量為m，繞通過質(zhì)心轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量為Ic，將此軸朝任何方向平行移動距離d，則繞新軸的轉(zhuǎn)動慣量[I=Ic+md2]。本文考慮的是物體的平動，所以以質(zhì)心為轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量[Ic=0]，故繞不同軸的轉(zhuǎn)動慣量[I=md2]。

以地面參考系中O為轉(zhuǎn)動軸時，小球的加速度如圖3所示，其中[ao]是指加速度垂直物體質(zhì)心與轉(zhuǎn)動軸連線方向上的分量：

這里角加速度是連接合力矩和加速度關(guān)系的橋梁，且角加速度只與垂直物體質(zhì)心與轉(zhuǎn)動軸連線方向上加速度分量成正比。所以說在變速直線運(yùn)動中，合力矩是正比于垂直物體質(zhì)心與轉(zhuǎn)動軸連線方向上加速度[ao]以及質(zhì)心到轉(zhuǎn)動軸間距離d，比例系數(shù)就是物體質(zhì)量。用表達(dá)式表示就是[M=mda0]。

四、利用力矩處理變速直線運(yùn)動的三種方法

通過上述分析得到三個定量關(guān)系：1. 在非慣性系中，物體處于轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)，合力矩等于零。2. 以慣性系中質(zhì)心位置為轉(zhuǎn)動軸，合力矩也等于零。3.以慣性系中其他位置為轉(zhuǎn)動軸時，合力矩滿足[M=mda0]。這三個定量關(guān)系也為解決變速直線運(yùn)動提供了三個方案。

五、小結(jié)

通過上述對學(xué)生問題的分析和挖掘，筆者深感基本概念教學(xué)的重要性，教學(xué)中應(yīng)牢牢抓緊教材中對基本概念的分析，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度對同一模型的分析，以此構(gòu)建對不同基本概念間聯(lián)系和區(qū)別，實(shí)現(xiàn)清晰和系統(tǒng)化的知識概念，同時提升學(xué)生分析問題的能力。反過來學(xué)生在分析過程中產(chǎn)生的疑惑，對教師的能力提出更高的要求，促進(jìn)和鞭策教師對專業(yè)知識的深入學(xué)習(xí)，這就是教學(xué)相長。

（作者單位：浙江省象山中學(xué) 315700）