孫鳳琪

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 四平 136000)

0 引 言

對(duì)于一個(gè)實(shí)際的控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定方法有兩種, 即主動(dòng)適應(yīng)技術(shù)和被動(dòng)適應(yīng)技術(shù)。前者亦稱自適應(yīng)控制, 是不需借助外力作用, 通過系統(tǒng)自身自動(dòng)調(diào)節(jié)而達(dá)到的一種穩(wěn)定狀態(tài)。后者又叫做魯棒控制, 是需要人為的手段對(duì)一個(gè)控制系統(tǒng)進(jìn)行外力強(qiáng)加控制, 使之達(dá)到預(yù)期的穩(wěn)定標(biāo)準(zhǔn)以及性能指標(biāo)的一種控制方法。而魯棒鎮(zhèn)定或保性能控制, 所采取的手段就是控制器設(shè)計(jì)。

系統(tǒng)穩(wěn)定只是運(yùn)行前提, 在實(shí)際系統(tǒng)應(yīng)用領(lǐng)域是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的, 還需要在保證穩(wěn)定的基礎(chǔ)上對(duì)性能有更高的要求, 以便完成更加高效先進(jìn)的控制工程任務(wù)。為此, 在前期時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)Lurie系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[1]研究基礎(chǔ)上, 筆者對(duì)文獻(xiàn)[1]中系統(tǒng)(1)進(jìn)行狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)。在Lurie系統(tǒng)(1)穩(wěn)定基礎(chǔ)上, 加入控制輸入u(t), 構(gòu)造新的狀態(tài)反饋控制器, 然后求出狀態(tài)反饋控制律K。為該系統(tǒng)的深入研究奠定理論基礎(chǔ)。

1 預(yù)備知識(shí)

引理2[3]給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y,D和E, 其中Y是對(duì)稱陣, 不確定函數(shù)F(t), 滿足FΤ(t)F(t)≤I, 則

Y+EF(t)D+DΤFΤ(t)EΤ<0

成立的充要條件是, 存在一個(gè)常量η>0, 使

Y+ηEEΤ+η-1DΤD<0

考慮以下時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)Lurie控制系統(tǒng)

(1)

其中u(t)∈Rp是控制輸入, 非線性函數(shù)φ(t,z): [0,∞)×Rm→Rm屬于扇形區(qū)域[V1,V2], 即

[φ(t,z(t))-V1z]T[φ(t,z(t))-V2z]≤0, ?t≥0, ?z∈Rm

(2)

其他條件與文獻(xiàn)[1]中的系統(tǒng)(1)相同。

設(shè)計(jì)線性狀態(tài)反饋控制器

u(t)=Kx(t)

使閉環(huán)系統(tǒng)

(3)

是絕對(duì)穩(wěn)定的。具有這樣性質(zhì)的控制律u(t)稱為系統(tǒng)(1)的絕對(duì)穩(wěn)定化控制律[3]。

根據(jù)文獻(xiàn)[1]中的理論部分2.2, 可知欲使系統(tǒng)(1)在扇形區(qū)域[V1,V2]內(nèi)絕對(duì)穩(wěn)定, 即證閉環(huán)系統(tǒng)(3)在扇形區(qū)域[V1,V2]內(nèi)是絕對(duì)穩(wěn)定的。通過應(yīng)用反饋環(huán)的變換, 閉環(huán)系統(tǒng)(3)在扇形區(qū)域[V1,V2]內(nèi)的絕對(duì)穩(wěn)定性等價(jià)于系統(tǒng)

(4)

在扇形區(qū)域[0,V2-V1]內(nèi)的絕對(duì)穩(wěn)定性。

2 狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)

2.1 時(shí)滯依賴情形

(5)

(6)

其中

證明 根據(jù)文獻(xiàn)[1]的定理3, 通過應(yīng)用引理1, 可知

(7)

其中

W11(ε)=(A+BK-DV1C)ΤZ(ε)+ZΤ(ε)(A+BK-DV1C)+Q

W41(ε)=τ(A+BK-DV1C)ΤM

成立時(shí), 閉環(huán)系統(tǒng)(3)在扇形區(qū)域[V1,V2]內(nèi)絕對(duì)穩(wěn)定。

將式(7)線性化, 把矩陣左乘和右乘對(duì)角矩陣diag{Z-Τ(ε),I,I,I,I,I}, 再定義

(8)

并應(yīng)用引理2, 整理后得到

(9)

其中

2.2 時(shí)滯獨(dú)立情形

其中

證略。

3 算 例

考慮以下時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)Lurie控制系統(tǒng)

4 推 論

去掉系統(tǒng)(1)中的不確定性矩陣F(t), 則成為如下奇異攝動(dòng)時(shí)變時(shí)滯Lurie控制系統(tǒng)

(10)

其中系數(shù)矩陣等條件均與Lurie系統(tǒng)(1)同。

閉環(huán)系統(tǒng)為

(11)

由定理1、定理2可分別推出如下推論, 證略。

其中

其中

注1 該狀態(tài)反饋控制器可以設(shè)計(jì)為記憶的[5-8], 亦可以設(shè)計(jì)為輸入倒數(shù)比例反饋形式[6-8]。

注2 系統(tǒng)控制器甚至可以設(shè)計(jì)成輸出狀態(tài)反饋控制器, 理論推導(dǎo)均與定理1方法類似[9-11], 以上情況均同。

5 結(jié) 語

筆者在絕對(duì)穩(wěn)定性定理基礎(chǔ)上, 應(yīng)用反饋環(huán)節(jié)變換, 分別求出了使Lurie閉環(huán)系統(tǒng)在時(shí)滯依賴和獨(dú)立兩種情形下絕對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制律。得出了在扇形區(qū)域[V1,V2]內(nèi)的時(shí)滯依賴和獨(dú)立兩種情況下狀態(tài)反饋控制器。

筆者是繼文獻(xiàn)[1]Lurie系統(tǒng)穩(wěn)定性分析后, 進(jìn)行的控制器設(shè)計(jì)后期理論研究。對(duì)于時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)Lurie系統(tǒng), 就目前文獻(xiàn)研究資料, 報(bào)道較少。文獻(xiàn)[1]連同本文創(chuàng)新點(diǎn)在于, 研究了時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)以及魯棒控制下的Lurie系統(tǒng)穩(wěn)定與鎮(zhèn)定問題, 所涉及的系統(tǒng)是綜合性的非線性環(huán)節(jié)的Lurie控制系統(tǒng), 涵蓋了時(shí)滯、不確定性以及奇異攝動(dòng)等, 該結(jié)果可以對(duì)非線性系統(tǒng)相應(yīng)理論的進(jìn)一步研究奠定理論基礎(chǔ)。

筆者所提方法不需要系統(tǒng)降階技術(shù)、系統(tǒng)分解, 可適用于標(biāo)準(zhǔn)和非標(biāo)準(zhǔn)情形, 可以為其他相關(guān)方向, 如H2、H∞控制提供理論參考。