浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中學(xué) (郵編：312050)

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說(shuō)過(guò)“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”．對(duì)問(wèn)題進(jìn)行研究是教師的一項(xiàng)基本功．通過(guò)研究，挖掘其隱含的問(wèn)題的本質(zhì)，獲得豐富的教學(xué)資源．這樣做，不僅能提高教師自身的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)，還有利于開(kāi)闊學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力．現(xiàn)以2019年5月柯橋區(qū)中考適應(yīng)性九年級(jí)數(shù)學(xué)的一道填空題為例，對(duì)其解法方法進(jìn)行探究，愿與大家共同分享．

1 試題呈現(xiàn)

圖1

本題源于2018年山東省濱州市的一道中考填空題，此題雖內(nèi)容平實(shí)、條件簡(jiǎn)潔，但內(nèi)涵深刻，學(xué)生深感望“題”興嘆．據(jù)此，筆者細(xì)研此題，發(fā)現(xiàn)此題切入點(diǎn)多，方法多樣，給學(xué)生留有較大的思維空間，可以呈現(xiàn)出不同的解題方法．現(xiàn)把此題的幾種常規(guī)解題思路整理成文，以期待同行的指正．

2 思路分析

思路1 注意到∠EAF=45°，構(gòu)造“一線三等角”全等模型

圖2

圖3

圖4

圖5

評(píng)注抓住核心條件“45°”這個(gè)角，從多角度構(gòu)造“一線三等角”模型是形成上述思路的關(guān)鍵．解法1運(yùn)用“全等+平行線分線段成比例”，解法2、3、4運(yùn)用“全等+相似三角形”，這些都是解決問(wèn)題的常用方法，應(yīng)引起足夠的重視．

思路2 注意到∠EAF=45°，構(gòu)造正方形中的“半角模型”

圖6

圖7

評(píng)注抓住核心條件“45°”這個(gè)角，由平時(shí)積累的解題經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合該矩形鄰邊的特定的關(guān)系——2倍長(zhǎng)，自然聯(lián)想到將長(zhǎng)方形中的45°角轉(zhuǎn)化為正方形中的“半角模型”，借助此模型的相關(guān)結(jié)論解決問(wèn)題．由此可見(jiàn)，若眼中有“形”，手中有“數(shù)”，心中建“?！保瑒t解法自然來(lái)．

思路3 注意到∠EAF=45°，構(gòu)造“一線三等角”相似模型

圖8

圖9

評(píng)注抓住核心條件“45°”這個(gè)角，構(gòu)造出“一線三等角”的相似三角形模型，不過(guò)這個(gè)基本圖形需要平時(shí)深度研究，考生才能在緊張的考場(chǎng)上實(shí)現(xiàn)有效的遷移．此法也是十分常見(jiàn)的一種重要構(gòu)造方法，一旦悟透，解決問(wèn)題顯得簡(jiǎn)潔、快捷．當(dāng)然，此題也可分別延長(zhǎng)DA、AD至點(diǎn)M、N，使得∠ANF=∠EMA=∠EAF=45°，用類(lèi)似方法解決問(wèn)題，具體過(guò)程留給有興趣的讀者思考．

思路4 運(yùn)用割、湊，構(gòu)造相似三角形

圖10

圖11

評(píng)注抓住核心條件“45°”這個(gè)角，構(gòu)造出“一線三等角”的相似三角形模型．解法9側(cè)重于割“45°”這個(gè)角構(gòu)造相似三角形，解法10側(cè)重于有“45°”這個(gè)角，再湊出兩個(gè)45°角而得到相似三角形．當(dāng)然這需要認(rèn)真觀察，化“無(wú)形”為“有形”，樹(shù)立起“有模型找模型，無(wú)模型造模型”的解題意識(shí)，做到會(huì)善于變通、善于轉(zhuǎn)化．

思路5 構(gòu)造“A”型和 “8”字型的相似三角形

圖12

評(píng)注抓住核心條件“45°”這個(gè)角，通過(guò)延長(zhǎng)AF構(gòu)造出等腰直角三角形，然后借助“8”字型(△ABE∽△GHE)和“A”型(△ABG∽△FCG)的相似三角形而獲解．可以看出，通過(guò)“45°”這個(gè)角的中介作用，揭示了命題中條件與隱含條件、結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，為尋求解題途徑指明了方向．

思路6 用面積關(guān)系建立方程

圖13

評(píng)注面積法在初中數(shù)學(xué)各模塊的知識(shí)中都有所涉及，此題正是注意到圖形的特殊性，利用面積的兩種表示方法建立方程，使一道難題變得清晰、透明，令人拍案叫絕．有時(shí)面積法還可以解決網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)問(wèn)題、求線段的長(zhǎng)等問(wèn)題．由此可見(jiàn)，面積法也是一種解決問(wèn)題的通性、通法，應(yīng)當(dāng)予以重視．

思路7 運(yùn)用旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造共點(diǎn)雙垂直

圖14

評(píng)注當(dāng)題目中出現(xiàn)45°或90°特殊角時(shí)，聯(lián)想到“共點(diǎn)雙垂直”模型，由此通過(guò)旋轉(zhuǎn)可得等腰三角形，從而得到△EAF≌△HAF，再借助勾股定理建立方程，求解也就順理成章了．由此可見(jiàn)，采用“旋轉(zhuǎn)”策略，是通過(guò)對(duì)題目的深入分析，或聯(lián)想，或轉(zhuǎn)化，挖掘知識(shí)模塊內(nèi)蘊(yùn)的思想方法，是一種經(jīng)驗(yàn)的“噴薄”．讓人不禁感嘆，幾何構(gòu)造之神奇，“旋一旋”出精彩．

思路8 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，建立直角坐標(biāo)系

圖15

評(píng)注解答此題的關(guān)鍵是采用數(shù)形結(jié)合的思想．若考生對(duì)題目的特殊性(如90°角)進(jìn)行多觀察、多思量，就能迸發(fā)出建立坐標(biāo)系的解題思路．一旦找到了解題的切口，再采用旋轉(zhuǎn)，結(jié)合“中點(diǎn)坐標(biāo)公式”求出AF的解析式，用函數(shù)解決計(jì)算問(wèn)題便會(huì)水到渠成，就能取得令人驚喜的效果．

思路9 運(yùn)用平時(shí)積累的公式，構(gòu)造基本圖形求解

圖16

這個(gè)結(jié)論，其實(shí)可借助圖16的網(wǎng)格進(jìn)行直觀證明，此處不再贅述．基于此，我們可得到下列思路：

評(píng)注本解法是通過(guò)一個(gè)常見(jiàn)結(jié)論的中介作用，揭示了命題中條件與隱含條件、結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，為尋求解題途徑指明了方向，使問(wèn)題的解法簡(jiǎn)單流暢、別具一格．由此可見(jiàn)，一些優(yōu)秀學(xué)生通過(guò)自己的自學(xué)、吸收、內(nèi)化，積累一些先進(jìn)的“武器”，為自己擅長(zhǎng)的方式構(gòu)思或?qū)で蠼鉀Q問(wèn)題的方法貯存能量，是一種經(jīng)驗(yàn)的“噴薄”，做到該出手時(shí)就出手．

3 解法實(shí)踐

親愛(ài)的讀者，你看了以上的幾種解法，是不是產(chǎn)生了一種躍躍欲試的沖動(dòng)，那你就動(dòng)起筆來(lái)，思考、挑戰(zhàn)一下兩道變式題吧．

圖17

變式1 如圖17，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E為CD上一點(diǎn)，且∠BAE=45°，若CD=4，則△ABE的面積為( )

圖18

變式2 如圖18，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+m分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C(2，0)．設(shè)點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，連結(jié)PA、PC，若∠CPA=∠ABO，則m的值是．

聰明的讀者，上面的兩道變式題，你能運(yùn)用哪些方法求解？一題多解，比較解法的優(yōu)劣；多解一題，領(lǐng)略解法的真諦；多解歸一，感悟數(shù)學(xué)的魅力．這就要我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，在總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、掌握通式和通法的基礎(chǔ)上，要多引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題目的特點(diǎn)一題多解，一題多變，一圖多思，拓寬思路，幫助學(xué)生在變式訓(xùn)練中，發(fā)展思維的靈活性和發(fā)散性．“解一題，會(huì)一類(lèi)，通一片”，讓學(xué)生由此及彼，并感悟出同類(lèi)問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)，使得學(xué)生下次再碰到類(lèi)似問(wèn)題時(shí)能快速找到切入點(diǎn)，順利貫通思路，提升解題能力的同時(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)洞察力，訓(xùn)練思維的深度，讓一題多解成就精彩，讓課堂高效起來(lái)，讓學(xué)生在考場(chǎng)中能有一種經(jīng)驗(yàn)的“噴薄” ．