米絲蕊 李星云

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）明確規(guī)定“圖形與幾何”是小學(xué)數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，并分學(xué)段提出了小學(xué)生應(yīng)達(dá)到的學(xué)習(xí)目標(biāo)?！稑?biāo)準(zhǔn)》對(duì)幾何內(nèi)容的定位，凸顯了幾何學(xué)習(xí)的重要性。幾何學(xué)習(xí)注重在觀察圖形的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維。探究小學(xué)生幾何思維發(fā)展現(xiàn)狀，分析小學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)過(guò)程中面臨的問(wèn)題，同時(shí)提出相應(yīng)的幾何思維發(fā)展策略，對(duì)于發(fā)展小學(xué)生的幾何思維具有重要意義。

一、幾何思維的內(nèi)涵

（一）幾何思維的定義

幾何思維作為數(shù)學(xué)思維的一種，是眾多學(xué)者關(guān)注的對(duì)象，但是當(dāng)前對(duì)幾何思維并沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的概念界定。有學(xué)者認(rèn)為，幾何思維簡(jiǎn)單來(lái)看就是指學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)活動(dòng)中的形象思維;[1]還有的學(xué)者認(rèn)為，幾何思維是個(gè)體處理抽象幾何問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)定理的一個(gè)過(guò)程，在這一過(guò)程中包含了分析、推理、歸納等多種心智操作，所以幾何思維是一種科學(xué)的思維方法。[2]綜合而言，筆者認(rèn)為，幾何思維是以幾何圖形為符號(hào)語(yǔ)言，通過(guò)對(duì)幾何對(duì)象的直接感知來(lái)構(gòu)建幾何知識(shí)，從而解決幾何問(wèn)題的思維過(guò)程。

（二）幾何思維的主要數(shù)學(xué)思想

1.抽象思想

抽象思想不僅包含于代數(shù)思維，也是幾何思維中的主要數(shù)學(xué)思想。抽象的核心在于將實(shí)物的外部形象通過(guò)線條在二維平面上描繪出來(lái)。在幾何知識(shí)學(xué)習(xí)中，我們通常用“點(diǎn)”表示“位置”，比如地圖上城市的坐標(biāo)點(diǎn);用“線段”表示“路徑”。所以，點(diǎn)是位置的抽象表示，線段是路徑的抽象表示。例如，一張凳子有高度和寬度，這些信息反映在我們的腦海中，便形成了抽象的幾何圖形。

2.分類思想

運(yùn)用幾何思維解決幾何問(wèn)題，通常需要進(jìn)行分類、歸納，因而分類思想也是幾何思維中的主要數(shù)學(xué)思想之一。在小學(xué)階段，我們常常會(huì)遇到分類的問(wèn)題，如角或三角形的分類。其實(shí)，分類的過(guò)程就是抽象出事物共性特征的過(guò)程。分類首先需要確認(rèn)分類標(biāo)準(zhǔn)，然后進(jìn)行辨認(rèn)，如正方體、圓柱體、球就是類型不同的三種幾何體，而圓、正方形、三角形也是類型不同的三種平面圖形。

3.轉(zhuǎn)化思想

所謂轉(zhuǎn)化，就是將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使問(wèn)題得以解決。一般來(lái)說(shuō)，轉(zhuǎn)化有三個(gè)基本要素，即轉(zhuǎn)化的對(duì)象、目標(biāo)和方法。以曹沖稱象的故事為例，轉(zhuǎn)化對(duì)象是大象的重量，轉(zhuǎn)化目標(biāo)是石頭的重量，轉(zhuǎn)化方法是在兩艘船分別裝大象和石頭，使得兩艘船沒(méi)入水中的深度一樣，最后稱出石頭的重量，就能得出大象的體重。運(yùn)用幾何思想解決幾何問(wèn)題也時(shí)常用到轉(zhuǎn)化的思想，如將圓柱體的表面積轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的面積，將圓錐的體積轉(zhuǎn)化為圓柱的體積等。

4.數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究中的兩個(gè)重要對(duì)象，數(shù)形結(jié)合思想作為幾何思維的重要數(shù)學(xué)思想，主要通過(guò)“以數(shù)解形”的形式來(lái)體現(xiàn)。例如，在周長(zhǎng)相等的圓、正方形、長(zhǎng)方形、三角形中，誰(shuí)的面積最大？誰(shuí)的面積最??？?jī)H憑直觀很難判斷，這就需要借助字母公式來(lái)計(jì)算，得出計(jì)算結(jié)果后歸納得出“周長(zhǎng)一定的平面圖形中，圓的面積最大”的一般規(guī)律。

（三）幾何思維與算術(shù)思維、代數(shù)思維的區(qū)別與聯(lián)系

幾何思維與算術(shù)思維、代數(shù)思維都是學(xué)生在解決不同數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中需要用到的思維方式。這三種數(shù)學(xué)思維方式既有區(qū)別又相互聯(lián)系，區(qū)別主要在三個(gè)方面。第一，對(duì)象不同。幾何思維的主要對(duì)象是幾何圖形;算術(shù)思維的對(duì)象主要是數(shù)及數(shù)的運(yùn)算，且數(shù)是常量;代數(shù)思維的對(duì)象主要是代數(shù)式及其運(yùn)算，且代數(shù)式屬于變量。第二，思維側(cè)重點(diǎn)不同。幾何思維注重對(duì)幾何圖形的抽象、轉(zhuǎn)化;算術(shù)思維側(cè)重通過(guò)運(yùn)算得出正確答案;代數(shù)思維側(cè)重對(duì)關(guān)系進(jìn)行符號(hào)化。第三，思維過(guò)程的特征不同。學(xué)生運(yùn)用幾何思維解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，需要觀察與想象，所以，思維方式帶有發(fā)現(xiàn)性、猜想性;算術(shù)思維則是按照一定的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，整個(gè)思維過(guò)程帶有程序性;代數(shù)思維則帶有結(jié)構(gòu)性。

幾何思維與算術(shù)思維、代數(shù)思維看似不同，實(shí)則有著緊密的聯(lián)系，表現(xiàn)為：一方面，在解決幾何問(wèn)題過(guò)程中，特別是到了第二學(xué)段，學(xué)生需要掌握正方體、長(zhǎng)方體、圓柱體的表面積及體積的計(jì)算方法，在解決這一類幾何問(wèn)題時(shí)需要用到算術(shù)思維與代數(shù)思維;一方面，低年級(jí)學(xué)生解決加減等運(yùn)算時(shí)，可能需要借助幾何思維，通過(guò)想象使問(wèn)題直觀化，這一過(guò)程也是對(duì)學(xué)生幾何思維的鍛煉。

幾何思維、算術(shù)思維、代數(shù)思維這三者雖然存在區(qū)別，但在一定程度上則是彼此依存，相輔相成，互相促進(jìn)的。

二、小學(xué)生幾何思維發(fā)展水平與特征及在幾何學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題

國(guó)內(nèi)外已有較多學(xué)者對(duì)兒童的幾何思維進(jìn)行了研究，其中荷蘭學(xué)者范·希爾夫婦的研究成果最為著名，他們提出了學(xué)生幾何思維發(fā)展的五個(gè)水平層級(jí)。此后，又有學(xué)者補(bǔ)充了一個(gè)更低的水平層級(jí)，即水平層級(jí)0。

（一）小學(xué)生幾何思維發(fā)展水平與特征

結(jié)合小學(xué)生思維發(fā)展特點(diǎn)，小學(xué)生幾何思維的發(fā)展主要處于0—3這四個(gè)階段，如下表所示。[3]

處于水平層級(jí)0的學(xué)生能夠區(qū)分直線圖形和曲線圖形，如正方形與圓，但是在區(qū)分長(zhǎng)方形與正方形時(shí)會(huì)存在困難。同時(shí)，處于該水平層級(jí)的學(xué)生在面對(duì)給定的一個(gè)圖形時(shí)，大部分不能重構(gòu)一個(gè)與其性質(zhì)相同的圖形，所以，處于這一水平層級(jí)的學(xué)生的思維需要依賴具體形象;處于水平層級(jí)1的學(xué)生能夠借助“正方形像方紙巾，長(zhǎng)方形像黑板”這樣的認(rèn)知來(lái)區(qū)分正方形與長(zhǎng)方形，但這種區(qū)分方式僅限于圖形的形狀，因此，對(duì)他們來(lái)說(shuō)，區(qū)分正方形與正方體難度較大，不能清晰地了解圖形的性質(zhì)。大部分一年級(jí)學(xué)生能夠達(dá)到水平層級(jí)1。

隨著年齡的增長(zhǎng)與所學(xué)知識(shí)的增加，大部分三年級(jí)學(xué)生能夠達(dá)到水平層級(jí)2，能夠依據(jù)“角有一個(gè)尖尖的頂點(diǎn)和兩條直直的邊”這一特征來(lái)識(shí)別角，并對(duì)角進(jìn)行分類，如直角、銳角、鈍角。這一階段的學(xué)生在一定程度上弱化了直觀因素，性質(zhì)因素得到強(qiáng)化，但在理解“正方形是特殊的長(zhǎng)方形”這一知識(shí)點(diǎn)時(shí)存在較大難度。學(xué)生進(jìn)入第二學(xué)段，部分學(xué)生開(kāi)始達(dá)到水平層級(jí)3，能夠逐漸理解“正方形是被附加某些性質(zhì)的長(zhǎng)方形”，能夠根據(jù)圖形的性質(zhì)對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合，如任何一個(gè)四邊形可以被分解為兩個(gè)三角形。但處于這個(gè)水平層級(jí)的學(xué)生還不能很好地認(rèn)識(shí)到證明、定理的重要性。

可見(jiàn)，小學(xué)生幾何思維的發(fā)展具有一定的次序性和階段性，整個(gè)思維發(fā)展水平呈螺旋上升趨勢(shì)。

（二）小學(xué)生幾何學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題

范·希爾夫婦提出，學(xué)生從一個(gè)水平層級(jí)進(jìn)入到下一個(gè)水平層級(jí)并不完全依賴年歲的增長(zhǎng)，主要還在于自身的學(xué)習(xí)與他人的教導(dǎo)?？梢?jiàn)，幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)對(duì)于促進(jìn)小學(xué)生幾何思維的發(fā)展具有重要作用。受認(rèn)知水平、已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)等因素影響，當(dāng)前小學(xué)生在幾何知識(shí)學(xué)習(xí)中主要存在以下幾個(gè)問(wèn)題。

1.相近概念易混淆

圖形分類是小學(xué)幾何知識(shí)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容。學(xué)生在理解兩個(gè)互不交叉的集合時(shí)比較容易，但當(dāng)兩個(gè)集合之間存在交叉，其認(rèn)知就容易進(jìn)入誤區(qū)，比如在面對(duì)“正方體是特殊的長(zhǎng)方體”這一問(wèn)題時(shí)常常產(chǎn)生困惑。因?yàn)檎襟w與長(zhǎng)方體各有特點(diǎn)，但正方體具備了長(zhǎng)方體的某些特征，所以學(xué)生容易混淆，以至于在解決問(wèn)題時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)。

2.動(dòng)手操作能力較差

小學(xué)階段的幾何知識(shí)學(xué)習(xí)不僅要求學(xué)生理解相關(guān)的概念、性質(zhì)，而且要求學(xué)生掌握基本的畫(huà)圖技能。在學(xué)習(xí)中，學(xué)生通?？梢暂^好地理解概念的表層意思，能夠根據(jù)性質(zhì)做出判斷，但在動(dòng)手操作時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，這種現(xiàn)象在平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)的學(xué)習(xí)中表現(xiàn)尤為突出，特別是90°旋轉(zhuǎn)的操作最容易出錯(cuò)。

3.幾何概念過(guò)于抽象導(dǎo)致理解困難

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何知識(shí)過(guò)程中往往會(huì)碰到抽象的數(shù)學(xué)概念，且在生活中難以找到原型，學(xué)生在理解時(shí)存在難度。比如學(xué)習(xí)直線與射線，其“無(wú)限延伸”的特性缺乏實(shí)際參照，教師也無(wú)法提供完整的操作模型，學(xué)生的學(xué)習(xí)主要以現(xiàn)實(shí)依托為主。同時(shí)，人們常把生活中“直的線”稱作直線，且生活中“直線”的長(zhǎng)度有限，這也給學(xué)生的理解帶來(lái)障礙。此外，直線、射線在紙上只能畫(huà)出一部分，學(xué)生很容易將其與線段相混淆，加上空間想象力不足，在理解這一類抽象的數(shù)學(xué)概念時(shí)就更難了。

4.受視覺(jué)直觀影響出現(xiàn)認(rèn)知偏差

受認(rèn)知方式的影響，小學(xué)生在認(rèn)識(shí)圖形過(guò)程中習(xí)慣依賴視覺(jué)直觀，導(dǎo)致觀察出現(xiàn)認(rèn)知偏差。在學(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)角”這一內(nèi)容時(shí)，大部分學(xué)生認(rèn)為“線越長(zhǎng)，角越大;線越短，角越小”。產(chǎn)生這一錯(cuò)誤認(rèn)知的主要原因是，學(xué)生受視覺(jué)直觀影響，導(dǎo)致根據(jù)線的長(zhǎng)短判斷角的大小，實(shí)則是在判斷圖形的大小。所以，小學(xué)生依據(jù)視覺(jué)直觀理解幾何知識(shí)，容易受視覺(jué)直觀的影響而忽略了知識(shí)本身的特性。

三、小學(xué)生幾何思維的發(fā)展策略

范·希爾夫婦認(rèn)為，學(xué)生需要在教師的正確引導(dǎo)下才能不斷地超越自己已有的認(rèn)知水平，從而達(dá)到新的認(rèn)知高度，但如果教學(xué)中使用的教材內(nèi)容、教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)用具均高于學(xué)生已有的水平層次，那么學(xué)生很難完整地理解教師教授的知識(shí)，也不利于學(xué)生幾何思維的發(fā)展。因此，在幾何知識(shí)教學(xué)中，教師可從以下幾個(gè)方面培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何思維。

（一）科學(xué)測(cè)評(píng)學(xué)生幾何思維所處水平層級(jí)，了解學(xué)生的差異

幾何知識(shí)教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生幾何思維能力的重要手段。教師在展開(kāi)教學(xué)之前要了解學(xué)生個(gè)體幾何思維發(fā)展所處的水平層級(jí)以及班級(jí)學(xué)生幾何思維的整體情況，并以此作為教學(xué)設(shè)計(jì)的依據(jù)，使教學(xué)更具針對(duì)性。教師可以編制幾何思維測(cè)試題，測(cè)評(píng)學(xué)生的幾何思維水平。這種測(cè)評(píng)可以在同年級(jí)進(jìn)行，也可以在不同學(xué)段、不同學(xué)校進(jìn)行，以此確定一個(gè)較為合理的評(píng)價(jià)基準(zhǔn)。通過(guò)測(cè)評(píng)，教師可以了解學(xué)生的差異，設(shè)計(jì)個(gè)性化的教學(xué)，滿足不同水平層次的學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，從而發(fā)展學(xué)生的幾何思維。

（二）在教學(xué)中滲透幾何思維的培養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生的思維潛能

1.重視分析，讓思維更清晰

幾何思維是一個(gè)包含了分析、推理、歸納等多種心智活動(dòng)的過(guò)程。教師通過(guò)分析幾何問(wèn)題中的隱蔽條件，能夠進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生幾何思維的清晰度，使學(xué)生更好地掌握幾何性質(zhì)。例如，理解“正方體是特殊的長(zhǎng)方體”這一難點(diǎn)知識(shí)時(shí)，教師可以先提出問(wèn)題，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察正方體與長(zhǎng)方體的特征。學(xué)生通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，正方體與長(zhǎng)方體同樣可以將12條棱分為互相平行的3組，且每組4條棱的長(zhǎng)度相等，相對(duì)面的面積相等。有的學(xué)生會(huì)問(wèn)：正方體6個(gè)面均為面積相等的正方形，且12條棱長(zhǎng)度相等，但長(zhǎng)方體就沒(méi)有這些特征。對(duì)此，教師可以順勢(shì)給出結(jié)論：這恰恰說(shuō)明正方體符合長(zhǎng)方體的特征，所以，它是長(zhǎng)方體且是一個(gè)特殊的長(zhǎng)方體。從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)正確地觀察和分析。

2.加強(qiáng)辨析，讓思維更深刻

數(shù)學(xué)思維的深刻性是指數(shù)學(xué)活動(dòng)的抽象程度、邏輯水平以及思維活動(dòng)的深度。它是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的重要基礎(chǔ)，影響著一個(gè)人思維水平的發(fā)展。幾何思維作為數(shù)學(xué)思維的一種，在培養(yǎng)過(guò)程中應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生的辨析能力，通過(guò)辨析對(duì)幾何圖形進(jìn)行分類歸納，從而抽象出幾何圖形的本質(zhì)特征。例如，理解平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等內(nèi)容時(shí)，學(xué)生容易混淆，教師要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)不同的現(xiàn)象進(jìn)行辨析與歸納，總結(jié)出平移、對(duì)稱的本質(zhì)特征，最后形成正確的認(rèn)知。

3.關(guān)注操作，讓思維可實(shí)踐

小學(xué)生主要以形象思維為主，很多學(xué)生理解幾何知識(shí)仍停留在表面，在具體的實(shí)踐操作中就會(huì)出現(xiàn)各種問(wèn)題。這就要求教師在教學(xué)中不僅要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平，采用直觀形象的教學(xué)方式，還要關(guān)注學(xué)生的實(shí)際操作，增強(qiáng)學(xué)生幾何思維的可實(shí)踐性。例如，理解平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)這一難點(diǎn)知識(shí)，在學(xué)生掌握了操作步驟之后，教師再引導(dǎo)學(xué)生操作，在操作中不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并有針對(duì)性地解決問(wèn)題。教師還要通過(guò)多次練習(xí)，加深學(xué)生對(duì)幾何作圖操作要領(lǐng)的印象，幫助學(xué)生建立相應(yīng)的空間觀念。

4.注重反思，讓思維更嚴(yán)密

小學(xué)幾何教學(xué)主要是通過(guò)直觀教學(xué)幫助學(xué)生獲取幾何知識(shí)，發(fā)展幾何思維。小學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)知主要通過(guò)直觀感受獲得，較少學(xué)生能夠進(jìn)行推理或證明。因?yàn)橐揽恳曈X(jué)直觀容易出現(xiàn)認(rèn)知偏差，所以教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)反思，增強(qiáng)學(xué)生幾何思維的嚴(yán)密度。例如，學(xué)習(xí)“角的認(rèn)識(shí)”時(shí)，有的學(xué)生可能僅僅通過(guò)視覺(jué)直觀便得出“線越長(zhǎng)，角越大”的錯(cuò)誤認(rèn)知，為此，教師要引導(dǎo)學(xué)生反思：真的是線越長(zhǎng)角越大嗎？同時(shí)給出兩個(gè)角度相同，邊長(zhǎng)不同的角，讓學(xué)生使用三角板測(cè)量，從而得出結(jié)論“角的大小與邊的長(zhǎng)短沒(méi)有關(guān)系”，并由此延伸得出“角是由定點(diǎn)與射線組成，而射線是沒(méi)有長(zhǎng)度的”這一知識(shí)點(diǎn)，幫助學(xué)生擺脫由視覺(jué)直觀造成的認(rèn)知偏差。

（三）整合教材內(nèi)容，明確概念與特征

教學(xué)應(yīng)源于教材且高于教材，教師要充分地解讀教材、挖掘教材，根據(jù)實(shí)際需要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，解決學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到的困難。以人教版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)“平移與旋轉(zhuǎn)”為例，教材提供了汽車(chē)平移的圖片引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“什么是平移”，有的學(xué)生認(rèn)為“車(chē)輪是旋轉(zhuǎn)的，所以車(chē)不是平移狀態(tài)”，這主要是由于教材圖例不清晰導(dǎo)致。為此，教師需要為學(xué)生提供更適宜學(xué)生認(rèn)知的學(xué)習(xí)材料，幫助學(xué)生正確認(rèn)識(shí)“平移”的相關(guān)知識(shí)。在處理教材方面，教師更要明確角、線段、直線、射線等類似概念的特征，避免學(xué)生受視覺(jué)直觀影響而混淆概念。

綜上所述，幾何思維是數(shù)學(xué)思維的組成部分，學(xué)生的幾何思維發(fā)展水平如何，對(duì)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)將產(chǎn)生直接的影響。因此，教師要深入解讀《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)幾何教學(xué)及學(xué)生幾何思維培養(yǎng)的要求，不斷調(diào)整和完善教學(xué)設(shè)計(jì)，使之適應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)需要。同時(shí)，教師要在幫助學(xué)生解決幾何難點(diǎn)知識(shí)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)辨析與質(zhì)疑，促進(jìn)學(xué)生幾何思維的發(fā)展。

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[米絲蕊，女，南京師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院博士研究生;李星云，男，南京師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師]

（責(zé)編 歐孔群）