袁海勇

一、 數(shù)形結(jié)合思想的概念介紹

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象通常是數(shù)量關(guān)系和空間幾何，而二者在一定條件下可以做到相互轉(zhuǎn)換。數(shù)形結(jié)合我們可以理解為數(shù)量和圖形之間的相互對(duì)應(yīng)關(guān)系，而數(shù)學(xué)教師在對(duì)數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法進(jìn)行應(yīng)用時(shí)可以分成兩個(gè)方面：第一方面是通過數(shù)量關(guān)系對(duì)空間幾何圖形進(jìn)行解釋，也就是我們比較熟悉的以數(shù)解形；第二方面是數(shù)通過形的幾何特點(diǎn)去解釋二者之間的某種關(guān)系，也就是以形解數(shù)；當(dāng)學(xué)生可以找到數(shù)與形之間的所有對(duì)應(yīng)關(guān)系，就可以把復(fù)雜的幾何問題、代數(shù)問題、函數(shù)問題等復(fù)雜問題結(jié)合在一起進(jìn)行思考和解決，最終達(dá)到提高學(xué)生邏輯思維能力和解題效果的目的。例如學(xué)生在做(x-4)2+y2=16，y/x最大值的時(shí)候，如果只是單純依靠傳統(tǒng)的解題思路和方法去解出問題就會(huì)很耗費(fèi)時(shí)間，如果是先畫出圖形(4，0)為圓心，以4為半徑的圓就可以通過觀察圖形的位置，最終快速求出問題的答案。

二、 關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用原則分析

(一) 把握直觀性的原則

數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想最顯著的一個(gè)特征就是具有一定的直觀性。在實(shí)際的教學(xué)過程中教師進(jìn)行理論知識(shí)的單一敘述無法讓學(xué)生擁有正確的理解，而把文字和數(shù)字轉(zhuǎn)化為形象化的圖形，就可以讓學(xué)生更好地理解主從變量之間的關(guān)系，有利于增強(qiáng)他們對(duì)數(shù)學(xué)概念公式的理解。

(二) 把握簡(jiǎn)單性的原則

簡(jiǎn)單性原則我們可以理解為在直觀性原則的基礎(chǔ)之上，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)變得簡(jiǎn)單化，而這就需要學(xué)生從復(fù)雜的圖形中找到正確的數(shù)學(xué)信息，然而由于高中的幾何圖形存在很大的難度，學(xué)生在解析圖形時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)很多的困難，因此這就需要教師培養(yǎng)學(xué)生的圖形分析能力。

(三) 把握創(chuàng)新性的原則

教師在對(duì)數(shù)形結(jié)合教學(xué)模式進(jìn)行應(yīng)用時(shí)，需要通過創(chuàng)新性的圖形去培養(yǎng)學(xué)生的多元化解題思路，這樣不僅可以提高學(xué)生對(duì)數(shù)形問題的敏感度，也能對(duì)他們的發(fā)散性思維培養(yǎng)起到很強(qiáng)的促進(jìn)作用。

三、 關(guān)于數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的具體應(yīng)用分析

(一) 數(shù)學(xué)教師提高數(shù)形結(jié)合的意識(shí)

在我國(guó)新課改理念的引導(dǎo)下，高中數(shù)學(xué)教材是根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展和運(yùn)用進(jìn)行改編的，雖然關(guān)于數(shù)形結(jié)合方法的相關(guān)知識(shí)并沒有在教材中明確地體現(xiàn)出來，但是教師需要清楚認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法的重要性，要讓自己傳統(tǒng)的教學(xué)理念以及教學(xué)方法得到全面的改進(jìn)和創(chuàng)新，在教學(xué)過程中通過數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)擁有一個(gè)更加深刻的理解，也要結(jié)合數(shù)學(xué)大綱以及教學(xué)內(nèi)容找準(zhǔn)數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法的切入點(diǎn)，認(rèn)真設(shè)計(jì)每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，最終使得數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法的優(yōu)勢(shì)和價(jià)值得到全面的體現(xiàn)。

(二) 通過數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)中的集合問題

數(shù)形結(jié)合可以有效判斷出圖像和數(shù)值之間所存在的各種關(guān)系，而數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合方法去解決一些比較常見的選擇題和填空題。在高中的數(shù)學(xué)試卷中，集合問題無論是作為填空題、判斷題還是應(yīng)用題，如果學(xué)生只是單純地按照傳統(tǒng)的解題思路和方法進(jìn)行解答，就很容易出現(xiàn)結(jié)果上的錯(cuò)誤，但是通過數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行數(shù)量集合的計(jì)算，不僅會(huì)讓解題過程變得更加簡(jiǎn)單，也能有效提高他們解題的效率。

例如某商場(chǎng)舉辦商品的促銷活動(dòng)，一共有50個(gè)商家參加此次活動(dòng)，其中電器促銷活動(dòng)30人、食品促銷活動(dòng)25人、15人參加了電器促銷和食品促銷兩個(gè)活動(dòng)，請(qǐng)問有多少人既沒有參加電器促銷活動(dòng)也沒有參加食品促銷活動(dòng)？如果學(xué)生是通過Venn圖形進(jìn)行集合的計(jì)算就會(huì)很快判斷出數(shù)量關(guān)系并得出準(zhǔn)確的結(jié)果，而學(xué)生通過傳統(tǒng)的解題思路和解題方法就會(huì)得到這樣的繁瑣解題過程：參加電器促銷活動(dòng)沒有參加食品促銷活動(dòng)的有30-15=15人，參加食品促銷活動(dòng)沒有參加電器促銷活動(dòng)的有25-15=10人，所以參加促銷活動(dòng)的人有15+10+15=40人，而沒有參加促銷活動(dòng)的有50-40=10人。

再比如某個(gè)高中學(xué)校舉辦奧數(shù)比賽，一共有25個(gè)學(xué)生報(bào)名參賽。競(jìng)賽題目主要分成E、M、T三個(gè)題目，每個(gè)學(xué)生可以自己選擇一個(gè)題目進(jìn)行解答，其中選擇M題目的人數(shù)是T的2倍，而E題解決的人數(shù)比剩余的多了一個(gè)人，只解決E、M、T其中一個(gè)題的總?cè)藬?shù)中有1/2沒有解決E題，那么請(qǐng)問有多少人解決了M題？在對(duì)這一道集合問題進(jìn)行解決時(shí)，如果學(xué)生選擇傳統(tǒng)的解題方法就會(huì)非常耗費(fèi)時(shí)間和精力，而通過數(shù)形結(jié)合思想就可以用甲乙丙去分別表示EMT題目的總?cè)藬?shù)，通過e，m，t……g表示小區(qū)域，最終通過直觀的圖形轉(zhuǎn)換得到問題的答案。

(三) 通過數(shù)形結(jié)合思想解決圓的知識(shí)點(diǎn)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是非常重要的且學(xué)習(xí)難度也比較高，因此數(shù)學(xué)教師可以讓學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析和解決和圓知識(shí)點(diǎn)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。舉個(gè)例子，已知曲線xy=1與圓M：x2+y2-4x-4y+3=0相交于A，B兩點(diǎn)，請(qǐng)求出AB的中垂線方程式。面對(duì)這個(gè)問題時(shí)學(xué)生就可以通過以形解數(shù)和以數(shù)解形的方法把復(fù)雜抽象的問題變得簡(jiǎn)單和具體，如曲線xy=1實(shí)際上可以看出是反比例函數(shù)，其圖像關(guān)于直線y=x是對(duì)稱的，外加M的圓心在y=x上，所以可以得出AB的中垂線方程是y=x。

四、 數(shù)形結(jié)合方法在二元一次不等式問題上的具體應(yīng)用

在高中二元一次不等式的教學(xué)過程中，不等式組的參數(shù)值會(huì)對(duì)平面區(qū)域的形狀產(chǎn)生直接的影響，如果在二元一次不等式組中的某一個(gè)不等式中含有參數(shù)，這時(shí)候這個(gè)不等式表示區(qū)域的分界線就會(huì)呈現(xiàn)出幾條不同的直線，如果在求解的目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)，就需要根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)去確定參數(shù)變化時(shí)目標(biāo)函數(shù)和平面區(qū)域之間的關(guān)系，最終求出平面區(qū)域的取值范圍。舉個(gè)例子，已知在平面直角坐標(biāo)系中如果不等式組y≥0；y≥2x；y≤k(x-1)-1表示一個(gè)三角形的區(qū)域，請(qǐng)求出k的取值范圍。要想讓學(xué)生對(duì)題目中已給出的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確的判斷，教師可以通過數(shù)形結(jié)合的方法幫助他們解決問題。首先可以把題目中的區(qū)域邊界通過兩靜一動(dòng)的方式表現(xiàn)出來，教師可以先畫出一個(gè)區(qū)域讓學(xué)生觀察圖形確定完二元一次不等式表示的平面區(qū)域以后，再讓他們通過直線定界的方法去判斷圖形數(shù)量之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，從而準(zhǔn)確求出k的取值范圍。

五、 數(shù)形結(jié)合法在函數(shù)問題中的具體應(yīng)用

函數(shù)在高中數(shù)學(xué)教材中所占有的比例也是很高的，其所貫穿的函數(shù)知識(shí)范圍非常廣泛，所涉及的知識(shí)點(diǎn)也非常靈活，非?？简?yàn)學(xué)生的邏輯思維能力，因此也就導(dǎo)致很多學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)時(shí)都會(huì)存在各種各樣的困難，比如他們無法對(duì)函數(shù)概念和相關(guān)公式擁有正確的理解和掌握，所以針對(duì)于這種情況數(shù)學(xué)教師通過數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，就可以讓學(xué)生根據(jù)函數(shù)值與其對(duì)應(yīng)的圖像去對(duì)相關(guān)問題進(jìn)行一步步的推理，從而更好地解決復(fù)雜的函數(shù)問題。例如對(duì)0.32、log20.3、20.3三個(gè)數(shù)的大小順序進(jìn)行排列：這道題目雖然看上去并不算是難題，但學(xué)生如果是按照慣性思維進(jìn)行問題的思考就會(huì)先計(jì)算出0.32的值以后再去判斷其他兩個(gè)數(shù)的數(shù)值，然而log20.3和20.3是無法計(jì)算出來的，而通過數(shù)形結(jié)合的思想學(xué)生就會(huì)分別繪制出y=x2，y=log2x，y=2x的三個(gè)圖像，然后再把x的值設(shè)定為0.3，最后就可以順利得出log20.3<0.32<20.3的順序。

六、 數(shù)形結(jié)合法在幾何問題上的具體應(yīng)用

幾何問題一直屬于高中數(shù)學(xué)蘇教版教材中的重難點(diǎn)問題，因?yàn)橛?jì)算數(shù)量比較龐大且問題又不夠直觀，使得很多學(xué)生在面對(duì)這類應(yīng)用題型時(shí)都會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的思考方法，而教師通過數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法就可以為學(xué)生提供出新的思考方向。舉個(gè)例子，已知M點(diǎn)在拋物線y2=4x上，當(dāng)M點(diǎn)到Y(jié)點(diǎn)(2，-1)的距離與點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)距離之和最小時(shí)，此刻M的坐標(biāo)應(yīng)該如何表示？這道經(jīng)典的幾何題如果學(xué)生是按照以往的思路進(jìn)行解答，就會(huì)把M點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)置為(x0，y0)，然后通過計(jì)算出兩段距離之和的方式得出結(jié)果。而教師引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的方法對(duì)這道題目進(jìn)行思考，就可以讓他們了解到雖然點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離是相同的，但實(shí)際上可以直接簡(jiǎn)化為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)M到Y(jié)點(diǎn)距離的之和，這樣也就幫助他們轉(zhuǎn)移了傳統(tǒng)的解題思路，把代數(shù)計(jì)算直接轉(zhuǎn)化為對(duì)圖形的直接觀察和深入分析，最終準(zhǔn)確得出點(diǎn)M的坐標(biāo)位置。

綜上所述，高中數(shù)學(xué)知識(shí)因?yàn)楸旧砭哂泻艽蟮碾y度，使得高中學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解上會(huì)存在一定的困難，而數(shù)學(xué)教師把數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法融入到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，就可以幫助學(xué)生降低學(xué)習(xí)難度以及加深他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解程度，最終幫助他們構(gòu)建一個(gè)更加系統(tǒng)和完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，這對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及其他理科的學(xué)習(xí)起到了至關(guān)重要的作用。