王鴻博

(內(nèi)蒙古自治區(qū)巴彥淖爾市臨河區(qū)一中 015000)

安培力和洛倫茲力是高中物理中兩個(gè)重要的概念，二者之間有著深刻的聯(lián)系.人教版教材選修3-1這樣描述兩者的關(guān)系：導(dǎo)線中帶電粒子的定向運(yùn)動(dòng)形成了電流.電荷定向運(yùn)動(dòng)時(shí)所受洛倫茲力的矢量和，在宏觀上表現(xiàn)為導(dǎo)體所受的安培力.這句表述具有很強(qiáng)的可讀性和探討空間，從字面上簡(jiǎn)單理解，安培力只與運(yùn)動(dòng)的電荷有關(guān)并且數(shù)值上等于運(yùn)動(dòng)電荷受到洛倫茲力的矢量和.但是這種理解并沒有告訴我們安培力和洛倫茲力的聯(lián)系機(jī)理，有些時(shí)候我們會(huì)誤認(rèn)為安培力就是洛倫茲力，而這種認(rèn)識(shí)會(huì)導(dǎo)致很多明顯的悖論，例如洛倫茲力不做功而安培力可以做功.本文從洛倫茲力和安培力的一般認(rèn)識(shí)出發(fā)，又介紹了兩者的微觀聯(lián)系、做功關(guān)系以及影響因素，旨在幫助更多的同學(xué)明確洛倫茲力和安培力的聯(lián)系.

一、洛倫茲力和安培力的一般認(rèn)識(shí)

通常教材對(duì)兩者描述的一般解讀是，在導(dǎo)線與磁場(chǎng)垂直的情況下，一段導(dǎo)線所受安培力等于該段導(dǎo)線內(nèi)所有電荷定向移動(dòng)所受洛倫茲力的合力.如圖1所示，設(shè)導(dǎo)體內(nèi)帶正電粒子的速度為u，帶電量為q，單位密度為n，形成的電流為I，導(dǎo)體橫截面積為S，兩個(gè)端面為a和b，導(dǎo)線長(zhǎng)為L(zhǎng)，磁場(chǎng)與導(dǎo)線垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.

垂直于磁場(chǎng)的一段導(dǎo)線所受安培力與導(dǎo)線中帶電粒子所受洛倫茲力示意圖.

安培力F安=BIL，其中I=nquS，則F安=BnquSL.nSL為帶電粒子總個(gè)數(shù)N，考慮到洛倫茲力F洛=quB，得到F安=NF洛，說明在設(shè)定條件下安培力為所有帶電粒子洛倫茲力的合力.這種結(jié)論意味著安培力完全等同于洛倫茲力，那么就無法解釋安培力可以做功而洛倫茲力不可以做功的事實(shí).這種討論情景過于簡(jiǎn)單，設(shè)定導(dǎo)線速度為零，只考慮了內(nèi)部帶電粒子的速度，使得最終結(jié)果沒有體現(xiàn)出矢量的特性，如果考慮矢量性質(zhì)，是否可以進(jìn)一步理解安培力和洛倫茲力的關(guān)系呢？下面借助復(fù)雜一些的模型來分析兩種力之間的關(guān)系.

如圖2所示，回路中電流大小為I，為方便討論假設(shè)回路中電流由正電荷移動(dòng)產(chǎn)生，正電荷帶電量為q，單位密度為n，形成的電流為I，導(dǎo)體橫截面積為S.電荷沿導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)速度為u，導(dǎo)體棒向右運(yùn)動(dòng)的速度為v.對(duì)回路中的電荷進(jìn)行分析，其相對(duì)于地面的速度v合為u和v的合速度，方向指向右下，其對(duì)應(yīng)的洛倫茲力f的方向指向右上.對(duì)于速度v，其對(duì)應(yīng)的洛倫茲力為f1=qvB，方向豎直向上；而速度u對(duì)應(yīng)的洛倫茲力為f2=quB，方向水平向右.回路中導(dǎo)體棒受到的安培力F=BIL=BLnquS=nLSf2=Nf2，其中考慮了電流的微觀表達(dá)式I=nquS.式中N為導(dǎo)體棒中電荷的總個(gè)數(shù)，由此可以得出安培力與洛倫茲力分力相等這一結(jié)論.這一結(jié)論可以解釋安培力和洛倫茲力的做功悖論.對(duì)于整個(gè)導(dǎo)體棒，洛倫茲力分力f1的功率：P1=-f1uN=-qvBunSL；f2的功率：P2=f2vN=quBvnSL；安培力的功率P=BILv=BnquSLv.P1+P2=0，而P可以不為零，所以洛倫茲力不做功，但是安培力可以做功.

安培力與洛倫茲力分力相等這一結(jié)論最重要的意義在于暗示著安培力并不直接等同于洛倫茲力，兩者之間可能還有著其他作用從而使二者聯(lián)系起來.

二、洛倫茲力和安培力的霍爾電場(chǎng)解釋

安培力與洛倫茲力分力相等的討論中仍有一定的瑕疵，只考慮了相對(duì)于導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)的帶電粒子受力情況，并沒有對(duì)整個(gè)導(dǎo)體所有帶電電荷進(jìn)行討論.實(shí)際上，導(dǎo)體中真正傳導(dǎo)電荷的是電子，另外還有相對(duì)于導(dǎo)體靜止的正離子，當(dāng)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩類電荷都受到洛倫茲力作用，安培力應(yīng)該與這兩類電荷的洛倫茲力有關(guān).導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)可以是任意的，做正交分解后可以看成水平(垂直于棒)方向和豎直(沿棒)方向兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合.我們首先討論水平方向，導(dǎo)體棒有額外速度v的情況，如圖3所示.

設(shè)導(dǎo)體棒水平運(yùn)動(dòng)，速度為v，電子形成穩(wěn)定電流時(shí)其沿棒方向速度為u.電子和正離子均具有的水平速度v使它們具有豎直方向的洛倫茲力qvB，但是兩者受力方向相反，導(dǎo)致導(dǎo)體棒上半部分富集正離子，下半部分富集電子，從而形成內(nèi)建電場(chǎng)，稱為霍爾電場(chǎng).在霍爾電場(chǎng)剛開始建立的時(shí)候，霍爾電場(chǎng)力不及豎直方向洛倫茲力，電子將向下運(yùn)動(dòng)，使得下方富集電子，繼而進(jìn)一步增強(qiáng)霍爾電場(chǎng)直至霍爾電場(chǎng)力與豎直方向洛倫茲力平衡，即qE=qvB，此時(shí)電流達(dá)到穩(wěn)定.當(dāng)導(dǎo)體棒內(nèi)電流穩(wěn)定時(shí)，正離子受到向上的洛倫茲力和向下的霍爾電場(chǎng)力，二者平衡，所以正離子在豎直方向上沒有受到額外作用.正離子固定于導(dǎo)體內(nèi)，所以此時(shí)導(dǎo)體棒沒有受到豎直方向的額外作用，導(dǎo)體棒受到的水平方向的安培力與其水平方向的速度無關(guān).這從微觀角度解釋了圖2模型的結(jié)論.

安培力與水平方向(垂直于電子運(yùn)動(dòng)方向)的速度無關(guān)，是否與豎直方向速度有關(guān)呢？考慮圖4所示模型，導(dǎo)體棒沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，速度為v.

設(shè)電子相對(duì)于導(dǎo)體棒的速度為u，這個(gè)速度是形成電流的根本.導(dǎo)體棒豎直運(yùn)動(dòng)使得電子的豎直方向合速度為(u+v)，正離子速度為v.二者分別受到方向相反的洛倫茲力，大小分別為q(u+v)B和qvB，與上一討論相似，導(dǎo)體內(nèi)部形成了水平方向的霍爾電場(chǎng)，設(shè)場(chǎng)強(qiáng)為E.當(dāng)霍爾電場(chǎng)剛剛建立之時(shí)，洛倫茲力大于霍爾電場(chǎng)力使得電子沿水平方向偏轉(zhuǎn)進(jìn)而增強(qiáng)霍爾電場(chǎng)，直至電子水平方向受力平衡不再增強(qiáng)電場(chǎng).平衡時(shí)，電子霍爾電場(chǎng)力等于洛倫茲力，qE=q(u+v)B.正離子受到的霍爾電場(chǎng)力與電子受到的霍爾電場(chǎng)力大小相同方向相反，但是其受到的洛倫茲力為qvB，兩者不等.系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，霍爾電場(chǎng)力qE大于qvB，使得正離子受到水平方向不為零的合力，合力大小為qE-qvB=quB.正離子相對(duì)于導(dǎo)體靜止，相當(dāng)于導(dǎo)體受到了水平方向不為零的合力，宏觀表現(xiàn)為安培力.

特別地，每一個(gè)正離子受到的合力為quB，意味著安培力的大小只與quB相關(guān)，而u是形成電流的根本與導(dǎo)體棒宏觀運(yùn)動(dòng)速度無關(guān)，q和B也與宏觀運(yùn)動(dòng)速度無關(guān)，這就證明了安培力只與電流大小有關(guān)而與導(dǎo)體棒宏觀運(yùn)動(dòng)無關(guān).

綜合考慮圖3模型和圖4模型，我們可以分析導(dǎo)體棒沿任意方向運(yùn)動(dòng)的情況，可以得出結(jié)論如下：安培力與洛倫茲力之間是通過霍爾電場(chǎng)聯(lián)系起來的，二者并不是直接對(duì)應(yīng)，安培力大小只與形成電流的帶電粒子相對(duì)于導(dǎo)體棒的速度u有關(guān)，而與導(dǎo)體棒宏觀運(yùn)動(dòng)速度無關(guān).借助霍爾電場(chǎng)理論，改正了簡(jiǎn)單將安培力和洛倫茲力等同起來的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，自然也就消除了前面介紹的安培力可以做功而洛倫茲力不能夠做功的所謂“悖論”.

通常人們對(duì)安培力和洛倫茲力只是作為同一種作用的宏觀和微觀兩個(gè)層面的表現(xiàn)來理解，但是這樣理解會(huì)引發(fā)安培力能夠做功而洛倫茲力不能夠做功這一所謂的悖論.借助霍爾電場(chǎng)理論，發(fā)現(xiàn)安培力并不是直接與洛倫茲力對(duì)應(yīng)，它們是通過霍爾電場(chǎng)關(guān)聯(lián)起來，并且安培力的大小只與帶電電荷相對(duì)于導(dǎo)體的速度有關(guān)，即與電流有關(guān)，而與導(dǎo)體的宏觀運(yùn)動(dòng)速度無關(guān).