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函數(shù)應(yīng)用綜合演練A卷

一、選擇題

1.提示：由題意知函數(shù)f（x）是增函數(shù)。根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及f（0）=-2＜0，f（1）=e-2＞0，可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)。應(yīng)選B。

2.提示：易知的定義域?yàn)椋?，+∞），且在定義域上單調(diào)遞增。因?yàn)?，所以f（1）·f（2）＜0。由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（1，2）。應(yīng)選B。

3.提示：因?yàn)榈谝淮嗡〉膮^(qū)間是（-2，4），所以第二次所取的區(qū)間可能為（-2，1），（1，4），則 第 三 次 所 取 的 區(qū) 間 可 能 為應(yīng)選D。

4.提示：因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)閇0，+∞），所以易知函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減。因?yàn)樗院瘮?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（1，2）。應(yīng)選B。

5.提示：由表中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)單價(jià)為4元時(shí)銷售量為400件，單價(jià)每增加1元，銷售量就減少40件。設(shè)定價(jià)為x元/件時(shí)，日均銷售利潤(rùn)為y元，則y=（x-3）·[400-（x-故當(dāng)x=時(shí)，該商品的日均銷售利潤(rùn)最大。應(yīng)選C。

6.提示：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，又函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，所以f（1）·f（2）＜0，可得（-a）（4-1-a）＜0，即a（a-3）＜0，解得0＜a＜3。應(yīng)選C。

7.提 示：令f（x）+3x=0，則或解得x=0或x=-1，所以函數(shù)y=f（x）+3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2。應(yīng)選C。

8.提示：根據(jù)題意可得l gA=l gA0+l g 10M=l g（A0·10M），所以A=A0·10M，則應(yīng)選D。

9.提示：由題意可知函數(shù)f（x）在（-∞，-1）和（-1，+∞）上都是增函數(shù)，又-1+1=ln（-1+2）=0，所以f（x）是單調(diào)增函數(shù)。因?yàn)楹瘮?shù)y=f（2-x2）-f（2x+k）只有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程f（2-x2）=f（2x+k）只有一個(gè)根。因?yàn)閒（x）是單調(diào)增函數(shù)，所以方程2-x2=2x+k只有一個(gè)解，即方程x2+2x+k-2=0只有一個(gè)解。由于Δ=4-4（k-2）=0，所以k=3。應(yīng)選B。

10.提 示：由f（x）=0，可 得m=因?yàn)?，所以解?5≤x＜10，x∈Z，可知x=-5，-4，-3，…，1，2，3，…，8，9，將它們分別代入m=驗(yàn)證可得符合條件的m取值為0，4，11，28，共4個(gè)。應(yīng)選C。

11.提示：由函數(shù)圖像可知f（±1）=0，1，g（±1）=-1，所以f[g（±2）]=f（1）=f（0）=0，f[g（0）]=f（0）=0，所 以f[g（x）]有7個(gè)零點(diǎn)，即m=7。又g[f（0）]=g（0）=0，g[f（±1）]=g（0）=0，所以g[f（x）]有3個(gè)零點(diǎn)，即n=3。故m+n=10。應(yīng)選C。

12.提示：設(shè)售價(jià)在90元的基礎(chǔ)上漲x元。因?yàn)檫@種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少20個(gè)，所以若漲x元，則銷售量減少20x，按90元一個(gè)能全部售出，則按（90+x）元售出時(shí)，能售出（400-20x）個(gè)，每個(gè)利潤(rùn)是90+x-80=10+x（元）。設(shè)總利潤(rùn)為y元，則y=（10+x）（400-20x）=-20x2+200x+4000，對(duì)稱軸為x=5，所以當(dāng)x=5時(shí)，y有最大值，其售價(jià)為95元。所以售價(jià)定為每個(gè)95元時(shí)，利潤(rùn)最大。應(yīng)選C。

13.提示：由三視圖可知，該容器的上部分為圓臺(tái)，下部分是一個(gè)與上部分形狀相同的倒放的圓臺(tái)，所以水面高度隨時(shí)間的變化為先慢后快再慢的情況。應(yīng)選C。

14.提示：依題意并結(jié)合函數(shù)f（x）的圖像可知代入化簡(jiǎn)解得應(yīng)選C。

15.提示：由題意易知g（x）=2017x-為奇函數(shù)且在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（1-2x）+3+g（x）+3＞6，即g（x）＞g（2x-1），可得x＞2x-1，即x＜1。故不等式f（1-2x）+f（x）＞6的解集為（-∞，1）。應(yīng)選A。

16.提示：因?yàn)楫?dāng)t∈[0，30]時(shí)，污染物數(shù)量的變化率是-10 ln2，所以-10 ln2=，所以p0=600 ln2。因?yàn)閜（t）=所以p（60）=600 ln2×2-2=150 ln 2（m g/L）。應(yīng)選C。

二、填空題

17.提示：令f（x）=0，當(dāng)x≥λ時(shí)，可得x=4;當(dāng)x＜λ時(shí)，由x2-4x+3=0，可得x=1或x=3。若函數(shù)f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖像（圖略），可得1＜λ≤3或λ＞4。答案為（1，3]∪（4，+∞）。

18.提示：由題意可知f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，f（3）＜0，可知函數(shù)的零點(diǎn)x0∈（2，3），故k=2。

19.提示：由題意可得空閑率為，所以，其定義域?yàn)椋?，m）。因?yàn)椋?，m），k＞0，所以當(dāng)

20.提示：因?yàn)閒（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，所以f（1）·f（2）＜0，代入化簡(jiǎn)解得2＜m＜5。故實(shí)數(shù)m∈（2，5）。

21.提示：將（1000，90）代入y=100 ea x，可得，則y與x的函數(shù)關(guān)系可近似表示為，當(dāng)x=2000時(shí)，y=100（eln0.9）2=81。

22.提示：若模型為f（x）=2x+a，則f（1）=21+a=4，可得a=2，這時(shí)f（x）=2x+2，據(jù)此可得f（2）=6，f（3）=10，f（4）=18，與表中數(shù)據(jù)相差太大。若模型為f（x）=，則f（x）是減函數(shù)，與表中數(shù)據(jù)相差太大。若模型為f（x）=a x+b，由已知得解得所以故最適合的函數(shù)模型的序號(hào)為①。

23.提示：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=4x-2x-a，x∈[-1，1]有零點(diǎn)，所以方程4x-2x-a=0在[-1，1]上有解，即方程a=4x-2x在[-1，1]上有解。方程a=4x-2x可變形為由x∈[-1，1]，得2x∈所以故實(shí)數(shù)

24.提示：當(dāng)x＜1時(shí)，令ln（1-x）=0，解得x=0，可知f（x）在（-∞，1）上有1個(gè)零點(diǎn)，所以f（x）在[1，+∞）上也有1個(gè)零點(diǎn)。當(dāng)x≥1時(shí)，令，得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）。

25.提示：當(dāng)t=0.5時(shí)，y=2，所以2=e0.5k，可得k=2 ln 2，這時(shí)y=e2tln2。故當(dāng)t=5時(shí)，y=e10ln2=210=1024。

26.提示：設(shè)公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車（16-x）輛，所以獲得利潤(rùn)y=4.1x-0.1x2+2（16因?yàn)閤∈[0，16]且x∈N，所以當(dāng)x=10或x=11時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值為43萬元。

27.提示：令y=f（2x2+1）+f（λ-x）=0，則f（2x2+1）=-f（λ-x）=f（x-λ）。因?yàn)閒（x）是R上為單調(diào)函數(shù)，所以2x2+1=x-λ只有一個(gè)實(shí)根，即2x2-x+1+λ=0只有一個(gè)實(shí)根，則Δ=1-8（1+λ）=0，解得

三、解答題

28.提示：f（x）=x-a-x的零點(diǎn)x1是方程x=a-x的解，即是的解，g（x）=xlogax-1的零點(diǎn)x2是方程xlogax-1=0的解，即是的解，所以x，x是12y=ax和y=logax與的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，可得0＜x1＜1，x2＞1。因?yàn)閥=ax與y=logax的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱的圖像也關(guān)于y=x對(duì)稱，所以點(diǎn)A，B關(guān)于y=x對(duì)稱。設(shè)點(diǎn)所以點(diǎn)A關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)B重合，可得即xx=1。所以x2113=5，即x1+4x2的取值范圍是（5，+∞）。

29.提示：（1）f（2）=log33=1。

當(dāng)x＞1時(shí)，由f（x）=3f（2）=3，得x+1=27，即x=26;當(dāng)x≤1時(shí)，由f（x）=3，得5-x=8，即x=-3。故方程f（x）=3f（2）的解集為{-3，26}。

（2）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=log3（x+1）單調(diào)遞增，且f（x）∈（log32，+∞）。

當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=log2（5-x）單調(diào)遞減，且f（x）∈[2，+∞）。

由g（x）=f（x）-a=0，得f（x）=a。

故當(dāng)a∈（-∞，log32]時(shí)，g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0;當(dāng)a∈（log32，2）時(shí)，g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1;當(dāng)a∈[2，+∞）時(shí)，g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。

30.提示：（1）由圖像可設(shè)y1=k1x+29，y2=k2x，把點(diǎn)B（30，35），C（30，15）分別代入y1，y2，可得所以y=1

（2）令y1=y2，即，則x=，y=y，即兩種卡收費(fèi)一

12致;當(dāng)時(shí)，y1＞y2，即使用“便民卡”便宜;當(dāng)時(shí)，y＜y，即使用“如意卡”便

12宜。

31.提示：（1）由題意可知，當(dāng)這種鳥類靜止時(shí)，它的速度為0m/s，此時(shí)耗氧量為30個(gè)單位，可得，即a+b=0;

要使飛行速度不低于2m/s，即v≥2，所以，即，解得27，即Q≥270。

若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s，則其耗氧量至少要270個(gè)單位。

32.提示：（1）由（t為 學(xué) 習(xí) 時(shí) 間），且f（2）=60%，可 得，解得所以

33.提示：（1）由題意可知f（x）=loga（2-3x）有意義，則2-3x＞0，即，故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?/p>

（2）易知g（x）=loga（2-a x）-loga（2+a x）。因?yàn)?-a x＞0且2+a x＞0，所以，即函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。又g（x）=l g oa（2-a x）-loga（2+a x），所以，故g（x）為奇函數(shù)。

（3）令μ=2-a x。因?yàn)閍＞0，a≠1，所以μ=2-a x在[2，3]上單調(diào)遞減。又函數(shù)f（x）在[2，3]上單調(diào)遞增，所以0＜a＜1。

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[2，3]上的最大值為1，所以f（3）=1，即f（3）=loga（2-3a）=1，可得因?yàn)?＜a＜1，所以符合題意。故存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)f（x）在[2，3]上單調(diào)遞增，并且最大值為1。

空間幾何體綜合演練B卷

一、選擇題

1.提示：由圓錐、圓臺(tái)、圓柱的定義可知，①②錯(cuò)誤，③正確。對(duì)于④，只有用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，④不正確。應(yīng)選B。

2.提示：由題意知，其正視圖的面積為當(dāng)頂點(diǎn)P在底面A B C D上的投影在△B C D內(nèi)部或其邊上時(shí)，俯視圖的面積最小，最小值為所以三棱錐P-B C D的正視圖與俯視圖的面積之和的最小值為應(yīng)選A。

3.提示：A，B，D選項(xiàng)滿足三視圖作法規(guī)則，C不滿足三視圖作法規(guī)則中的寬相等，故C不可能是該錐體的俯視圖。應(yīng)選C。

4.提示：作輔助線（圖略），其中O為球心，G，G1分別為正方體上，下底面的中心。設(shè)O G1=x，則O B1=S O=2-x。由正方體的性質(zhì)知，在R t△O BG中，由11，得解得，所以球的半徑，故球的表面積為應(yīng)選D。

5.提示：由三視圖可知，該幾何體的直現(xiàn)圖是五面體D C-A F E B（圖略），其中平面A B C D⊥平面A B E F，C D=2，A B=6，E F=4，底面是等腰梯形，高為3，梯形A B C D的高為4，等腰梯形F E D C的高為故三個(gè)梯形的面積之和為應(yīng)選C。

圖1

6.提示：多面體A B C D E為四棱錐（如圖1），利用割補(bǔ)法可得其體積應(yīng)選D。

圖2

7.提示：由三視圖可知，該幾何體為三棱錐，記為A-B C D，將其放入棱長(zhǎng)為3的正方體中，如圖2。故VA-B C D應(yīng)選D。

圖3

8.提示：根據(jù)該幾何體的三視圖作出其直觀圖，如圖3所示?？梢钥闯鲈搸缀误w是一個(gè)底面為梯形的四棱柱。根據(jù)三視圖可得該幾何體中梯形的上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為3，高為2，所以該幾何體的表面積應(yīng)選B。

9.提示：將正四面體補(bǔ)成正方體，則正四面體的棱為正方體面上的對(duì)角線。因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為4，所以正方體的棱長(zhǎng)為因?yàn)榍騉與正四面體的各棱都相切，所以球O為正方體的內(nèi)切球，即球O的直徑2R=則球O的體積應(yīng)選A。

10.提示：取A B的中點(diǎn)為O1。在可知△A B C所在小圓O1是以A B為直徑的圓，所以，且又球O的直徑P A=4，所以O(shè) A=2，可得O O1=且O O1⊥底面A B C。故點(diǎn)P到平面A B C的距離為應(yīng)選B。

11.提示：將圓柱桶豎放，水面為圓面;將圓柱桶斜放，水面為橢圓面或部分橢圓面;將圓柱桶水平放置，水面為矩形面。所以圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀不可能是梯形面。應(yīng)選C。

12.提示應(yīng)選C。

13.提示：由三視圖可得該幾何體的直觀圖（圖略）。該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體上、下各挖去一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓錐后剩余的部分，其體積為應(yīng)選A。

14.提示：用一個(gè)平面去截正方體，截面的情況有四種：①截面為三角形情況，可以是等腰三角形、等邊三角形，但不可能是直角三角形;②截面為四邊形情況，可以是梯形（等腰梯形）、平行四邊形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形;③截面為五邊形情況，不可能是正五邊形;④截面為六邊形情況，可以是正六邊形。應(yīng)選A。

圖4

15.提示：正三棱錐P-A B C的直觀圖如圖4所示。作P G⊥C B于點(diǎn)G。設(shè)點(diǎn)P在底面A B C內(nèi)的射影為點(diǎn)D。依題意可得平面A B C。易知正三棱錐P-A B C外接球的球心在P D上，不妨設(shè)球心為O，球半徑為r。在R t△A O D中，由r2=A D2+（P D-r）2，得，故S=4 πr2=應(yīng)選B。

16.提示：由題意可知，此幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的高為由于底面是等腰直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)為2，所以其面積為由其側(cè)面積為（2+2+可得表面積為2×2+應(yīng)選A。

17.提示：由俯視圖和正視圖可知，該幾何體可看成是由一個(gè)半圓錐和一個(gè)三棱錐組合而成的，且三棱錐的一個(gè)面恰為半圓錐的最大軸截面。應(yīng)選D。

18.提示：由三視圖可知，該幾何體為三棱錐，底面為腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，高為1，則該幾何體的體積為應(yīng)選D。

19.提示：由三視圖可知，該幾何體為四棱錐，其底面為直角梯形，面積2）×2=3。由該幾何體的體積，解得x=1.5。應(yīng)選C。

20.提示：由三視圖易知該幾何體為四棱錐，所以，其中S是四棱錐的底面積，即俯視圖中四邊形的面積，易知S=1，h是四棱錐的高，由正視圖和側(cè)視圖易知h=1。所以應(yīng)選C。

21.提示：設(shè)球心為O，△A B C的中心為

O′。因?yàn)?，所以A O′=因?yàn)榍蛐牡狡矫鍭 B C的距離為

1，即O O′=1，所以故該球的表面積S=20 π。應(yīng)選A。

22.提示：正方體的棱長(zhǎng)為a，體積V=等邊圓柱（軸截面是正方形）的高為2h，體積V=π·h2·2h=球的半徑為R，體積故S球＜S柱＜S正。應(yīng)選C。

二、填空題

23.提示：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r。由鱉臑的性質(zhì)可知，所以4。由S△P C A）·r，可得該鱉臑的內(nèi)切球半徑r=

圖5

24.提示：根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐，記為S-A B C，將該三棱錐放入長(zhǎng)方體中，如圖5所示。該三棱錐的外接球直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線。設(shè)球O的半徑為R，則（2R）2=22+22+32=17，即，故球O的表面積為4 πR2=17 π。

25.提示：設(shè)底面A B C D的中心為O1，四棱錐P-A B C D的外接球的球心為O。易知O在四棱錐的高P O1（或延長(zhǎng)線）上。由球的性質(zhì)可知△O O1A為直角三角形，易得O1A，所以O(shè) O=4，所以P O11=4+5=9或P O1=5-4=1。當(dāng)P O1=9時(shí)，四棱錐P-A B C D的體積為當(dāng)P O1=1時(shí)，四棱錐P A B C D的體積為故四棱錐P-A B C D的體積為6或54。

圖6

26.提示：由三視圖知，該幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，如圖6所示。其中P A⊥平面A B C D，可得P A=3，A B=C D=4，A D=B C=5，可 得故該幾何體最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為

27.提示：根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個(gè)四棱錐，其底面是正方形，側(cè)棱都相等，所以這是一個(gè)正四棱錐。其側(cè)視圖與正視圖是完全一樣的正三角形。故側(cè)視圖的面積為

28.提示：因?yàn)锳，B，C，D為球面上不同的四點(diǎn)，所以B，C，D不共線。由A B=A C=A D知A在平面B C D內(nèi)的射影為△B C D外接圓的圓心，記圓心為O1。設(shè)O為球的球心，則O B=O C=O D，故O在平面B C D內(nèi)的射影也為△B C D外接圓的圓心O1，可知O A⊥平面B C D。又A B=A C=A D=4，所以平面B C D垂直平分線段O A。記△B C D外接圓的半徑為r，由勾股定理得r2+，即r2=16-4=12?？芍矫鍮 C D被球所截得的圖形即△B C D的外接圓，其面積為πr2=12 π。

29.提示：設(shè)A A1的中點(diǎn)為N，則MN∥A D1∥B C1，可知平面MNB C1就是過正方體中C1，B，M三點(diǎn)的截面。由A1M=A1N=1，可得同理可得由可得梯形MNB C1的高故所求截面的面積為

30.提示：因?yàn)锽 C⊥C D，所以B D2=B C2+C D2=13，且B D為△B C D外接圓的直徑。又A B⊥平面B C D，所以A B⊥B D，則A D為球O的直徑，所以2R=A D=可得故球O的表面積S=4 πR2=14 π。

三、解答題

31.提示：（1）四棱錐P-A B C D的直觀圖如圖7所示。

圖7

因?yàn)樗睦忮FP-A B C D的高為P A，其底面積為，所以四棱錐的體積V四棱錐P-A B C D，可得故正視圖的面積為

（2）過A作A E∥C D交B C于E，則A E⊥B C。根據(jù)三視圖可知E是B C的中點(diǎn)，可得B E=C E=1，A E=C D=1，B C⊥A E，A B

因?yàn)镻 A⊥平面A B C D，所以P A⊥A D，可得由P A⊥B C，可得B C⊥平面P A E，可知B C⊥P E。

因?yàn)镈 C⊥A D，所以D C⊥面P A D，可得D C⊥P D。因?yàn)镻 A⊥平面A B C D，所以P A⊥A E，可得P E2=P A2+A E2=3，即故四棱錐P-A B C D的側(cè)面積為

32.提示：由題意可設(shè)直三棱柱形容器中盛水為V水，三棱柱A B C-A1B1C1的體積為當(dāng)?shù)酌鍭 B C水平放置時(shí)，可得當(dāng)A ABB水平放置時(shí)，設(shè)水面與11棱B C交于點(diǎn)E，則，而△A B C與△C D E相似，所以，可得，可知D為A C的中點(diǎn)。