■劉長柏

在近幾年高考中，相繼出現了一些以考查同學們探究能力和創(chuàng)新能力為目的的創(chuàng)新題。本文精選一些以函數為背景的創(chuàng)新題型，并分類解析，旨在探索解題規(guī)律，供同學們學習與參考。

一、創(chuàng)新函數新定義

創(chuàng)新函數新定義問題是高考的一個亮點，它能有效地考查同學們獨立獲取信息、加工信息以及應用信息解決問題的能力。

例1設函數f（x）的定義域為R，若存在常數M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，則稱f（x）為“倍約束函數”。現給出下列函數：①f（x）=2x;②f（x）=x2+1;③f（x）是定義在實數集R上的奇函數，且對一切x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-其中是“倍約束函數”的是 。（寫出所有正確命題的序號）

解：①由于f（x）=2x，顯然只需常數M＞2即可，所以它是“倍約束函數”。②由于M|x|≥0，|f（x）|≥1，且當x=0時，f（0）=1，故此時不可能存在常數M符合題目要求，可知f（x）=x2+1不是“倍約束函數”。③由f（x）是R上的奇函數，可知f（0）=0，令x2=0，x1=x，則原式為|f（x）|≤2|x|，故存在常數M使之符合定義。答案為①③。

評析：求解此類問題要從兩個方面考慮：一是充分理解和掌握新定義所具有的性質，并注意審題;二是對新定義的性質注意掌握和靈活應用。

二、創(chuàng)新函數新性質

創(chuàng)新函數新性質問題是利用給定的定義與性質來處理問題，通過創(chuàng)新函數新性質，結合相應的數學知識來解決有關的函數性質問題。

例2已知函數f（x），x∈[a，b]，g（x），x∈[a，b]，若對于任意的x∈[a，b]，總有，則稱f（x）可被g（x）替代。下面給出的函數中，能替代f（x）的是（ ）。

解：由題意可知能被g（x）替代，即當x∈[4，16]時，總有不等式成立。當x=4時，f（4）=2，對四個選項依次代入g（4）進行驗證，只有A滿足要求。應選A。

評析：此題通過創(chuàng)新定義“f（x）可被g（x）替代”來考查函數的特定性質，這就要求對所定義的性質應理解其含義。

三、創(chuàng)新拓展常規(guī)題，考查發(fā)散思維能力

發(fā)散性思維雖然也遵循已有的規(guī)律，但它的思維過程無固定方向或范圍，體現為探索途徑及結果的新穎性、多樣性和獨創(chuàng)性。

例3已知函數，且f（a2-3a+2）=f（a-1），則滿足條件的所有整數a的和是

解：根據函數f（x）的解析式，可知f（x）為偶函數。由f（a2-3a+2）=f（a-1），可得a2-3a+2=a-1或a2-3a+2=1-a，整理得a2-4a+3=0或a2-2a+1=0，由此解得a=1或a=3。又f（0）=f（1）=f（-1），所以當a=2時，也滿足要求。故符合f（a2-3a+2）=f（a-1）的所有整數a的和為1+2+3=6。

評析：在數學題中，有些問題的條件、結論、解題策略是不唯一的或需要探索的（如開放性問題），這類問題能有效考查同學們的思維能力。