■傅紅玲 陳立明

本文對函數(shù)應用中的創(chuàng)新問題的求解方法進行歸納總結，希望對同學們求解創(chuàng)新問題有所幫助與啟迪。

創(chuàng)新1：函數(shù)最大值與最小值之和中的整體思維

例1已知函數(shù)f（x）=ln（x+的最大值和最小值分別是M和m，則M+m=

解：利用指數(shù)作為變量的分式函數(shù)和對數(shù)的復合函數(shù)，研究奇偶性和單調性確定其最值。由[-k，k]，可知g（x）為增函數(shù)，可得g（-k）≤g（x）≤g（k），g（-k）+g（k）=，即g（x）關于點（0，2）對稱，而由h（x）=ln（x+可知h（x）為奇函數(shù)且為增函數(shù)，可得h（-k）≤h（x）≤h（k），且h（-k）+h（k）=0。故M+m=f（k）+f（-k）=g（k）+h（k）+g（-k）+h（-k）=g（-k）+g（k）+h（-k）+h（k）=g（-k）+g（k）=4。

升華：本題實質上是求遞增的奇函數(shù)與遞增的中心對稱函數(shù)構成的復合函數(shù)在對稱區(qū)間上的最大值與最小值的和。研究兩個函數(shù)的對稱性、單調性以及樹立整體思維的意識是求解的關鍵。

創(chuàng)新2：由函數(shù)的值域探究其定義域

例2設分段函數(shù)f（x）=若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，4]上的值域為 [-1，2]，則實數(shù)m的取值范圍為

解：由函數(shù)的值域探究其定義域，可利用數(shù)形結合法切入。作出函數(shù)f（x）的圖像，如圖1所示。

圖1

當x≤-1時，函數(shù)單調遞減，且最小值為令，解得x=-8;當x＞-1時，函數(shù)在（-1，2）上單調遞增，在[2，+∞）上單調遞減，其最大值為2，且

結合函數(shù)圖像可得所求實數(shù)m的取值范圍為

升華：由函數(shù)值域探究其定義域系逆向思維，利用定義域到值域唯一的對應關系，借助函數(shù)圖像和特殊函數(shù)值處的自變量的取值，以形助數(shù)和運動變化的觀念是探究其定義域的關鍵。

創(chuàng)新3：自變量與函數(shù)值求和中的整體思維

例3已知函數(shù)g（x）對任意的x∈R，都有成立g（x）的圖像有m個交點…，（xm，ym），則

解：探究兩個函數(shù)的對稱中心是解題的切入點。由題設，令t=2x-2013，則2018-2x=5-t，可得g（5-t）=3-g（t），可知y=g（x）的對稱中心為由f（x）=，可知y=f（x）的對稱中心為據(jù)此可知y=f（x）與的圖像有m個交點關于點中心對稱，所以x1+xm=x2+xm-2=x3+xm-3=…=5，y1+ym=y2+ym-2=y3+ym-3=…=3。

設x1+x2+…xm-1+xm=M，則xm+xm-1+…+x2+x1=M，兩式相加可得

升華：利用換元法探究函數(shù)圖像的對稱中心是本題的一個創(chuàng)新;求兩個函數(shù)交點的自變量與函數(shù)值的和，探究兩個函數(shù)的同一對稱中心，利用整體思維的意識簡化求解是本題的又一個創(chuàng)新。

創(chuàng)新4：函數(shù)不等式中的合理轉化

例4已知函數(shù)f（x）=2x且f（x）=g （x）+h（x），其中g （x）為奇函數(shù)，h（x）為偶函數(shù)，若不等式3a g （x）+h（2x）≥0對任意的x∈[1，2]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

解：由已知得g （x）+h（x）=2x，注意g （x）為奇函數(shù)，h（x）為偶函數(shù)，則g（-x）+h（-x）=2-x，即-g（x）+h （x）=2-x。由此解得，代入不等式3a g（x）+h（2x）≥0，可知在[1，2]上恒成立。

令t=2x-2-x，則可得22x+2-2x=t2+2。

故上述不等式可轉化為3a≥可知函數(shù)在上單調遞減，當取得最大值為由此可得，即a∈

升華：利用奇偶性構建方程組，求待定解析式是本題的一個創(chuàng)新;把函數(shù)不等式問題合理轉化為含指數(shù)變量的不等式恒成立問題是本題的又一個創(chuàng)新。本題的解題過程凸顯函數(shù)不等式中的合理轉化思想。

創(chuàng)新5：新定義的圖像交點問題

例5若點A，B分別是函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖像上的點，且線段A B的中點恰好為原點O（0，0），則稱A，B為兩個函數(shù)的一對“孿生點”。若函數(shù)f（x）=l g|x|，g（x）=2x，則這兩個函數(shù)的“孿生點”共有（ ）。

A.1對 B.2對

C.3對 D.4對

解：由題意可知“孿生點”為y=f（x）與y=g（x）的交點且交點關于原點對稱，因此也就是求y=f（x）與y=-g（-x）的交點個數(shù)。由g（x）=2x，得-g（-x）=-2-x=，畫出與y=l g|x|的圖像，如圖2所示。

圖2

由圖2可知，兩個函數(shù)圖像有2個交點，所以f（x）=l g|x|與g（x）=2x這兩個函數(shù)的“孿生點”共有2對。應選B。

升華：解答新定義的函數(shù)圖像交點問題的關鍵是弄清新定義的含義，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算。本題通過定義兩個函數(shù)的“孿生點”達到考查對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖像以及函數(shù)圖像的對稱變換的目的。

創(chuàng)新6：超越方程中的最值問題

例6已知方程2018x=a-x和方程log2018x=a-x（a＞1）的根分別為x1，x2，則的取值范圍為（ ）。

解：注意到兩個方程的特征，利用同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像關于直線y=x對稱以及根的意義為切入點，構建二次函數(shù)在區(qū)間上的最值求解。由題意可知y=2018x與y=log2018x互為反函數(shù)，其圖像關于直線y=x對稱。由可得交點坐標滿足于是恒有x+x=2×12設0＜x1＜x2，則，所以注意到函數(shù)g（x1）在區(qū)間上單調遞減，于是可得g（x1）＜g（0）=a2。應選B。

升華：利用互為反函數(shù)的圖像關于直線y=x對稱，探究兩根的關系，選擇主元挖掘隱含條件，構建函數(shù)求解取值范圍問題。解答本題的關鍵是如何縮小主元的取值范圍，如由對稱性及隱含條件可得

創(chuàng)新7：復合函數(shù)中的不等式問題

例7已知分段函數(shù)f（x）=則不等式f（2x2-|x|）≤5的解集為

解：作出分段函數(shù)的圖像，利用函數(shù)的單調性求解。

當x＜0時，f（x）=-x2+x+1=且函數(shù)為增函數(shù);當x≥0時且函數(shù)為增函數(shù)。畫出分段函數(shù)f（x）的圖像，如圖3所示。

圖3

因為f（1）=5，所以不等式f（2x2-|x|）≤5等價于則，即解得或，所以

升華：解答復合函數(shù)中的不等式問題的關鍵是樹立“整體變量”觀念的應用意識。解題時，作出分段函數(shù)的圖像便于尋找分界點和單調性。