馮小輝

摘要：數(shù)學(xué)概念教學(xué)實“雙基”教學(xué)的核心，一切數(shù)學(xué)教學(xué)都基于概念產(chǎn)生，因此把握數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，既是促進學(xué)生深度體驗，又是實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識與方法更高程度的理解。本文以《函數(shù)的單調(diào)性》的概念教學(xué)案例讓學(xué)生真正經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性概念化的過程，并對學(xué)生的有效深度體驗進行分析，真正促進學(xué)生對概念本質(zhì)的理解與反思，以實現(xiàn)體驗向高層次的轉(zhuǎn)化，從而探究出數(shù)學(xué)學(xué)科背后所反映的知識、方法、態(tài)度、價值觀“產(chǎn)生情感且生成意義”，提高了學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)科素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念??? 核心問題??? 深度體驗??? 反思

概念教學(xué)要使學(xué)生自然地、水到渠成地實現(xiàn)“概念的形成”。高中數(shù)學(xué)人教A版的主編寄語中說：“數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的。如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，你就會發(fā)現(xiàn)它實際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味。”我認(rèn)為，這應(yīng)該成為概念教學(xué)的基本指導(dǎo)思想。數(shù)學(xué)課就應(yīng)該使概念出得自然、水到渠成，否則就不叫做“教數(shù)學(xué)”、“學(xué)數(shù)學(xué)”。從課堂教學(xué)的要求看，概念教學(xué)的自然和水到渠成應(yīng)該包括兩個方面：一是知識的邏輯順序自然;二是學(xué)生心理邏輯的自然，主要是思維過程的自然?！白匀坏母拍罱虒W(xué)過程”是上述兩方面的融合。在引導(dǎo)學(xué)生展開對數(shù)學(xué)相關(guān)概念的學(xué)習(xí)過程中，主要強調(diào)“讓學(xué)生參與到定義概念的活動中來”，不輕易打斷學(xué)生的思維和活動，適時恰點地“以問題引導(dǎo)活動”，在“追問（質(zhì)疑）——反思”的過程中深化概念的理解，使“概念的理解”成為學(xué)生自己主動思維的結(jié)果。^[1]

學(xué)校二十年磨一劍的核心問題教學(xué)更是提出概念課教學(xué)研究的著眼點不只在于對文本數(shù)學(xué)知識意義的理解與掌握，而是在獲得對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)理解和掌握的同時形成學(xué)生在活動體驗基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí)，更需要著眼于數(shù)學(xué)學(xué)科教育的特點和目的，在獲得知識與方法的背后以實現(xiàn)體驗向高層次的轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)教學(xué)的結(jié)果性目標(biāo)與體驗性目標(biāo)獲得更高達成度的教學(xué)活動規(guī)范形式。筆者采用核心問題教學(xué)的提出問題——解決問題——反思提升——運用反饋四個環(huán)節(jié)^[3]進行了《函數(shù)的單調(diào)性》進行概念教學(xué)，下面就以本節(jié)課為案例，促進數(shù)學(xué)課堂上的深度體驗進行剖析。以下是課堂實錄片段：

一、課堂實錄

數(shù)學(xué)概念課首先對教師就需要深挖概念的本質(zhì)，需要創(chuàng)造性地使用教材，也就是深刻理解教材，教什么比怎么教更重要，要教數(shù)學(xué)這就要求教師自己先理解好數(shù)學(xué)：了解數(shù)學(xué)概念的背景，掌握概念的邏輯意義，理解內(nèi)容所反映的思想方法，把握概念的“多元聯(lián)系表示”，挖掘知識所蘊含的科學(xué)方法、理性精神等情感、態(tài)度、價值觀資源。本節(jié)課從溫度變化圖、股票價格走勢圖讓同學(xué)們初步體驗到生活中有許多數(shù)據(jù)變化規(guī)律的例子，而且貼近生活，視角新穎，并與學(xué)生生活實際和思維水平密切關(guān)聯(lián)，學(xué)生能很快進入對“圖象”的描述。而從函數(shù)的觀點看，它反映的就是函數(shù)值隨自變量的變化在變大還是變小，同學(xué)們在初中對這種函數(shù)的性質(zhì)就有一定的認(rèn)識，但沒有嚴(yán)格的定義，這就能激發(fā)內(nèi)在的緘默知識顯現(xiàn)，此時就需要一個核心問題來調(diào)動，激發(fā)學(xué)生自主探究的熱情，順理成章的給出核心問題：“請任畫一個函數(shù)圖象，用符號語言描述其函數(shù)值隨自變量變化的增減規(guī)律?！?sup> [4]

（一）恰當(dāng)?shù)暮诵膯栴}是促進學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的基石

核心問題前半節(jié)：“請任畫一個函數(shù)圖象”，學(xué)生都能畫一些一次和二次函數(shù)圖象探究，學(xué)生個體能夠親身經(jīng)歷，就有了體驗，就會引起感覺，這就達到了體驗的最低層次—經(jīng)歷。

核心問題后半節(jié)：“用符號語言描述其函數(shù)值隨自變量變化的增減規(guī)律。”學(xué)生腦海中自然就會閃現(xiàn)出用圖象研究函數(shù)性質(zhì)的緘默知識與思想方法，從而引起一連串的思考：“所畫的圖象特征是什么”，“圖形特征如何轉(zhuǎn)化自然語言”，“自然語言如何轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)符號語言”，這就是學(xué)生亟需解決的客觀問題，過程中讓學(xué)生經(jīng)歷特殊到一般，從具體到抽象概括出增（減）函數(shù)的定義，真正體會到了三種語言在轉(zhuǎn)化中的關(guān)聯(lián)，產(chǎn)生了新舊知識的關(guān)聯(lián)，進一步讓學(xué)生進行了思維深層次的體驗，把所有的感覺，情感融入圖象的情境中，這是一種具體的體驗，具體的體驗就促進了學(xué)生深度體驗，形成了知識方法的表象特征打下了堅實的基石。

這樣的核心問題力求使學(xué)生了解函數(shù)單調(diào)性概念的背景和形成過程，了解為什么要引入這個概念，怎樣定義這個概念，怎樣入手研究一個新的課題。這實際上學(xué)生對概念的深度體驗就是靠學(xué)生親身去踐行，處在情境中感受的一個過程，那么就要一個主線引領(lǐng)學(xué)生去踐行，從上面核心問題的定義與表達要求，完成核心問題的過程就是學(xué)生體驗的過程，同時，更為重要的，本節(jié)課的核心問題前后兩半節(jié)就是相互關(guān)聯(lián)的，關(guān)聯(lián)的體驗就調(diào)動了學(xué)生的多種器官，激發(fā)他們的情感，由此學(xué)生完成核心問題的過程就是進行關(guān)聯(lián)體驗的過程，教師也忘掉“結(jié)論性的知識”，親身體驗知識的發(fā)展軌跡，體驗知識的成長過程與成長方法。

（二）深度體驗促進學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念化過程的催化劑

在引導(dǎo)學(xué)生展開對函數(shù)單調(diào)性概念的學(xué)習(xí)過程中，主要強調(diào)“讓學(xué)生參與到定義概念的活動中來”，不輕易打斷學(xué)生的思維和活動，適時恰點地“以問題引導(dǎo)活動”，在“追問（質(zhì)疑）——反思”的過程中深化概念的理解，使“概念的理解”成為學(xué)生自己主動思維的結(jié)果。

課堂上學(xué)生在理解核心問題之后，大多數(shù)同學(xué)能作圖一次、二次、反比例、分段函數(shù)，能作出這些類型的函數(shù)比如（1）（2）（3）（4）……等等，學(xué)生在畫圖的過程中，能夠從圖形的走勢來理解函數(shù)的單調(diào)性，形成形象化的視覺經(jīng)驗。教師通過展示學(xué)生作的圖，提供豐富的感性材料，讓學(xué)生從圖形語言體驗函數(shù)單調(diào)性的概念。學(xué)生能從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，再用自己的語言表達出來，用自然語言（文字語言）表達自己對函數(shù)單調(diào)性概念的理解。同時也間接提供了判斷函數(shù)單調(diào)性的方法——圖象法。在實施過程中學(xué)生能夠用最直接淺顯的語言：“從左向右看，如果函數(shù)在某個區(qū)間上圖象上升，稱函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù);如果函數(shù)在某個區(qū)間上圖象下降，稱函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)”，或者“從左向右，若圖象成上升趨勢，稱函數(shù)為增函數(shù);從左向右，若圖象成下降趨勢，稱函數(shù)為減函數(shù)”來描述所理解的增函數(shù)和減函數(shù)。

學(xué)生小組交流討論后，對具體函數(shù)表達了探尋的本質(zhì)屬性后，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過程，要求學(xué)生從具體函數(shù)單調(diào)性的定義，遷移到一般意義的函數(shù)，抽象概括出增函數(shù)準(zhǔn)確的定義（符號語言），然后類比得出減函數(shù)的定義。由于有了具體函數(shù)的單調(diào)性定義，學(xué)生能夠很容易得到一般意義上的單調(diào)性定義：對于屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量，都有，稱為該區(qū)間上的增函數(shù);若都有，稱為該區(qū)間上的減函數(shù)。至此學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，生成對抽象函數(shù)單調(diào)性的符號語言上的認(rèn)識。

本節(jié)課，師生對對所探究了函數(shù)單調(diào)性的來源、成長過程與成長方法、本質(zhì)與結(jié)構(gòu)等有著透徹的認(rèn)識。課堂上思維的碰撞不僅是師生之間與生生間智慧的交鋒，更是學(xué)生與學(xué)生，老師與學(xué)生情感的溝通，達到了“產(chǎn)生情感而生成意義”的體驗性目標(biāo)，進一步促進了學(xué)生心靈深處的深度體驗。

（三）反思提升是促進學(xué)生概括概念本質(zhì)的升華

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的核心是概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開，以典型豐富的實例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。

在反思提升環(huán)節(jié)，教師還要適時適切的引導(dǎo)學(xué)生概括出知識中蘊含的思想方法和探究知識的思維方法：①函數(shù)的圖形語言、文字語言、符號語言的等價轉(zhuǎn)化.②特殊到一般的思想方法.③直觀到抽象.④數(shù)形結(jié)合.⑤類比等。筆者根據(jù)學(xué)生具體情況，通過符號語言的轉(zhuǎn)化，促進學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的深度體驗（差商理解）。用差商描述“時，” ， 將基于的大小關(guān)系來討論對應(yīng)的的大小關(guān)系的方法轉(zhuǎn)變成了一個統(tǒng)一的差商式子與0比較的關(guān)系。差商的結(jié)果不僅可以用來判斷函數(shù)的增減性， 而且可以反映關(guān)于的變化率。它還有明顯的幾何意義，為以后的導(dǎo)數(shù)理解做好鋪墊。

這樣讓學(xué)生“既形成了知識又有數(shù)學(xué)思想方法，將核心問題解決問題中涉及的關(guān)聯(lián)體驗進一步提升，這樣本節(jié)課又上升了一個層次，上升到形—數(shù)—形的關(guān)聯(lián)，體驗三種語言間的關(guān)聯(lián)。

（四）結(jié)果性與體驗性目標(biāo)的達成更是促進學(xué)生對概念理解的內(nèi)化

學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)概念的生成過程，我們需要對概念的理解進行內(nèi)化，可以從三個方面進行。一是進行概念的辨析——以實例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（恰當(dāng)使用反例）;二是概念的鞏固應(yīng)用——用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟;三四概念的“精致”——納入概念系統(tǒng)，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。^[2]本節(jié)課的最后，在運用反饋環(huán)節(jié)側(cè)重檢測學(xué)生深度體驗圖形語言、自然語言及符號語言在相互轉(zhuǎn)化中的關(guān)聯(lián)情況。選取了生活的應(yīng)用舉例進行課堂檢測：

學(xué)生將自己探究出的數(shù)學(xué)知識與方法解決來實例，讓學(xué)生將三種語言在轉(zhuǎn)化中的關(guān)聯(lián)應(yīng)用，反思解題思路，再次深度體驗到定義證明函數(shù)性單調(diào)性的步驟，讓學(xué)生有一定的成就感，學(xué)生不僅實現(xiàn)了體驗性目標(biāo)的達成，也完成了本節(jié)課的結(jié)果性目標(biāo)，最終內(nèi)化成自己的數(shù)學(xué)知識方法，逐漸形成了學(xué)生內(nèi)在的緘默知識，也為以后的課堂探究函數(shù)的其他性質(zhì)做好了鋪墊。實際上是辨析、運用、“精致”函數(shù)單調(diào)性的概念。

二、課后教學(xué)反思

李邦河院士指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”課后筆者認(rèn)真進行了，數(shù)學(xué)概念的形成來自解決實際問題和數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要。但概念的高度抽象，造成了難懂、難教和難學(xué)，這就需要讓學(xué)生置身于符合自身實際的學(xué)習(xí)活動中去，從自己的經(jīng)驗和已有的知識基礎(chǔ)出發(fā)，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”、“再創(chuàng)造”的活動過程。^[1]結(jié)合本節(jié)課的核心問題數(shù)學(xué)，認(rèn)識到概念教學(xué)促進學(xué)生深度體驗的實質(zhì)就是是理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，它是一個多側(cè)面、多層次、無止境的過程

第一，理解數(shù)學(xué)，是指對所教數(shù)學(xué)知識的來源、成長過程與成長方法、本質(zhì)與結(jié)構(gòu)等有著透徹的認(rèn)識。即對數(shù)學(xué)知識既“知其然”，也“知其所以然、所以不然”，知其“來自何處、去向何方”，知其本質(zhì)、結(jié)構(gòu)與教育價值。以核心問題教學(xué)促進理解數(shù)學(xué)的實質(zhì)是把靜態(tài)的、成熟的、不利于學(xué)生接受和消化的學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為動態(tài)的、發(fā)展的、更利于學(xué)生接受與消化、更富營養(yǎng)的教育形態(tài)的數(shù)學(xué)。

第二，理解學(xué)生是指教師清楚學(xué)生的認(rèn)知起點;清楚學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知識之間的潛在距離;清楚學(xué)生的認(rèn)知障礙;清楚學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律;清楚不同學(xué)生間的認(rèn)知差異。以核心問題教學(xué)促進理解學(xué)生的實質(zhì)是教師準(zhǔn)確地把握學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)、潛能、需求、困難與差異，為以學(xué)定教、以導(dǎo)促研提供準(zhǔn)確的信息與依據(jù)。

第三，理解教學(xué)是指教師清楚教學(xué)的本質(zhì)與功能，掌握一定的教學(xué)方法與教學(xué)藝術(shù);清楚學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和教學(xué)的基本原則，能夠把教與學(xué)作為有機的、相互促進的整體來加以處理;清楚數(shù)學(xué)的教育價值，能為不同的學(xué)生提供不同的數(shù)學(xué);清楚將不同類型的知識用不同的方式呈現(xiàn)給不同學(xué)生的策略與方法。以核心問題教學(xué)促進理解教學(xué)的實質(zhì)是以研定導(dǎo)，以導(dǎo)促研，實現(xiàn)教育價值與效益的最大化。

總而言之一定要重視概念教學(xué)，數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué)更要“不惜時、不惜力”。這是因為“數(shù)學(xué)概念高度凝結(jié)著數(shù)學(xué)家的思維，是數(shù)學(xué)地認(rèn)識事物的思想精華，是數(shù)學(xué)家智慧的結(jié)晶，蘊含了最豐富的創(chuàng)新教育素材。在恰當(dāng)核心問題的的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，課堂上，學(xué)生感覺不是老師在灌輸知識，而是同學(xué)親身體驗探究出新的知識與思想方法，獲得了豐富而深刻的體驗，不僅在于使學(xué)生掌握書本知識，更重要的是讓他們從中體驗概括數(shù)學(xué)概念的心路歷程，領(lǐng)悟用數(shù)學(xué)的觀點看待和認(rèn)識世界的思想真諦，學(xué)會用概念思維，進而發(fā)展智力和培養(yǎng)能力，進一步體會數(shù)學(xué)學(xué)科背后所反映的知識、方法、態(tài)度、價值觀“產(chǎn)生情感且生成意義” ，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)要返璞歸真，在概念的發(fā)生發(fā)展過程中揭示它的本來面目，那么數(shù)學(xué)知識思想方法都能在潛移默化中形成，從而促進學(xué)生的深度體驗，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力進一步提升師生自我的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]張峰《淺談新課標(biāo)下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)》[J].《江蘇教育學(xué)院學(xué)報》

[2]張富培《淺談素質(zhì)教育形勢下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)》[J].《教育科學(xué)研究雜志》

[3]周光岑《核心問題教學(xué)研究》.電子科技大學(xué)出版社

[4]周文良《核心問題教學(xué)的深度體驗實踐研究》.電子科技大學(xué)出版社