王康康

（江蘇科技大學(xué)理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

人們在實(shí)際的日常生活中常常會(huì)遇到有著以下特征的隨機(jī)過程：在已知某個(gè)事物當(dāng)下所處狀態(tài)的情況下，它將來發(fā)生的未知的變化不依賴于它之前所發(fā)生過的變化[1]。像這種已知“現(xiàn)在”的情況下，“將來”和“過去”是相互獨(dú)立的特性被稱為是馬爾科夫性，而具有這種特殊性質(zhì)的隨機(jī)過程就叫做馬爾科夫過程[2]。在液體中微粒的布朗運(yùn)動(dòng)，被傳染病所感染的人數(shù)變化，原子核中任一自由電子在電子層中的變化以及我們最熟悉的人口增長過程等都可以被視為是馬爾科夫過程[3-5]。馬爾科夫過程的初始模型是馬爾科夫鏈，它是由俄國的數(shù)學(xué)家安德雷·馬爾可夫所提出的。正因?yàn)轳R爾可夫在1906-1907這兩年之間發(fā)表的研究中構(gòu)造了一個(gè)按照條件概率而彼此之間相互依賴的隨機(jī)過程，并有力地證明了該過程在一定的條件下是收斂于一組向量的[6-9]，所以該隨機(jī)過程后得名“馬爾科夫鏈”。下面我們給出它們在經(jīng)濟(jì)生活應(yīng)用中的一個(gè)實(shí)例。

一、馬氏過程在商品銷售中的應(yīng)用

例1：現(xiàn)有某一上市三年的商品，其在市場的銷售狀態(tài)一共有三種，分別是“暢銷”“平銷”和“滯銷”，這三年的銷售狀態(tài)如下表1所示，其中數(shù)字“1”表示的是“暢銷”狀態(tài)，數(shù)字“2”表示的是“平銷”狀態(tài)，數(shù)字“3”則表示的是“滯銷”狀態(tài)。

表1 各月份市場銷售狀態(tài)

步驟1:計(jì)算初始狀態(tài)概率

由題意可知，在給出的這32條銷售記錄中，在銷售狀態(tài)“1”的有11個(gè)，在銷售狀態(tài)“2”的有12個(gè)，在銷售狀態(tài)“3”的有9個(gè)，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是N=32，n1=11，n2=12，n3=9，從中我們可以計(jì)算出初始概率。

步驟2：計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

從上面已知的表格記錄中，我們可以了解到這32條銷售記錄中狀態(tài)轉(zhuǎn)移的情況，如下面列出的狀態(tài)轉(zhuǎn)移表所示：

表2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移表

由上面得到的狀態(tài)轉(zhuǎn)移表我們可知一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是：

二步轉(zhuǎn)移概率矩陣是：

步驟3:對后3-8個(gè)月商品銷售狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測

運(yùn)用這個(gè)公式，我們可以計(jì)算出該商品在將來第一個(gè)月份的銷售狀態(tài)向量

換句話說該商品在第33個(gè)月被銷售的情況下，有50%的可能性會(huì)在“暢銷”的狀態(tài)，有20%的可能性會(huì)在“平銷”的狀態(tài)，有30%的可能性會(huì)在“滯銷”的狀態(tài)。

同理可得該商品在將來第二個(gè)月份的銷售狀態(tài)向量

換句話說該商品在第34個(gè)月被銷售的情況下，有37%的可能性會(huì)在“暢銷”的狀態(tài)，有37%的可能性會(huì)在“平銷”的狀態(tài)，有26%的可能性會(huì)在“滯銷”的狀態(tài)。

我們將其他幾個(gè)月按照上述的方法代入公式，就可以計(jì)算出后來3-8個(gè)月中可能會(huì)發(fā)生的各種銷售狀態(tài)的概率，結(jié)果詳見下面的銷售狀態(tài)概率預(yù)測表：

?

步驟4：最終銷售狀態(tài)的概率預(yù)測

寫成等式的話就是

二、馬氏過程在股票收盤中的應(yīng)用

例2：研究對象是寧波港2014.8.1-11.30期間80個(gè)交易日的收盤價(jià)格的變化情況，我們把每日的收盤價(jià)格分成“上升”、“持平”和“下降”這三種狀態(tài)，并分別記作，且狀態(tài)空間。

狀態(tài)概率表示的是每個(gè)狀態(tài)可能會(huì)出現(xiàn)的概率的大小，我們用狀態(tài)向量來表示，且，其中是該系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，是狀態(tài)發(fā)生的概率，。

已知數(shù)據(jù)顯示，在80個(gè)交易日中，“上升”狀態(tài)有x1=47，“持平”狀態(tài)有x2=6，“下降”狀態(tài)有x3=27，我們可以從中得到。我們將叫作該系統(tǒng)的初始狀態(tài)向量。

由已知數(shù)據(jù)我們可以知道，處于“上升”狀態(tài)的一共有47次，其中由“上升”狀態(tài)變化到“上升”狀態(tài)的有27次，所以，由“上升”狀態(tài)變化到“持平”狀態(tài)的有5次，所以，由“上升”狀態(tài)變化到“下降”狀態(tài)的有15次，所以，同理我們就能得到下面的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率表：

?

由上表我們知道了股價(jià)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：

其中每一行的元素表示的是在某一個(gè)特定狀態(tài)下每一種可能變化情況的概率，所以有。

由于已知11.30的時(shí)候股價(jià)處于“下降”狀態(tài)，而之后的歷史數(shù)據(jù)無從得知，所以我們可以暫時(shí)取。有了這個(gè)已知的向量和矩陣我們就可以預(yù)測之后幾天的收盤日股價(jià)所處狀態(tài)的概率了。

12.1的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率向量：

這說明12.1寧波港股價(jià)處于“上升”狀態(tài)的可能性為61.5%，處于“持平”狀態(tài)的可能性為3.85%，處于“下降”狀態(tài)的可能性為34.62%。

同理可得，12.2的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率向量：

往后的各個(gè)交易日也可以此類推求得。

所以我們得知在多個(gè)交易日之后股價(jià)最后處于“上升”狀態(tài)的可能性為59.49%，處于“持平”狀態(tài)的可能性為7.59%，處于“下降”狀態(tài)的可能性為32.91%。