云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 (郵編：650092)

1 原題重現(xiàn)

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

所以an=n-2或an=-n.

所以{an}的通項(xiàng)公式為an=n-2或an=-n，n∈N+.

(Ⅱ)當(dāng)an=n-2時(shí)，易知{an}為等差數(shù)列，且a1=-1.

當(dāng)an=-n，易知{an}為等差數(shù)列，且a1=-1.

以上為原題及參考答案，事實(shí)上幾乎所有考生在答卷上也是這樣做的.乍看題目及答案都很完美,真的是這樣嗎?

2 錯(cuò)因分析

下面先研究幾個(gè)簡(jiǎn)單，但形似而質(zhì)異的問題,以便幫助發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的原因.

例2 解方程(x-1)(x-2)=0.

解這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的一元二次方程，顯然，方程有兩個(gè)解，即x=1或x=2.方程的解集為{1,2}，是一個(gè)二元集.

例3 解關(guān)于x的方程(x-n)(x-2n)=0，n∈N+.

解這同樣是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的一元二次方程(只不過方程中含有參數(shù)n).所以，方程有兩個(gè)解，即x=n或x=2n.因?yàn)閚≠2n，所以方程的解集為{n,2n}，是一個(gè)二元集.

有人認(rèn)為：由于n可以取任意一個(gè)正整數(shù)，所以解集{n,2n}實(shí)際上就是正整數(shù)集，從而任何一個(gè)正整數(shù)都是方程的解.這樣的認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的.事實(shí)上，雖然n取不同的值時(shí)其解集也有所不同，但在這里要?jiǎng)又杏徐o，應(yīng)把n看成是“常數(shù)”；另一方面，從方程角度看，既然這是一個(gè)關(guān)于x的二次方程，它的解當(dāng)然最多只能有2個(gè)，而不可能是無(wú)數(shù)個(gè).

例4 求x，使得方程(x-n)(x-2n)=0對(duì)任意正整數(shù)n都成立.

錯(cuò)解有人認(rèn)為答案就是x=n或x=2n，即例4同例3是同一問題.

顯然此方程組無(wú)解. 所以不存在x，使得方程(x-n)(x-2n)=0對(duì)一切n∈N+都成立.

例5 求x，使得方程(x-n)(x-2)=0對(duì)任意正整數(shù)n都成立.

例6 已知數(shù)列{an}滿足(an-n)(an-2n)=0，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n或an=2n，n∈N+.

有人認(rèn)為：例6同例4結(jié)構(gòu)相同，特別地，若把例6中的符號(hào)“an”看成例4中的符號(hào)“x”，則例6同例4就完全一樣，因此答案也應(yīng)該相同，即無(wú)解.這樣的認(rèn)識(shí)問題出在哪里？實(shí)際上，在數(shù)學(xué)中符號(hào)“an”具有特別的含義，它是數(shù)列{an}的通項(xiàng)，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)函數(shù)an=f(n)，因此不能把符號(hào)“an”看成平凡的符號(hào)“x”.本質(zhì)上，(an-n)(an-2n)=0是一個(gè)函數(shù)(數(shù)列)方程，通過解該方程，求出來(lái)的an要對(duì)一切正整數(shù)n使得(an-n)(an-2n)=0恒成立.

例7 已知數(shù)列{an}(1≤n≤3)滿足(an-n)(an-2n)=0，求數(shù)列{an}的個(gè)數(shù).

錯(cuò)解數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n或an=2n，n∈N+，1≤n≤3.

所以滿足要求的數(shù)列{an}共有2個(gè)，它們分別是an=n，n∈N+，1≤n≤3；an=2n，n∈N+，1≤n≤3.

上述解答看起來(lái)簡(jiǎn)單明了，可卻是錯(cuò)誤的，問題在哪里？

正解事實(shí)上，例7題目的含義為：求an，使得對(duì)于從1到3的每一個(gè)正整數(shù)n，都有(an-n)(an-2n)=0成立.

所以an=n或an=2n，n∈N+，1≤n≤3.①

①式所表達(dá)的意思是：對(duì)于從1到3的每一個(gè)正整數(shù)n，只要an=n和an=2n中至少有一個(gè)成立即可.又因?yàn)閚≠2n，所以數(shù)列{an}中的每一項(xiàng)都有兩種可能的取值，既可以從an=n中取，也可以從an=2n中取.即n=1時(shí)，an既可以取1，也可以取2；n=2時(shí)，an既可以取2，也可以取4；n=3時(shí)，an既可以取3，也可以取6；從而數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)就有23=8個(gè).即以下8個(gè)數(shù)列都滿足題意：1,2,3； 2,2,3；1,4,3；1,2,6；2,4,6；1,4,6；2,2,6；2,4,3.借助圖象可以更好理解問題的實(shí)質(zhì)：對(duì)于取定的n值，其縱向上有兩個(gè)點(diǎn)(一個(gè)是圓點(diǎn)，另一個(gè)是方格點(diǎn))，an的值可以是這兩個(gè)點(diǎn)中任意一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo).

小結(jié)例2是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的一元二次方程問題，其解集為二元集{1,2}；例3是個(gè)含參數(shù)的一元二次方程問題，其解集為二元集{n,2n}；例4、例5是方程恒成立問題，其本質(zhì)為解一元二次方程組，其中例4的解集是空集?，例5的解集是單元素集{2}；例6、例7盡管也是恒成立問題，但例6、例7是(數(shù)列)函數(shù)方程，因此要用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看待，即“an”是隨著n變化而變化的函數(shù).因此它們的求解并非像例4、例5那樣去解方程組；例7中滿足題意的an為①式,但滿足題意的數(shù)列的個(gè)數(shù)不是2個(gè)，而是8個(gè)，這是例7與例3不同的地方.

3 對(duì)例1中錯(cuò)誤的分析

根據(jù)上述錯(cuò)因分析可知，例1中，(Ⅰ)的解答是正確的，即{an}的通項(xiàng)公式為an=n-2或an=-n，n∈N+.但其含義為數(shù)列{an}中的每一項(xiàng)都有兩種可能的取值，既可以從an=-n中取，也可以從an=2n中取，因此滿足題意的數(shù)列{an}有無(wú)數(shù)個(gè).從而問題(Ⅱ) 求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，就變成了要去分別求無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和了，這顯然是不可能完成的.從這個(gè)意義上說(shuō)，例1本身就是道錯(cuò)題.

4 類似的含“或”字恒成立易錯(cuò)題

例8 已知不等式|3x-a|>2x-4對(duì)x∈[0,2)恒成立，求a的取值范圍.

錯(cuò)解原不等式轉(zhuǎn)化為3x-a<4-2x對(duì)x∈[0,2)恒成立，或3x-a>2x-4對(duì)x∈[0,2)恒成立.

所以a>5x-4對(duì)x∈[0,2)恒成立，或a

所以a≥6，或a<4.

故a的取值范圍是(-∞,4)∪[6,+∞).

錯(cuò)解的原因參見例9.

正解注意到當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，2x-4<0.

又因?yàn)閨3x-a|≥0顯然成立，所以a可以取任意實(shí)數(shù)，即a的取值范圍為(-∞,+∞).

例9 已知命題p：任給實(shí)數(shù)x，恒有|x|>-2成立；命題q：任給實(shí)數(shù)x，恒有x<2或x>-2成立.命題r：任給實(shí)數(shù)x，恒有x<2成立，或任給實(shí)數(shù)x，恒有x>-2成立.判斷p、q、r的真假.

解容易知道p是真命題.

任給實(shí)數(shù)x，對(duì)于x<2和x>-2，至少有一個(gè)是成立的，所以命題q是真命題.

因?yàn)椤叭谓o實(shí)數(shù)x，恒有x<2成立”是假命題；“任給實(shí)數(shù)x，恒有x>-2成立”也是假命題.根據(jù)邏輯中的或取規(guī)則“兩假便假”，可知r是假命題.

值得注意的是：p是簡(jiǎn)單命題；理解q時(shí)，務(wù)必要把“x<2或x>-2”看成一個(gè)整體；命題p等價(jià)于命題q；r是復(fù)合命題；q與r并不等價(jià).

例10 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足|f(-x)|=|f(x)|，判斷f(x)的奇偶性.

錯(cuò)解由題意得f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，

即對(duì)于R內(nèi)的任意一個(gè)x都有f(-x)=f(x)成立，或?qū)τ赗內(nèi)的任意一個(gè)x都有f(-x)=f(x)成立.

所以f(x)是奇函數(shù)，或者是偶函數(shù).

正解題意為對(duì)于R內(nèi)的任意一個(gè)x，都有|f(-x)|=|f(x)|.

即對(duì)于R內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立，

也即對(duì)于R內(nèi)的任意一個(gè)x，f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)至少有一個(gè)成立即可，其含義為當(dāng)自變量x取相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值在相等、相反、既相等又相反(此時(shí)函數(shù)值為0)三種情況中至少滿足一種.

所以f(x)可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)，也可能是既奇又偶函數(shù)，也可能是非奇非偶函數(shù).

5 總結(jié)

恒成立問題，與一般的解方程、解不等式問題很容易混淆，但它們是兩類不同性質(zhì)的問題.特別地，含“或”的恒成立問題：“?x∈M,p(x)∨q(x) ”并不等價(jià)于“?x∈M,p(x)或?x∈M,q(x) ”.前者的含義為：對(duì)于M中的任意一個(gè)x，p(x)和q(x)中至少有一個(gè)成立；后者的含義為：對(duì)于M中的任意一個(gè)x，p(x)都成立，或者對(duì)于M中的任意一個(gè)x，q(x)都成立. 顯然，前者推不出后者，但后者可以推出前者.

數(shù)列方程與一般的方程在意義上有所不同.如數(shù)列方程an=n實(shí)際上是函數(shù)，其表示數(shù)列1,2,3,4，…；而方程x=n是一個(gè)平凡的方程，表示x就等于n.

含“或”字的數(shù)列方程與含“或”字的一般方程在解的個(gè)數(shù)上也是不同的.如由方程(x-n)(x-2n)=0，n∈N+，解得x=n或x=2n，方程的解集為{n,2n}，是2個(gè)元素的集合；而數(shù)列{an}滿足(an-n)(an-2n)=0，解得an=n或an=2n，此時(shí)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)，既可以取n，也可以取2n，因此滿足要求的數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)有無(wú)窮多.