赫文波

【摘 要】在初中數(shù)學(xué)中，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)使不少初學(xué)二次函數(shù)的初中生感到困惑。結(jié)合教科書的內(nèi)容安排，按照本文中的研究順序，循序漸進(jìn)，逐步深入，會很容易弄明白二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù);拋物線;對稱軸

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）22-0170-02

在初中數(shù)學(xué)中，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)使不少初學(xué)二次函數(shù)的初中生感到比較困惑。其實(shí)二次函數(shù)的本質(zhì)是數(shù)量關(guān)系的變化，將數(shù)量變化與圖形相結(jié)合進(jìn)行學(xué)習(xí)，就不會像一些同學(xué)想象的那么困難。結(jié)合教科書的內(nèi)容安排，按照下面的研究順序，循序漸進(jìn)，逐步深入，會很容易弄明白二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

1? ?y=x2和y=-x2的圖像和性質(zhì)

二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，要以y=x2和y=-x2的探究為起點(diǎn)。采用五點(diǎn)法作圖，通過找到函數(shù)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，然后根據(jù)橫坐標(biāo)對稱性取點(diǎn)，描點(diǎn)作圖，這樣就很容易得出這兩個函數(shù)圖像（如圖1）。仔細(xì)觀察這兩個函數(shù)的圖像特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)：y=x2和y=-x2的圖像都是頂點(diǎn)在原點(diǎn)、關(guān)于y軸對稱的拋物線，其形狀和張口大小完全相同，區(qū)別僅在于開口方向不同。

2? ?y=ax2（a≠0）和y=ax2+k（a≠0）的圖像和性質(zhì)

在上面研究的基礎(chǔ)上，再來探究y=ax2（a≠0）的圖像和性質(zhì)。還是先通過五點(diǎn)法描點(diǎn)畫圖，得出圖像。比如研究y=2x2（和y=-2x2）的圖像，y=2x2的圖像與y=x2的圖像對比可知，y=2x2的圖像的張口要比y=x2的圖形的張口小;y=x2的圖像張口比y=x2的圖像的張口大。也就是說，x2的系數(shù)a的絕對值越大，圖像的張口越小;a的絕對值越小，圖像的張口越大。a是負(fù)數(shù)時只是對應(yīng)的開口方向不同。

于是得到，函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖像與y=x2的圖像對比：當(dāng)a是正數(shù)時，它們的頂點(diǎn)、對稱軸完全相同，只是張口大小不同;而且當(dāng)a的絕對值越大張口越小，a的絕對值越小張口越大。與y=x2和y=-x2的圖像關(guān)系相同，y=ax2中a是正數(shù)與a是負(fù)數(shù)時圖像的開口方向不同。例如y=3x2

的圖像的張口要比y=x2的圖像的張口小，y=x2的圖像的張口要比y=x2的圖像的張口大;y=-3x2的圖像的張口大小與y=3x2的圖像的張口大小相同，只是它們的開口方向相反。

理解了y=ax2（a≠0），接下來探究y=ax2+k（a≠0）的圖像。通過畫圖，可以看到，這一函數(shù)的圖像（如圖2），只是在y=ax2的圖像的基礎(chǔ)上向上或向下平移|k|個單位。當(dāng)k是正數(shù)時，向上平移;當(dāng)k是負(fù)數(shù)時，向下平移。頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，k），對稱軸還是y軸。例如y=2x2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1）;y=-3x2-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-1）。

3? ?y=a（x-h）2+k（a≠0）的圖像和性質(zhì)

在探究了y=ax2（a≠0）和y=ax2+k（a≠0）的圖像基礎(chǔ)上，再來探究y=a（x-h）2+k（a≠0）的圖像。通過五點(diǎn)法描點(diǎn)作出圖像（如圖3），可以發(fā)現(xiàn)y=a（x-h）2+k（a≠0）的圖像和y=ax2+k（a≠0）的圖像形狀和大小相同，只是對稱軸向右或向左平移了|h|個單位。當(dāng)h是正數(shù)時對稱軸向右平移，當(dāng)h是負(fù)數(shù)時對稱軸向左平移。對稱軸是x=h，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）。

如y=2（x-1）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1），對稱軸是x=1，它可以看做是y=2x2+1的圖像向右平移了1個單位;y=2（x+1）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，1），對稱軸是x=-1，它可以看做是y=2x2+1的圖像向左平移了1個單位。

此外，所有的二次函數(shù)都可以寫成y=a（x-h）2+k（a≠0）。當(dāng)h=0時，就是函數(shù)y=ax2+k（a≠0）;當(dāng)k=0時，就是函數(shù)y=a（x-h）2（a≠0）;當(dāng)h=0、k=0時，就是函數(shù)y=ax2（a≠0）;當(dāng)a=1、h=0、k=0時，就是函數(shù)y=x2。對于一般形式的二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），也可以通過配方的方法轉(zhuǎn)化成y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，轉(zhuǎn)化后的結(jié)果為

y=a（x+）2+（a≠0），它的對稱軸是x=，

頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）。如y=x2+2x+3可變形為y=（x+1）2+2，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，2），對稱軸是x=-1;再

如y=3x2-2x+5可變形為y=3（x-）2+，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，），對稱軸是x=。

按照上述順序，由簡入難，循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)二次函數(shù)，找到與之對應(yīng)的具體二次函數(shù)認(rèn)真思考、舉一反三、反復(fù)練習(xí)，每一種類型都堅持這樣去做，便會弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，那么二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的問題就會迎刃而解。如y=5x2、y=5x2-2、y=5（x-1）2、y=5（x-1）2-2

（即y=5x2-10x+3），這些二次函數(shù)圖像的形狀如何，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸分別是什么？y=5x2-2、y=5（x-1）2、y=5（x-1）2-2（即y=5x2-10x+3），這些函數(shù)的圖像是由函數(shù)y=5x2的圖像怎樣移動得到的？認(rèn)真分析各個函數(shù)的圖像特點(diǎn)、函數(shù)間的移動變化規(guī)律，二次函數(shù)的實(shí)質(zhì)也就弄明白了。

初學(xué)二次函數(shù)的學(xué)生，不要被一條條抽象的曲線嚇住了，按照上述學(xué)習(xí)步驟，逐步揭開數(shù)量變化與圖形之間的關(guān)系，認(rèn)真思考，積極訓(xùn)練，一定能學(xué)好二次函數(shù)。