李尚志

(北京航空航天大學 100083)

4. 無名英雄

中學生不難了解和應用泰勒展開, 借助它想出解法, 算出答案. 雖不能將它寫進答卷, 但可以讓它作無名英雄, 用求導來實施它的計劃.

Ⅰ. 什么是泰勒展開:如果函數(shù)f(x)在某點c附近可以展開成x-c的無窮級數(shù)

f(x)=a0+a1(x-c)+…+ak(x-c)k+…

(4′)

就稱為f(x)在c的泰勒展開.

只要有了展開式(4′), 取x=c得f(c)=a0. 求導再取x=c得導數(shù)f′(c)=a1. 求導k次再取x=c得k階導數(shù)f(k)(c)=(k!)ak.

(4)

例如, ex的導數(shù)(ex)′=ex等于自身, 任意階導數(shù)(ex)(k)=ex等于自身. 在x=0 的值和所有各階導數(shù)都是1, 代入(4′) 就得到展開式

(5)

要使泰勒展開式(4) 右邊的無窮級數(shù)真正等于左邊的函數(shù), 還須將x的取值限制在一定范圍內, 才能夠保證無窮級數(shù)的極限存在. 例如,對數(shù)函數(shù)ln(1+x) 的展開式要求-1

Ⅱ. 兩項用途

(1) 判定f(c) 是否極值

在c附近足夠小范圍內,f(x)-f(c)=a1(x-c)+…=am(x-c)m+am+1(x-c)m+1+…的正負號與最低次非零項am(x-c)m≠0的正負號相同, 高次項忽略不計. 當m為奇數(shù),f(c)不是極值. 當m是偶數(shù),am<0 時f(c) 是極大值,am>0時f(c) 是極小值.

例3(2019北京市海淀區(qū)高三一摸) 已知函數(shù)f(x)=xln(x+1)-ax2. 當a<0時, 求證: 函數(shù)f(x) 存在極小值.

容易看出進一步的結論: 當a<1時f(0)是極小值,a>1是極大值,a=1時f(0) 不是極值.

中學生不能在答卷上作泰勒展開. 在草稿上用泰勒展開知道了f(0)是極小值. 在答卷上就可以計算f′(0)=0,f″(0)=1+1-2a>0來說明f(0) 是極小值.

以上例1, 例3都是給定了c判定f(c) 是否極值. 如果不知道c要求極值點, 需要先解方程f′(x)=0 求出c滿足必要條件f′(c)=0, 再判定是否滿足充分條件.

例4(2017理科數(shù)學全國卷Ⅲ第21題) 函數(shù)f(x)=x-1-alnx．

(1) 若f(x) ≥ 0，求a的值；

求m的最小值．

分析(1) 看出f(1)=0, 可根據(jù)f(1)=0 是最小值求a.

用泰勒展開摸脈: 令x=1+t得

要保證x=1 附近始終f(x) ≥ 0, 必須1-a=0,a=1, 此時

f(1)=0 是極小值, 在x=1 附近f(x) ≥ 0. 但ln(1+t) 僅在-11 時的變化情況. 還需通過lnx的導數(shù)判定它在定義域(0，+∞) 內的變化情況. 解法如下:

解由f(1)=0 知f(x) ≥ 0 當且僅當

f′(x) ≤ 0 (當0

(2) 出題人提示你利用第(1) 小題得到的不等式x-1-lnx≥ 0即lnx≤x-1 即ln(1+t) ≤t來解第(2) 題.

Pn

不過, 這個提示轉彎太多, 在考場上恐怕難于從x-1-lnx≥ 0聯(lián)想到ln(1+t) ≤t再聯(lián)想到將第(2) 小題的乘積Pn兩邊取對數(shù). 如果你熟悉前面給出的指數(shù)函數(shù)泰勒展開式(5):

馬上就看出當x>0 時ex>1+x. 更容易聯(lián)想到

至于為什么ex>1+x, 別說泰勒展開教的. 一切歸功于導數(shù): 由f(x)=ex-(1+x) 的導數(shù)f′(x)=ex-1 的正負證明f(0)=0 是最小值,ex>1+x就對所有x≠0 成立.

如果g(c)≠0, 直接將x=c代入得極限

設g(c)=0, 將f(x)，g(x) 在c泰勒展開, 得

其中am≠0,bk≠0 分別是分子分母的最低次非零項系數(shù), 更低次項系數(shù)ai=0=bj(?0 ≤i

如果m

此時極限λ不存在.

中學生先掌握求極值和求極限這兩個用途, 是因為這兩條只須關注函數(shù)在某點c附近的狀況, 可以忽略高次項, 將函數(shù)直接化成單項式am(x-c)m來處理, 特別快捷.

Ⅲ. 記住泰勒展開式

先背熟本文前面反復用到的

(6)

如果展開式(6) 背起來有困難, 將它左右兩邊求導, 得到等式

(7)

怎么背(7)? 它的右邊就是等比數(shù)列和

當n→∞ 的極限. 當|x|<1 時, (-x)n→0, 得到的就是(7).

展開式(7) 可以用來檢驗ln(1+x)的展開式是否正確. 還可以對(7) 求導(再乘-1) 得到新的展開式

(8)

(7),(8) 是冪函數(shù)(1+x)-1，(1+x)-2展開式. 任意冪函數(shù)展開為

(1+x)m=1+mx+…

(9)

【啟示】只銹壞了一個扣，整條鐵鏈也就失去了他的價值。不要對缺點和錯誤報以寬容的態(tài)度，哪怕是一丁點兒。否則，他就會像草原上的火種，一發(fā)不可收拾。

例6求sinx，cosx在x=0 的泰勒展開式.

解記f(x)=sinx, 則f′(x)=cosx.

f″(x)=-sinx.f(2k)(x) =(-1)ksinx.

f(2k+1)(x)=(-1)kcosx.f(2k)(0)=0,

代入

(10)

(11)

在ex的泰勒展開式中將x換成ix, 得到

=cosx+i sinx

(cosx+i sinx)n=(eix)n=einx

=cosnx+i sinnx

sinx，cosx的展開式不用背. 在eix的展開式中取實部得cosx, 取虛部得sinx.

Ⅳ. 計算e 和π

我們會算加減乘除, 卻很難計算其它函數(shù)值, 如指數(shù), 對數(shù), 三角函數(shù)等. 用泰勒展開將它們展開成冪級數(shù), 變成加減乘除, 都能算出來了.

自然對數(shù)的底e由基本極限

定義, 卻很難由基本極限算出來. 比如取n=10000將1萬個1.0001相乘, 費了很多功夫, 得到近似值2.71815 與準確值2.71828 …相比,只有前四位數(shù)字正確.

不過可以用牛頓二項式定理來算

令n→∞ 取極限得到

(12)

比計算e更引起興趣的是計算π. 我從小學學了加減乘除形成的理念就是什么都可以自己算.小學高年級學了圓周率, 第一次遇到自己不能算的. 就對怎樣算π感興趣. 最開始是用尺子量水杯的周長和直徑來相除, 由于精確度不夠, 無法得出3.14. 后來看見有的書上說祖沖之用正多邊形周長來逼近圓周長. 我也按照這個方法, 從正六邊形周長開始, 利用勾股定理依次計算正12邊形, 24邊形的邊長. 每次都要開平方. 越算越繁. 還沒得到3.14 就算不下去了. 很懷疑祖沖之怎么可能用這個方法算到小數(shù)點后面7位.

越學到后來, 自己不能算的東西越多. 三角函數(shù)不能算, 除了特殊角0°，30°，45°，60°，90°, 其余角度的三角函數(shù)都不能算. 后來學了對數(shù),也不能算. 每個學生發(fā)一本四位數(shù)學用表. 不會算就查表. 我去問老師:正弦表怎么算出來的？老師說: 別管它怎么編出來的, 只要學會查表就行了. 我心里想: 我可以查表. 編表的人怎么辦呢？他查上一個表. 編上一個表的人查更上一個表. 一直查下去, 總得有第一個人編出第一份表讓以后的人查. 第一個人怎么算出來的? 我不能再去問老師. 這個問題就一直存在心里. 終于有一天, 在某一份數(shù)學用表最后半頁紙上看見一些公式. 其中包括

我突然明白了: 這就是算正弦表的公式. 將每個角用弧度數(shù)x表示, 代入上式右邊, 只需要做加減乘除就能算出正弦來. 這就本文例5算出的正弦函數(shù)的泰勒展開式. 不過我當時并不知道它叫泰勒展開, 只知道它可以將正弦變成加減乘除來計算. 還有算余弦, 正切的公式, 算對數(shù), 反對數(shù)的公式. 反對數(shù)就是已知對數(shù)求真數(shù), 就是指數(shù)函數(shù).

終于有一天, 在書店的一本小冊上看到了利用反正切函數(shù)泰勒展開計算π的方法. 反正切函數(shù)泰勒展開式如下:

(13)

粗看起來與正弦的展開式差不多, 都只有奇次項沒有偶次項. (這是因為sinx，arctanx都是奇函數(shù).) 正負號也是交替出現(xiàn). 每一項x2k+1的系數(shù)也都有分母2k+1. 所不同的是sinx的分母是階乘(2k+1)!,求導之后約掉奇數(shù)2k+1, 剩下偶數(shù)的階級乘(2k)!, 變成cosx的展開式. 反正切arctanx展開式2k+1 次項的分母2k+1 沒有階乘, 求導約掉了就沒有分母了, 系數(shù)變成1:

將x=1代入展開式(13) 得

有個幾何題, 證明正方形拼成的如下圖形中∠1+∠2+∠3=90°.

圖1

題目不難, 只要證明以∠1 為外角的兩個三角形相似就行了. 不難發(fā)現(xiàn)

所證明的就是

(14)

(15)

等式(15) 叫做馬青公式. 我在讀高中的時候在一本小冊子上見到利用馬青公式和泰勒展開式算π的方法, 就照章辦事, 花了半小時筆算就得出了π=3.14159265, 比祖沖之的精確度還高一位.