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        歐拉不等式的一個(gè)加強(qiáng)的改進(jìn)

        2019-10-22 10:13:28張青山
        數(shù)學(xué)通報(bào) 2019年9期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)

        張青山

        (四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系 629000)

        文[1]將歐拉不等式加強(qiáng)為:

        定理1在三角形ABC中,外接圓半徑R,內(nèi)切圓半徑r,則(∑表示循環(huán)和)

        (1)

        文[2]將定理1改進(jìn)為:

        定理2在三角形ABC中,外接圓半徑R,內(nèi)切圓半徑r,則

        (2)

        我們發(fā)現(xiàn)不等式

        成立,這是由于

        故設(shè)想將不等式(2)改進(jìn)為

        定理3在三角形ABC中,外接圓半徑R,內(nèi)切圓半徑r,則

        (3)

        那么

        記三角形ABC的內(nèi)心為I,

        令A(yù)B=AC,BC→0,

        注1

        2(R+r)≥IA+IB+IC.

        (4)

        同理有

        那么就得出不等式(4)的一個(gè)等價(jià)結(jié)論:

        (5)

        注2運(yùn)用上面證明中的基本數(shù)學(xué)事實(shí),可以簡捷地證明一些不等式,如:

        定理4在三角形ABC中,恒有(∏表示循環(huán)積)

        (6)

        (7)

        我們僅證明(6)式,將(7)式的證明留給讀者.

        等價(jià)于

        由(6)式可知

        就可以得到歐拉不等式的又一個(gè)加強(qiáng):

        (8)

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        我難過,因?yàn)槲铱吹綌?shù)學(xué)就難過
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