段立偉

摘 ? 要：當(dāng)前學(xué)生普遍缺乏數(shù)學(xué)思想方面的系統(tǒng)知識，使得學(xué)習(xí)多在細(xì)處鉆研不能串聯(lián)。解決這一問題有效方法之一是編制數(shù)學(xué)思想課程，通過有序、緊湊的課堂學(xué)習(xí)來幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)思想智慧體系。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思想;課程化

中圖分類號：G623.5 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2019）19/22-0113-06

一、問題的提出

（一）課題研究的背景

長久以來在小學(xué)數(shù)學(xué)界一直認(rèn)為數(shù)學(xué)有兩條線：數(shù)學(xué)知識是一條明線，數(shù)學(xué)思想是一條暗線。這種認(rèn)識是片面的，不科學(xué)的。眾所周知，人的學(xué)習(xí)分兩種：一種是上行學(xué)習(xí)，如理論、思想、方法、概念的學(xué)習(xí)，是從高處入手，往往具有提綱挈領(lǐng)的作用;一種是下行學(xué)習(xí)，如具體的題型、知識點(diǎn)、經(jīng)驗(yàn)的積累與感悟，這兩種學(xué)習(xí)相輔相成，缺一不可。當(dāng)學(xué)生知識存量少時滲透數(shù)學(xué)思想是符合認(rèn)知規(guī)律的，當(dāng)學(xué)生知識達(dá)到一定存量時，思想就有了學(xué)習(xí)的條件，隨著學(xué)生知識量的增加，如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來減輕大腦負(fù)擔(dān)，提升思維效率，變革知識結(jié)構(gòu)將越來越成為必要。當(dāng)前師生普遍缺乏數(shù)學(xué)思想方面的知識，使得學(xué)習(xí)多在具體問題上徘徊，解決這一問題最直接有效的方法是編制數(shù)學(xué)思想課程，通過有序、緊湊的課堂學(xué)習(xí)來幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)思想智慧體系。新課標(biāo)也明確指出掌握“數(shù)學(xué)思想方法”是四基之一。正是在這樣的背景下，我們提出了研發(fā)小學(xué)數(shù)學(xué)思想課程的課題。

（二）國內(nèi)外研究現(xiàn)狀及分析

國際數(shù)學(xué)教育改革呈現(xiàn)出了突出數(shù)學(xué)思想方法作用的趨勢，現(xiàn)代化數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動的指導(dǎo)思想是“大眾數(shù)學(xué)”，大眾數(shù)學(xué)是指把數(shù)學(xué)教育從單純以升學(xué)為目的轉(zhuǎn)向?yàn)槿粘Ｉ?、就業(yè)需要與進(jìn)一步學(xué)習(xí)相結(jié)合方面上來，大眾數(shù)學(xué)的關(guān)鍵就是數(shù)學(xué)思想方法的大眾化。目前，國際上以“數(shù)學(xué)思想方法大眾化”為理念的小學(xué)數(shù)學(xué)思想課程并不多見，這也是理念多于實(shí)踐的原因之一。

國內(nèi)在知網(wǎng)，萬方網(wǎng)、維普網(wǎng)中輸入“小學(xué)數(shù)學(xué)思想”關(guān)鍵詞后，我們共得到相關(guān)研究成果近2萬之多！再對近3年下載量前10的研究成果進(jìn)行分析梳理后，我們得到的結(jié)論是：普遍是“……思想滲透”“……思想有效策略”。在對近三年立項課題的搜比結(jié)論基本相同。廣大優(yōu)秀教師和專家學(xué)者在這些方面做了大量的、深入的、卓有成效的研究，但在數(shù)學(xué)思想如何大眾化、系統(tǒng)化、課程化的研究方面是比較少的，原因有多方面，但主要是我們一直認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想應(yīng)選擇滲透方式。

（三）本單位調(diào)研情況

2016年5月，在本單位六年級各班共發(fā)放“小學(xué)六年級數(shù)學(xué)思想了解度”調(diào)查問卷300份，收回有效問卷278份。

1.你知道什么是數(shù)學(xué)思想嗎？

統(tǒng)計：不知道和知道一點(diǎn)的人數(shù)占91.0%。

2.下面的數(shù)學(xué)思想哪些是你熟悉或聽說過的？

統(tǒng)計： 200次以上的有方程、統(tǒng)計、假設(shè)，在100到200之間的有歸納、轉(zhuǎn)化、等量代換、量率對應(yīng)、概率。

3.你覺得數(shù)學(xué)思想有沒有學(xué)習(xí)的必要？

統(tǒng)計：認(rèn)為很有必要的人數(shù)占70.9%。

4.你見過專門講小學(xué)數(shù)學(xué)思想的書籍嗎？

統(tǒng)計：“沒見過”的學(xué)生占73.0%。

5.你知道數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系嗎？

統(tǒng)計：不知道和知道一點(diǎn)的占87.1%。

6.平時上課老師講數(shù)學(xué)思想嗎？

統(tǒng)計：經(jīng)常講的只占10.4%，基本不講和很少講的占52.5%。

在對15名數(shù)學(xué)教師（非課題組教師）的座談中，統(tǒng)計到能說出三種數(shù)學(xué)思想的2人，說出一種的5人，能結(jié)合例子簡述化歸含義的2人。

綜合分析，可得到以下判斷：

（1） 數(shù)學(xué)思想是有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的;

（2）學(xué)生想學(xué)，教師想教是明確的;

（3）大家在數(shù)學(xué)思想方面的知識是不夠完善的。

二、分析現(xiàn)狀成因

（一）客觀上

一是選拔性的“應(yīng)試教育”為社會普遍認(rèn)可，使得數(shù)學(xué)思想教育不受重視;二是教師的數(shù)學(xué)思想知識不夠完善;三是缺少適合在課堂上教學(xué)的小學(xué)數(shù)學(xué)思想課程。

（二）主觀上

長久以來在小學(xué)數(shù)學(xué)界一直認(rèn)為數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)是從屬于知識點(diǎn)的。

通過完成有一定參考與應(yīng)用價值的小學(xué)數(shù)學(xué)思想課程，來幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)思想智慧體系。此課程需站在系統(tǒng)的高度組織小學(xué)數(shù)學(xué)思想，需符合“大眾數(shù)學(xué)”理念。

三、課程的理論依據(jù)

（一）哲學(xué)中的系統(tǒng)論

所謂系統(tǒng)是由相互聯(lián)系、相互依賴、相互制約和相互作用的若干要素組成的一個具有整體功能和綜合行為的統(tǒng)一體。它具備四性：整體性、層次性、結(jié)構(gòu)性和開放性。小學(xué)數(shù)學(xué)思想系統(tǒng)是建立在小學(xué)數(shù)學(xué)課程基礎(chǔ)上，以小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想做系統(tǒng)要素，以反映各要素之間在數(shù)學(xué)上的邏輯關(guān)系，和在學(xué)習(xí)上的過程關(guān)系為目的的系統(tǒng)。

（二）認(rèn)知規(guī)律

認(rèn)知心理學(xué)證明，約11、12歲的兒童，思維已進(jìn)入了形式運(yùn)算階段，接近于成人思維，這一階段的兒童可以不再依靠具體事物來運(yùn)算，能對抽象的和表征的材料進(jìn)行邏輯推算，所以形式邏輯的演繹、歸納、類比以及更加抽象化、符號化的數(shù)理邏輯都有可學(xué)的內(nèi)因。

（三）課標(biāo)要求

新課標(biāo)明確了“數(shù)學(xué)思想方法”是四基之一。

四、課程簡介

（一）課程目標(biāo)

通過課程學(xué)習(xí)幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)思想智慧體系，培養(yǎng)學(xué)生“對稱、有序、變通”的思維能力。

（二）課程建構(gòu)指導(dǎo)思想

思想是智慧，智慧是不能嚴(yán)格按從屬關(guān)系建構(gòu)的，但基本結(jié)構(gòu)（集合、等分、比較）是清楚的;核心思想（抽象、推理、模型）是不變的;對稱、有序、變通的思維智慧是統(tǒng)一的。

（三）內(nèi)容概述

總的來說，小學(xué)數(shù)學(xué)思想可捋出五條線索。

第一條線索（第一單元），集合、等分、比較、推理是主線。人做事或思考問題都應(yīng)先定目標(biāo)，再依目標(biāo)定范圍，順秩序。順秩序有兩個目的，一來是想知道集合大小，這時順秩序具體為對集合建量綱，可通俗為有序等分;二來是要研究集體內(nèi)各元素，各方面及與外集合之間對立統(tǒng)一的關(guān)系，這時順秩序具體為“比較”與“推理”，比較是從策略上組織集合，先分層劃分集合，再歸納類質(zhì)，再分析類間關(guān)系，系統(tǒng)的把握集合，但如何歸納，如何整體把握，則需要明白歸納、類比、演繹是如何的學(xué)問，課程把其通俗為同類同理、異類同理、依理推理。

當(dāng)學(xué)生學(xué)到以上知識，數(shù)學(xué)思想的智慧體系框架也就有了，緊跟其后是“類、基本數(shù)量關(guān)系與關(guān)系句”的學(xué)習(xí)，這樣安排理由有三，一來是基本數(shù)量關(guān)系、關(guān)系句與具體應(yīng)用題之間存在著緊密的聯(lián)系，是數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，也是鍛煉學(xué)生思維能力的重要方面;二來能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想作為上位知識的學(xué)習(xí)優(yōu)勢;三是體現(xiàn)學(xué)以致用的務(wù)實(shí)精神。

第二條線索（第二單元）是對應(yīng)、轉(zhuǎn)化與不變求變。對應(yīng)是轉(zhuǎn)化的條件，轉(zhuǎn)化是對應(yīng)的目的，不變求變是對應(yīng)與轉(zhuǎn)化的補(bǔ)充（強(qiáng)調(diào)條件、策略）。

第三條線索（第三單元）是分與合。從簡單的湊、刨，到秩序上的排列與組合，再到分類、討論與整合，分解、重組與整合，分合之間的智慧由表及里，層遞深入。

第四條線索是對消、還原、方程與假設(shè)。這四個思想有著緊密的聯(lián)系， 從方程來說，還原與對消是解方程的根據(jù)，從假設(shè)思想來說，方程的解題觀與假設(shè)的解題觀正好對立，方程是“順其自然”，假設(shè)是“有意而為”。

第五條線索是極限與統(tǒng)計概率。這兩個思想統(tǒng)一在頻率上，頻率屬統(tǒng)計范疇，概率可以看成是頻率的極值，區(qū)別是極限在終極狀態(tài)下解問，統(tǒng)計與概率是為決策而立術(shù)建說。

最后一課講“對稱、有序、變通”的智慧，從更高更深刻的層次統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)思想智慧體系，不論數(shù)學(xué)還是在其它學(xué)科，還是生活、工作都應(yīng)用它來指導(dǎo)自己的思維。

課程由理論、教材解析、教材三部分組成，共五個單元19節(jié)，約22課時。

（四）課程內(nèi)容特色

兼顧大眾理念，科學(xué)思維和課本關(guān)鍵知識。

1.在大眾數(shù)學(xué)方面。集合、等分、比較是具有普遍實(shí)踐意義的數(shù)學(xué)思想;歸納、類比、演繹是具有普遍推理意義的數(shù)學(xué)思想;對稱、有序、變通的思維是數(shù)學(xué)思想的智慧根據(jù)（圖1）。

圖1：對稱、有序、變通是建構(gòu)與推理的根據(jù)

2.在與課本關(guān)鍵知識結(jié)合方面。課程將基本數(shù)量關(guān)系、基本關(guān)系句、典型應(yīng)用題、統(tǒng)計與概率、方程等方面的知識及相應(yīng)技能與數(shù)學(xué)思想融為一體，充分發(fā)揮課程在上位學(xué)習(xí)方面的優(yōu)勢。在“部分課程”中，部整、份總、大小、倍比是最基本的數(shù)量關(guān)系。一類內(nèi)分有部整關(guān)系，當(dāng)內(nèi)等分時，部整關(guān)系可以轉(zhuǎn)代成份總關(guān)系;兩類比較有大小關(guān)系，當(dāng)大數(shù)可按小數(shù)等分時，大小關(guān)系轉(zhuǎn)代成倍比關(guān)系;分率是兩量按1：1等分后的份比關(guān)系，在一類內(nèi)分中：分率=■，一般寫成：“部分量=整體量×分率”，在兩類比較中：分率=■，一般寫成：“比較量=標(biāo)準(zhǔn)量×分率”，根本是■=■的比例方程。

3.以間隔模型為例，示范如何科學(xué)的思維。課程以間隔問題為例展開教學(xué)，選擇間隔是因?yàn)橛泻芏囝}型都可以歸結(jié)到這一模型上，在它的身上可以深層次的體現(xiàn)對立統(tǒng)一的觀點(diǎn)，能充分地說明對稱的、有序的、變通的思維方式能帶給學(xué)生極好的印象及起到示范作用。

（1）與“不封閉”對稱的是“封閉”。植樹問題是最簡單的間隔問題，主要講不封閉的間隔關(guān)系，與它對稱是封閉的間隔關(guān)系。在植樹問題中，首先研究的是兩端都植的間隔關(guān)系，還有一端植一端不植，和兩頭都不植的情況存在，這三種情況對稱在差異上，分別總結(jié)各自的間隔關(guān)系，再引導(dǎo)學(xué)生變通看待，即“一端不植”和“兩端不植”可以看成是“兩端都植”的特例。

在封閉中，最簡單的是圓。引導(dǎo)學(xué)生先研究圓中的間隔關(guān)系，再研究不圓，并最后整合出不論“圓”與“不圓”只要是封閉的線就都有“點(diǎn)數(shù)=間隔數(shù)=每邊點(diǎn)數(shù)×4-4=（每邊點(diǎn)數(shù)-1）×4”的穩(wěn)定關(guān)系存在。而封閉的間隔關(guān)系，又可以與不封閉中“一端不植”的情況變通，從而實(shí)現(xiàn)更廣泛意義的變通。

（2）與“線”對稱的是“面”。不封閉也罷，封閉也罷，總的來說都是間隔在線上的關(guān)系。線與面對稱，面上最簡單的間隔關(guān)系是方陣，方陣中最簡單是實(shí)陣，與實(shí)陣對稱的是虛陣，依次歸納各間隔關(guān)系，最后再整合優(yōu)化，融會貫通。

當(dāng)虛陣只剩一層時，虛陣就變通成一條封閉的線，它的“虛陣點(diǎn)數(shù)=4×層數(shù)×（最外層每邊數(shù)-層數(shù)）”公式就變通成“虛陣點(diǎn)數(shù)=4×1×（最外層每邊數(shù)-1）”與封閉線上“點(diǎn)數(shù)=（每邊點(diǎn)數(shù)-1）×4”又統(tǒng)一了。

（3）與“面”對稱的是“體”。面與體對稱。體即物體，而物體與點(diǎn)線面最大的區(qū)別在于運(yùn)動。所以這樣看來，前面所研究的為靜，而靜與動對稱且變通，在動中最簡單的是行程，行程中的“時間=路程÷速度”，從靜的角度看，就是以速度為間距，看路程中有這樣幾個間隔，這樣看來“份數(shù)=總數(shù)÷每份”“數(shù)量=總價÷單價”“工作時間=工作量÷工作效率”均為間隔。

（4）與“行程”對稱的是“工程”。行程與工程對稱，差異在行程必須有具體量，而工程無量綱。

（5）“一般行程”與“典型行程”對稱。在典型行程問題中，最直接的間隔問題是“相遇”，求“相遇時間”就是求“相遇路程”。如果以“速度和”為間距的話，有多少個間隔。相遇是相對而行，與相對而行差異對稱的是相反和同向，相反的問題可以歸結(jié)到“相遇”的關(guān)系上，同向的問題可以歸結(jié)到“追擊”上，求“追擊時間”就是求“追擊路程”中有多少個以“速度差”為間距的“間隔數(shù)”。

（6）“行程”與“非行程”對稱。非行程典型間隔問題是“盈虧”與“雞兔同籠”。盈虧是看由于兩次配額不同造成的總差距（盈加虧），里面有多少個小差距（配額差），其實(shí)質(zhì)就是在求間隔數(shù)。雞兔同籠也是這樣，假設(shè)全是兔，算出總腿差，再看造成這么大的差需要多少個小差（4-2），從而算出雞的只數(shù)。

間隔模型的這種同干異枝，同枝異條，同條異花，同花異果，同果異味兒，為怎樣對稱的、有序的、變通的思維做了很好的示范，能讓學(xué)生印象深刻、記憶久遠(yuǎn)，遷移廣泛。

五、問題與設(shè)想

因課程綜合性，如想連續(xù)完整的學(xué)習(xí)建議安排在六年級下學(xué)期。如果能將課程分層于四至六年級效果理應(yīng)更好，做小初銜接也很有意義。如果能統(tǒng)一思想框架，并在此框架下建構(gòu)一架多本的數(shù)學(xué)思想特色課程，將會更有意義。

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