2019年8月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

(浙江省富陽二中 許康華 311400)

證明將n表示成p進制形式,即令

n=nkpk+nk-1pk-1+…+n1p+n0,(0≤ni

(1)

同樣,可令

n=mlql+ml-1ql-1+…+m1q+m0,(0≤mi

(2)

若存在滿足題意的常數(shù)a,則由(1),(2)得

(3)

所以有

(4)

因為n≥pk,n≥ql,所以k≤logpn,l≤logqn,

≤a(p-1)q(l+1)+(q-1)p(k+1)

≤a(p-1)q(logqn+1)+(q-1)p(logpn+1).

若(p-1)a-(q-1)≠0,

則任取0<ε<|(p-1)a-(q-1)|,

存在一個正整數(shù)N,當n>N時,必有

這與(4)式矛盾.

所以,此時使得(4)式成立的正整數(shù)n只有有限多個,與題意不符.

綜上知,如果存在正常數(shù)a符合題意,

即n的p進制表示與它的q進制表示的數(shù)碼和相等.

2497已知：如圖，在線段AB中垂線上取兩點C、D(不是AB中點)．直線AD與BC相交于點E，直線BD與AC相交于點F．過A作AE的垂線，過B作BC的垂線，這兩條垂線相交于點X．求證：∠CXF=∠DXE．

(重慶市長壽龍溪中學 吳 波 401249)

證明因為∠XAE=∠XBE=90°，

所以X、A、E、B四點共圓．

設所共之圓為⊙O，圓心O在斜邊XE上．

又CD垂直平分⊙O的弦AB，

所以圓心O也在CD上，

因此直線CD與XE的交點即是圓心O．

如圖，由此可作出⊙O．

由對稱性，點F也在⊙O上．

作X關(guān)于CD的對稱點X＇，

連接XX＇、BX＇、DX＇．

由對稱性知 ∠X＇BD=∠XAD=90°．

而∠XBE=90°，所以∠XBX＇=∠CBD．

因AB⊥CD，XB⊥BC，則∠XBA=∠BCD．

而由對稱性知XX＇⊥CD，

因此XX＇//AB．則∠XBA=∠BXX＇，

所以∠BXX＇=∠BCD，

又∠X＇BD=∠XAD=90°，

所以△BDX＇∽△BCX，有∠BXC=∠BX＇D．

又由對稱性知 ∠BX＇D=∠AXD，

所以∠AXD=∠BXC，

所以∠AXC=∠BXD．

又易知EF//AB，所以AF=BE，

有∠AXF=∠BXE，

由此即得 ∠CXF=∠DXE．

2498設△ABC三邊長,三個旁切圓半徑分別為a,b,c,ra,rb,rc,則有

(天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456)

由旁切圓半徑公式及正弦定理，可得

那么就有

從而就有

以上證明用到了熟知的公式

2499如圖，O為△ABC內(nèi)一點，AO平分∠BAC．過點A的直線MN∥BC，射線BO分別交AC,MN于點P,M,射線CO分別交AB,MN于點Q,N．求證：AB=AC的充要條件是PM=QN．

(江蘇省興化市第一中學 張 俊 225700)

證明(必要性)

因為AB=AC，AO平分∠BAC，

所以∠ABC=∠ACB，△ABO≌△ACO，

所以BO=CO,∠ABO=∠ACO，

又∠BOQ=∠COP，

所以△BOQ≌△COP，所以OP=OQ．

又由MN∥BC，BO=CO，

知∠M=∠OBC=∠OCB=∠N，

所以OM=ON．

故PM=OM-OP=ON-OQ=QN．

(充分性)

如果AB≠AC，不妨假設AB

在AC上取點D使AD=AB，

聯(lián)結(jié)DO，延長AO交BC于F．

因為AO平分∠BAC，所以△ABO≌△ADO．

所以∠ODC>∠AOD=∠AOB>∠AFB>∠ACB>∠ACO，

所以CO>OD=BO，所以∠OBC>∠OCB，

又MN∥BC，

所以∠M=∠OBC>∠OCB=∠N

所以ON>OM，

所以CN=CO+ON>BO+OM=BM．

因為PM=QN，

所以BM-PM

因為∠ABO=∠ADO>∠ACO，

故可在線段OQ上找點E使∠EBO=∠ACO，

所以E,B,C,P四點共圓，

所以∠BEC=∠BPC．

所以∠EBC=∠EBO+∠OBC

>∠ACO+∠OCB=∠PCB，

因為EC,BP分別為圓周角∠EBC,∠PCB所對的弦，

所以EC>BP，又CQ>EC，

所以CQ>BP． (2)

(1)與(2)矛盾說明假設不成立，故AB=AC．

2500設n是正整數(shù)，且n≥3，證明：對正實數(shù)x1≤x2≤…≤xn，有不等式

≥x1+x2+…+xn.

(上海市七寶中學 李佳偉 201101)

事實上，由ax≤x≤y得到(1-a)(y-ax)≥0，

即a2x+y≥ax+ay，

代入得

上式對i=1,2,…,n-2求和，即得到

x1+x2+…+xn-2+

①

②

由①+②即得到原不等式成立.

2019年9月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2501設△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對的三邊長分別為a,b,c,三角形的面積△，求證：

(1)

當且僅當△ABC為等邊三角形時式中等號成立.

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學院 李永利 467000)

2502設AM為銳角三角形ABC的外接圓直徑，N為邊BC的中點，P為∠BAC的平分線AP與直線MN的交點，E，F(xiàn)分別為點P在兩邊AB和AC上的射影，證明：直線MN與EF的交點H是△ABC的垂心.

(河南輝縣一中 賀基軍 453600)

2503△ABC中，a,b,c分別表示三角形三邊長，I為△ABC的內(nèi)心，則

(浙江省永康市第六中學 呂永軍 321300)

2504已知a，b，c>0，abc=1，求證：

(河南省南陽師范學院軟件學院 李居之 孫文雪 473061)

2505如圖，△ABC中，D,E,F分別是邊BC,CA,AB上的點，且BD=mBC,CE=mCA,AF=mAB,0

求證：△ABC與△PQR的重心重合．

(湖北省公安縣第一中學 楊先義 434300)