李建軍，黃開(kāi)勝，武 寧，黃 渠

(廣東工業(yè)大學(xué)，廣州510006)

0 引 言

外轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)具有定子在內(nèi)側(cè)、轉(zhuǎn)子在外側(cè)的特殊結(jié)構(gòu)，同時(shí)又具備永磁同步電機(jī)體積小、效率高、便于維護(hù)等顯著特點(diǎn)，因此在通風(fēng)設(shè)備、壓縮制冷、風(fēng)機(jī)等方面中有著廣泛的應(yīng)用。在永磁電機(jī)中，永磁體與定子齒槽相互作用，產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩。齒槽轉(zhuǎn)矩是一種附加的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，雖然對(duì)電機(jī)平均轉(zhuǎn)矩大小影響較小，但會(huì)引起轉(zhuǎn)矩波動(dòng)、引發(fā)振動(dòng)噪聲以及降低電機(jī)控制精度等，直接影響電機(jī)的運(yùn)行性能。齒槽轉(zhuǎn)矩在大功率和高性能永磁電機(jī)中表現(xiàn)得尤為突出[1]。為削弱永磁同步電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩，國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者進(jìn)行了大量的研究，提出了許多方法。其中，在永磁同步電機(jī)定子齒冠上開(kāi)輔助槽是削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的較為簡(jiǎn)單有效的方法之一。

ANSYS Maxwell的參數(shù)化分析方法是一種常用的電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，該方法通過(guò)將電機(jī)參數(shù)變量化，對(duì)不同參數(shù)下的電機(jī)模型進(jìn)行掃描以獲取最佳參數(shù)。文獻(xiàn)[2-4]都使用該方法對(duì)電機(jī)的單一參數(shù)進(jìn)行了掃描，實(shí)現(xiàn)了電機(jī)參數(shù)的優(yōu)化。但若將本文中的3個(gè)參數(shù)取值范圍均分為5等份，需要進(jìn)行125次仿真，若設(shè)置為20等份，則需要8 000次。因此，該方法雖然簡(jiǎn)單準(zhǔn)確，但當(dāng)掃描的參數(shù)較多、取值范圍較大而又需要得到較好的優(yōu)化效果時(shí)，參數(shù)變化步長(zhǎng)就需設(shè)定為較小值，實(shí)驗(yàn)次數(shù)將明顯增加，耗時(shí)增長(zhǎng)。響應(yīng)面法(以下簡(jiǎn)稱RSM)以合理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)，得到一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用多維二次模型擬合各因素以及響應(yīng)值之間的函數(shù)關(guān)系，以求得最優(yōu)值。RSM是一種簡(jiǎn)單高效的全局最優(yōu)方法，但是需要尋找各因素與響應(yīng)值之間的定量規(guī)律。但RSM的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)實(shí)驗(yàn)次數(shù)固定，當(dāng)因素變化范圍過(guò)大，函數(shù)關(guān)系又較為復(fù)雜時(shí)，由于實(shí)驗(yàn)點(diǎn)數(shù)過(guò)少，該方法存在因素與響應(yīng)值之間難以擬合或者擬合精度較差導(dǎo)致響應(yīng)預(yù)測(cè)值與實(shí)際仿真結(jié)果誤差超出可接受范圍等問(wèn)題。

本文綜合考慮了ANSYS Maxwell參數(shù)化分析方法和RSM的優(yōu)缺點(diǎn)，先利用ANSYS Maxwell 2D的參數(shù)化分析方法，分析各參數(shù)變化時(shí)齒槽轉(zhuǎn)矩的變化趨勢(shì)，作為RSM各因素取值范圍的依據(jù)，確定一個(gè)較小的取值范圍，后再應(yīng)用RSM對(duì)輔助槽參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。以齒槽轉(zhuǎn)矩為優(yōu)化目標(biāo)，以輔助槽偏移角度、槽深、槽寬為優(yōu)化變量，對(duì)輔助槽參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，得到優(yōu)化結(jié)果。最后，利用有限元仿真對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

1 開(kāi)輔助槽削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的原理分析

本文基于能量法，對(duì)開(kāi)輔助槽抑制永磁同步電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行定性分析。首先做出如下假設(shè)：

1) 在沒(méi)有特殊說(shuō)明的情況下，同一電機(jī)內(nèi)的永磁體形狀、尺寸、性能相同且均勻分布[5]；

2) 不考慮飽和的情況；

3) 鐵心疊壓系數(shù)為1；

4) 永磁材料的磁導(dǎo)率與空氣相同。

5) 電樞鐵心的磁導(dǎo)率無(wú)窮大。

在不考慮斜槽時(shí)的齒槽轉(zhuǎn)矩表達(dá)式如下：

(1)

(2)

式中：θs0為用弧度表示的槽口寬度；δ為氣隙長(zhǎng)度；hm為磁鋼充磁方向長(zhǎng)度。

定子齒冠開(kāi)輔助槽相當(dāng)于增加了電樞槽數(shù)，改變了電機(jī)的極槽配合。在對(duì)輔助槽削弱齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行研究，為簡(jiǎn)化分析，假設(shè)輔助槽的寬度與電樞槽相同，槽深大小適合且均勻開(kāi)槽，則可認(rèn)為輔助槽與電樞槽影響是相同的。當(dāng)定子齒上有k個(gè)槽時(shí)，k為偶數(shù)時(shí)，Gn的表達(dá)式如下：

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，Gn的表達(dá)式如下：

對(duì)比式(2)、式(3)、式(4)能發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每個(gè)齒上開(kāi)k個(gè)輔助槽時(shí)，n為(k+1)的倍數(shù)時(shí)，Gn的值不為零，此時(shí)Gn的值會(huì)變?yōu)椴婚_(kāi)輔助槽時(shí)的(k+1)倍。反之，當(dāng)n不為(k+1)的倍數(shù)時(shí)，Gn的值為零。即n為Np的倍數(shù)時(shí)，Gn會(huì)產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩，反之則不會(huì)。因此，為了使齒槽轉(zhuǎn)矩得到削弱，Np需滿足條件：k+1≠mNp；當(dāng)Np=1時(shí)，顯然無(wú)法滿足條件，當(dāng)Np≠1時(shí)，本文以12槽10極電機(jī)為例，由于k+1≠mNp，Np=2，故k的取值為0，2，4，…，其中k=0為不開(kāi)槽的情況。

本文從削弱齒槽轉(zhuǎn)矩、便于加工等方面因素考慮，在滿足k+1≠mNp的條件下輔助槽數(shù)應(yīng)盡量小，因此選擇輔助槽數(shù)為2。文獻(xiàn)[7-8]利用有限元實(shí)驗(yàn)分析了輔助槽的偏移角度、槽深、槽寬對(duì)削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的效果的影響，并對(duì)矩形槽、半圓槽、角型槽3種不同的槽型對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的抑制效果進(jìn)行了對(duì)比分析。分析結(jié)果表明，定子齒頂開(kāi)輔助槽抑制齒槽轉(zhuǎn)矩的效果與輔助槽的偏移角度、槽深、槽寬的取值有較大關(guān)系；若選擇不當(dāng)，反而會(huì)增大齒槽轉(zhuǎn)矩。同時(shí)，有限元實(shí)驗(yàn)證明了矩形槽削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的效果最為顯著，本文選取的輔助槽為矩形槽，選取輔助槽偏移角度、槽深、槽寬作為優(yōu)化參數(shù)。

2 取值范圍的確定

2.1 電機(jī)模型及優(yōu)化參數(shù)的建立

本文采用12槽10極外轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)，其基本設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示。

表1 12槽10極外轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)參數(shù)

ANSYS Maxwell 2D電機(jī)仿真模型如圖1所示。

圖1 外轉(zhuǎn)子電機(jī)ANSYS Maxwell 2D仿真模型

上文分析已經(jīng)確定輔助槽個(gè)數(shù)為2，槽型為矩形槽，輔助槽參數(shù)設(shè)置如圖2所示。圖2中，b代表槽寬，h代表槽深，θ代表偏移角度。為避免因偏移角度過(guò)小、槽寬過(guò)大，使得兩個(gè)輔助槽合并為一個(gè)，本文中θ表示槽口靠近定子齒中心線的一邊與中心線的夾角。

圖2 輔助槽參數(shù)設(shè)置

2.2 削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的參數(shù)化分析

ANSYS Maxwell是將電機(jī)模型中需要優(yōu)化的參數(shù)變量化，仿真軟件依照設(shè)置好的取值范圍和步長(zhǎng)逐一仿真，在掃描出的所有結(jié)果中找出滿意的結(jié)果，再得到對(duì)應(yīng)的優(yōu)化參數(shù)。但是，該方法如果設(shè)置的變量過(guò)多、步長(zhǎng)較小，實(shí)驗(yàn)次數(shù)將明顯增多，在多變量、小步長(zhǎng)的情況下不夠簡(jiǎn)單高效。文獻(xiàn)[7-9]利用ANSYS Maxwel優(yōu)化輔助槽3個(gè)參數(shù)時(shí)，仿真均采用單一參數(shù)逐一進(jìn)行有限元仿真，得到齒槽轉(zhuǎn)矩的變化趨勢(shì)，選取各趨勢(shì)曲線中齒槽轉(zhuǎn)矩較小的點(diǎn)作為輔助槽的參數(shù)。這種方法并不能得到優(yōu)化很好的參數(shù)組合，對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的優(yōu)化效果一般。本文利用參數(shù)化分析方法在單變量、大步長(zhǎng)下較為簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，得到單一參數(shù)變化時(shí)齒槽轉(zhuǎn)矩的變化趨勢(shì)，進(jìn)而確定一個(gè)較小的取值范圍。

本文選取參數(shù)的取值范圍：偏移角度1°～9°；槽寬0.2～3.4 mm；槽深0.2～1.4 mm。當(dāng)一個(gè)參數(shù)變化時(shí)，另外兩個(gè)參數(shù)保持不變，參數(shù)設(shè)定：θ=4.5°，h=0.6 mm，b=1.7 mm。本文依據(jù)上述設(shè)定進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，為了便于分析各參數(shù)變化時(shí)齒槽轉(zhuǎn)矩的變化趨勢(shì)，將所得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用折線圖更直觀地表示，如圖3所示。

(a) 偏移角度θ

(b) 槽寬b

(c) 槽深h

由圖3分析可知，輔助槽偏移角度對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響最大。隨著偏移角度的增大，齒槽轉(zhuǎn)矩先減小后增大；隨著槽寬增大，齒槽轉(zhuǎn)矩先減小后增大；隨著槽深的增大，齒槽轉(zhuǎn)矩先增大后減小，但在0.2～0.6 mm區(qū)間內(nèi)變化不明顯且齒槽轉(zhuǎn)矩較小。根據(jù)以上齒槽轉(zhuǎn)矩的變化趨勢(shì)，新的取值范圍：槽偏移角度3.5°～5.5°；槽口寬度1.8～3 mm；槽口深度0.2～0.7 mm，將以上取值范圍作為RSM的取值范圍，進(jìn)行響應(yīng)面設(shè)計(jì)。

3 基于RSM的參數(shù)優(yōu)化

RSM是一種利用某種特定實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法得到一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用多維二次模型擬合響應(yīng)與因素之間函數(shù)關(guān)系并求得最優(yōu)解的全局優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[10]提出了利用RSM優(yōu)化輔助槽尺寸，但是未說(shuō)明因素的取值范圍具體如何確定，齒槽轉(zhuǎn)矩僅下降46%，優(yōu)化效果一般。本文為避免當(dāng)因素取值范圍較大且因素與響應(yīng)的關(guān)系較復(fù)雜時(shí)，RSM會(huì)出現(xiàn)擬合的模型無(wú)意義或者優(yōu)化結(jié)果與仿真結(jié)果差值較大這一問(wèn)題，根據(jù)ANSYS Maxwell參數(shù)化分析方法得到較小的取值范圍，利用RSM求取全局最優(yōu)解。

RSM設(shè)計(jì)方法常用的有Box-Behnken設(shè)計(jì)(以下簡(jiǎn)稱BBD)和中心復(fù)合設(shè)計(jì)(以下簡(jiǎn)稱CCD)，但是考慮到CCD設(shè)計(jì)表是在3水平全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上加上中心點(diǎn)和極值點(diǎn)構(gòu)成的，而BBD所有試驗(yàn)點(diǎn)都不超過(guò)立方體邊界。若使用CCD，則試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)參數(shù)的水平值對(duì)應(yīng)的實(shí)際值為負(fù)的情況，這與電機(jī)仿真的實(shí)際不符，故本文采用BBD。

本文利用Design-Expert軟件和ANSYS Maxwell 2D，根據(jù)BBD模型的設(shè)計(jì)理論，得到各因素水平表如表2所示，BBD試驗(yàn)安排及有限元仿真結(jié)果如表3所示。

表2 試驗(yàn)因素水平表

表3 BBD試驗(yàn)安排及仿真結(jié)果

利用Design-Expert軟件對(duì)有限元仿真數(shù)據(jù)采用二階響應(yīng)模型對(duì)變量和響應(yīng)值之間的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行擬合，得到二階回歸方程如下：

Tc=+7.48+2.82θ-10.24h-2.20b+

1.92θh+19.56θb-0.033hb+19.03θ2+6.92h2+10.08b2

(5)

式中：θ，h，b都是編碼變換后的數(shù)值，計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)表2進(jìn)行變換。為了對(duì)擬合函數(shù)進(jìn)行評(píng)價(jià)，點(diǎn)擊Design-Expert中的方差分析(ANOVA)選項(xiàng)。方差分析對(duì)模型顯示，模型的P值<104，說(shuō)明擬合度很好；決定因數(shù)R2為0.997，大于0.9，說(shuō)明各因素與響應(yīng)值有良好的函數(shù)關(guān)系并且得到了較好的擬合。為了分析各因素變量的交互作用，本文采用Design-Expert生成的等高線圖與3D圖，如圖4～圖6所示。

(a) 等高線圖

(b) 3D響應(yīng)圖

(a) 等高線圖

(b) 3D響應(yīng)圖

(a) 等高線圖

(b) 3D響應(yīng)圖

由圖4～圖6可知，輔助槽偏移角度相對(duì)于槽深、槽寬，在變化時(shí)對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響較大，與上文ANSYS Maxwell得到結(jié)果的大致相符。通過(guò)圖4～圖6可以觀測(cè)出，單一參數(shù)的最佳取值范圍，偏移角度為4°～4.5°；槽深為0.5～0.65 mm；槽寬為2.4～2.6 mm。本文利用Design-Expert軟件對(duì)二階回歸模型分析求解后，得到最優(yōu)化參數(shù)(θ，h，b)=(4.13°，0.47 mm，2.50 mm)，響應(yīng)值為6.75 mN·m。利用ANSYS Maxwell 2D對(duì)以上參數(shù)進(jìn)行有限元仿真驗(yàn)證，仿真得到的齒槽轉(zhuǎn)矩峰值為6.28 mN·m，相對(duì)于優(yōu)化前的齒槽轉(zhuǎn)矩峰值51.89 mN·m，下降了87.9%。優(yōu)化前后齒槽轉(zhuǎn)矩的對(duì)比圖如圖7所示。

圖7 開(kāi)槽前后齒槽轉(zhuǎn)矩對(duì)比

4 結(jié) 語(yǔ)

本文采用定子齒開(kāi)輔助槽的方法削弱一款12槽10極外轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩。為確定輔助槽尺寸的最佳參數(shù)，研究了結(jié)合ANSYS Maxwell 2D參數(shù)化分析方法和RSM相相結(jié)合的方法，既避免了ANSYS Maxwell 2D參數(shù)化分析方法在優(yōu)化輔助槽參數(shù)時(shí)仿真實(shí)驗(yàn)次數(shù)過(guò)多的缺點(diǎn),又克服了RSM在變量取值范圍大、交互關(guān)系復(fù)雜時(shí)難以有效擬合的缺點(diǎn)。利用該方法，本文在仿真次數(shù)較少的情況下實(shí)現(xiàn)了對(duì)輔助槽參數(shù)的有效優(yōu)化，仿真結(jié)果表明，齒槽轉(zhuǎn)矩下降了87.9%，證明了該方法的有效性。