錢(qián)艷妮 孫曉華

摘要：“三象一作”（現(xiàn)象、心象、抽象、操作）的數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程（方法）對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有理論指導(dǎo)意義及可操作性。教師可以遵循這一認(rèn)知過(guò)程，有意識(shí)地鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生搜集、觀察身邊的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，再通過(guò)多種策略幫助學(xué)生在頭腦中形成科學(xué)規(guī)范的心智圖像，最后通過(guò)層層抽象幫助學(xué)生完成知識(shí)的建構(gòu)。教學(xué)“認(rèn)識(shí)平均分”時(shí)，注意創(chuàng)設(shè)現(xiàn)象情境，著力于多種分法形象的積累;激活心智圖像，著力于平均分內(nèi)涵的清晰;進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，著力于平均分概念的形成;開(kāi)展操作活動(dòng)，著力于平均分本質(zhì)的深化。

關(guān)鍵詞：三象一作數(shù)學(xué)概念教學(xué)認(rèn)識(shí)平均分

王名揚(yáng)老師和徐瀝泉老師、徐利治先生在《論一種緣自認(rèn)知心理學(xué)及教育學(xué)研究的數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程》一文中提出“三象一作”（現(xiàn)象、心象、抽象、操作）的數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程。這一認(rèn)知過(guò)程（方法）對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有理論指導(dǎo)意義及可操作性。在日常教學(xué)實(shí)踐中，我們遵循這一認(rèn)知過(guò)程，有意識(shí)地鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生搜集、觀察身邊的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，再通過(guò)多種策略幫助學(xué)生在頭腦中形成科學(xué)規(guī)范的心智圖像，最后通過(guò)層層抽象幫助學(xué)生完成知識(shí)的建構(gòu)。下面，以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)平均分”的教學(xué)為例，談?wù)劸唧w的做法。

一、創(chuàng)設(shè)現(xiàn)象情境：著力于多種分法形象的積累

數(shù)學(xué)是研究數(shù)學(xué)現(xiàn)象的科學(xué)。數(shù)學(xué)現(xiàn)象是數(shù)學(xué)形式化題材的生命之源，也是學(xué)生心智圖像形成的客觀背景。生活中存在著大量的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，我們可以由此創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境。

在教學(xué)“平均分”時(shí)，教師首先要從平均分的知識(shí)和學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，呈現(xiàn)有效的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，引入平均分的概念。綜合平均分知識(shí)的生長(zhǎng)線索和低年級(jí)學(xué)生的認(rèn)識(shí)特點(diǎn)考慮，在呈現(xiàn)有關(guān)平均分的數(shù)學(xué)現(xiàn)象時(shí)，要緊扣趣味性、多樣性等特征，引導(dǎo)學(xué)生搜集分法的現(xiàn)象，幫助學(xué)生積累多種不同分法的形象。

（一）引入生動(dòng)有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象

華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“人們對(duì)數(shù)學(xué)早就產(chǎn)生了枯燥乏味、神秘難懂的印象，原因之一便是脫離了實(shí)際?！币虼?，依據(jù)學(xué)生熟悉的實(shí)際生活創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，就顯得尤為重要了。

課始，教師向?qū)W生呈現(xiàn)“學(xué)校棒球隊(duì)9月份去臺(tái)灣參加‘海峽杯比賽，奪得了金燦燦的冠軍獎(jiǎng)杯。他們凱旋的那天正好是中秋節(jié)，學(xué)校給他們送來(lái)了月餅”的場(chǎng)景，提出“每組6人（教練員1人、五年級(jí)隊(duì)員2人、六年級(jí)隊(duì)員3人，如圖1）領(lǐng)到6個(gè)月餅，可以怎樣分”的問(wèn)題。這一問(wèn)題情境迅速引發(fā)了學(xué)生參與思考的熱情和欲望。透過(guò)這一現(xiàn)象，學(xué)生可以真切地感受到“怎樣分物品”是現(xiàn)實(shí)生活中需要解決的問(wèn)題。

（二）積累豐富多彩的數(shù)學(xué)形象

之后，教師根據(jù)圖1，引導(dǎo)學(xué)生思考如何分。從圖片信息出發(fā)，學(xué)生自然地想到了兩種分法：①把6個(gè)月餅分成6份，每人1個(gè);②把6個(gè)月餅分成3份，分別是1個(gè)、2個(gè)和3個(gè)。教師啟發(fā)：能不能從教練員和隊(duì)員兩類(lèi)考慮？這一問(wèn)題又誘發(fā)出如下分法：③把6個(gè)月餅分成2份，教練員作為1份（1個(gè)），五、六年級(jí)隊(duì)員合起來(lái)作為1份（5個(gè)）。受此啟發(fā)，許多學(xué)生認(rèn)為還可以有如下方法：④教練員與五年級(jí)隊(duì)員合起來(lái)作為1份（3個(gè)），六年級(jí)隊(duì)員作為1份（3個(gè)）;⑤教練員與六年級(jí)隊(duì)員合起來(lái)作為1份（4個(gè)），五年級(jí)隊(duì)員作為1份（2個(gè)）。至此，學(xué)生的思路更加開(kāi)闊，還想到如下分法：⑥教練員與六年級(jí)的1個(gè)隊(duì)員合起來(lái)作為1份（2個(gè)），六年級(jí)剩下的隊(duì)員作為1份（2個(gè)），五年級(jí)隊(duì)員作為1份（2個(gè)）;⑦五年級(jí)隊(duì)員作為2份（2個(gè)），教練員與六年級(jí)隊(duì)員合起來(lái)作為1份（4個(gè)）;⑧六年級(jí)隊(duì)員作為3份（3個(gè)），教練員和五年級(jí)隊(duì)員合起來(lái)作為1份（3個(gè)）;⑨教練員與六年級(jí)隊(duì)員作為4份（4個(gè)），五年級(jí)隊(duì)員作為1份（2個(gè)）;⑩教練員與六年級(jí)的1個(gè)隊(duì)員作為2份（2個(gè)），六年級(jí)剩下的隊(duì)員作為1份（2個(gè)），五年級(jí)隊(duì)員作為1份（2個(gè)）。而后，教師把學(xué)生的這幾種分法匯集起來(lái)進(jìn)行板書(shū)（如圖2）。

可以看到，學(xué)生創(chuàng)設(shè)的多種不同的分法都是具有現(xiàn)實(shí)意義的，都是數(shù)學(xué)現(xiàn)象。學(xué)生在創(chuàng)設(shè)的過(guò)程中情緒是高漲的，思維是活躍的。更重要的是，這些數(shù)學(xué)現(xiàn)象蘊(yùn)含了平均分知識(shí)的線索和內(nèi)涵，為學(xué)生心智圖像的形成奠定了基礎(chǔ)。

二、激活心智圖像：著力于平均分內(nèi)涵的清晰

“心智圖像是數(shù)學(xué)現(xiàn)象在人們心目中呈現(xiàn)的一類(lèi)未經(jīng)理性分析的直覺(jué)形象，是人們對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的某種直接的領(lǐng)悟和圖像?！睌?shù)學(xué)現(xiàn)象是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)涵的呈現(xiàn)，心智圖像則是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)涵的二次呈現(xiàn)。心智圖像具有一定的概括性，由此也就有了不同的遷移能力。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，并非概括水平越高的心智圖像越有利于理解，而是在不同的階段需要相應(yīng)水平的心智圖像。數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)建構(gòu)的心智圖像必須能夠反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)，因?yàn)椴还苄纬稍鯓拥男闹菆D像，目的都是幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)。

“平均分”是除法知識(shí)中一個(gè)重要的起始概念。為了幫助學(xué)生建構(gòu)有效的心智圖像，獲得較為清晰的認(rèn)知圖式，教師在教學(xué)中預(yù)設(shè)形成以下心智圖像：

第一，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察比較多種不同的分法（圖2），要求學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)哪些分法有共同的特點(diǎn)。經(jīng)過(guò)討論，師生得到兩種不同的分類(lèi)（如圖3）：一是每份分得同樣多的，二是每份分得不同樣多的。這一心智圖像的形成讓學(xué)生順利從多種不同的分法過(guò)渡到兩種不同的類(lèi)別，有助于學(xué)生在對(duì)比中凸顯對(duì)“每份分得是否同樣多”特點(diǎn)的感悟。

第二，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察比較每份分得同樣多的3種分法（圖3中的第一類(lèi)），再按每份分得的個(gè)數(shù)多少進(jìn)行有序排列（如圖4）。這種心智圖像的形成讓學(xué)生對(duì)“同樣多”的含義具體化，從中領(lǐng)悟到“同樣多”也是可以有多種不同的樣式的，使“同樣多”的內(nèi)涵得到豐富。

三、進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象：著力于平均分概念的形成

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象形成了未經(jīng)理性分析的直覺(jué)形象后，還需要進(jìn)一步通過(guò)心象的豐富、變化、組合、聯(lián)結(jié)等過(guò)程，形成概括性的抽象概念。

在這一環(huán)節(jié)，教師開(kāi)展如下三個(gè)層次的教學(xué)。

（一） 橫向比較歸納——運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)平均分的意義

借助圖3，教師提問(wèn)：為什么把①號(hào)、④號(hào)、⑥號(hào)分法分在第一類(lèi)，把其余分法分在第二類(lèi)呢？學(xué)生回答：第一類(lèi)的3種分法與第二類(lèi)的7種分法有不一樣的特點(diǎn)。教師追問(wèn)：第一類(lèi)的分法與第二類(lèi)的分法分別有什么不同的特點(diǎn)呢？學(xué)生回答：第一類(lèi)每種分法中的每份都是同樣多的，第二類(lèi)每種分法中的每份都是不同樣多的。教師板書(shū)：每份分得同樣多。這樣，從事物的具體背景中把一類(lèi)事物的本質(zhì)特征抽取出來(lái)。而后，教師揭示平均分的名稱(chēng)。

（二） 縱向比較歸納并舉例——豐滿平均分的意義

師（指圖4）這三種分法有個(gè)簡(jiǎn)潔的新名字，你知道是什么嗎？

生平均分。

師為什么？

生因?yàn)樗鼈兎值靡粯佣唷?/p>

生因?yàn)樵谒拿糠N分法中，每份分得都是同樣多的。

師這位同學(xué)說(shuō)得真好！那么，（指圖4中的排列一）觀察這三種分法，它們又有什么不同點(diǎn)呢？

生第一種每份都是1個(gè)，第二種每份都是2個(gè)，第三種每份都是3個(gè)。

師說(shuō)得好！同樣是平均分，即每份分得同樣多，也是可以有多種不同的樣式的。你能說(shuō)說(shuō)實(shí)際生活中還有哪些不同的樣式嗎？

生寫(xiě)5行字，每行4個(gè)。

生我們教室里有8排學(xué)生，每排都是5人。

生電腦教室里有8張電腦桌，每張桌上有6臺(tái)電腦。

……

（三） 順向判斷，逆向索因——加深平均分意義的理解

教師出示圖5，讓學(xué)生判斷哪種分法是平均分，并要求學(xué)生說(shuō)清楚判斷的理由，然后提出如下問(wèn)題：如果把這9個(gè)球平均分成3份，每份之間應(yīng)該怎樣移補(bǔ)？如果平均分成3份，每份是2個(gè)，球的總數(shù)應(yīng)該是幾個(gè)？需要去掉幾個(gè)？如果平均分成3份，每份是5個(gè)，球的總數(shù)又應(yīng)該是幾個(gè)？需要添上幾個(gè)？經(jīng)過(guò)這樣先順向判斷，后逆向索因的思維活動(dòng)，學(xué)生更能充分地理解平均分的意義，完整地建構(gòu)平均分的概念了。

四、開(kāi)展操作活動(dòng)：著力于平均分本質(zhì)的深化

所謂“操作階段”，就是對(duì)知識(shí)不斷運(yùn)用和不斷“再認(rèn)識(shí)”“再提升”的階段。這一階段“就是在合乎邏輯法則的條件下，操作運(yùn)用抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法（包括數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用），去處理數(shù)學(xué)問(wèn)題并進(jìn)一步去發(fā)展數(shù)學(xué)理論知識(shí)”。

教學(xué)中，教師通過(guò)以下兩個(gè)層次的操作活動(dòng)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，加深對(duì)平均分意義和特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)。

（一）多題歸一

題組（1）有8個(gè)蘋(píng)果，每個(gè)小朋友分2個(gè)，可以分給幾個(gè)小朋友？

8個(gè)，每人分2個(gè)，可以分給（）人。

（2）圈一圈，填一填。

9塊，每（）塊一份，分成了（）份。

（3）圈一圈，填一填。

（）個(gè)，每5個(gè)一份，分成了（）份。

由于學(xué)生初次運(yùn)用平均分概念解決實(shí)際問(wèn)題，針對(duì)第（1）題，教師提示學(xué)生“每個(gè)小朋友分2個(gè)，也就是2個(gè)2個(gè)地分”;針對(duì)第（2）、第（3）題，教師提醒學(xué)生運(yùn)用圈一圈的方法。學(xué)生完成后，教師提問(wèn)：這三道題的分法有什么不同？有什么相同之處？在比較、分析、歸納中，學(xué)生感悟到：雖然平均分被賦予了不同的生活元素，但是剔除非本質(zhì)的因素，不管是把8個(gè)蘋(píng)果每2個(gè)一份地分，還是把9塊橡皮每3塊一份地分，或者把15個(gè)筆套每5個(gè)一份地分，都是每份分得同樣多。

（二）一題多變

題1先用12支鉛筆分一分，再填空。

（1）每1支一份，可以分成（）份。

（2）每2支一份，可以分成（）份。

（3）每3支一份，可以分成（）份。

教學(xué)時(shí)，教師先讓學(xué)生操作分法，并根據(jù)學(xué)生的反饋匯總成表格（如表1）。接著，引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、分析：①要分的12支鉛筆與每份的支數(shù)及分成的份數(shù)有什么關(guān)系？（1×12=12，2×6=12，3×4=12）②根據(jù)上述關(guān)系，你能猜一猜12支鉛筆還可以每幾支一份地分，分成的份數(shù)是多少嗎？（每4支一份，分成3份;每6支一份，分成2份）然后，根據(jù)學(xué)生的猜想，用操作進(jìn)行驗(yàn)證。之后，引導(dǎo)學(xué)生思考：從上往下看，每份的支數(shù)怎樣變化？分成的份數(shù)呢？從下往上看呢？學(xué)生通過(guò)觀察、比較、推想，發(fā)現(xiàn)把總數(shù)平均分之后，總數(shù)、每份數(shù)、份數(shù)之間存在的特定關(guān)系，從而感悟到不管每份的支數(shù)與分成的份數(shù)怎樣變化，它們相乘的結(jié)果即總數(shù)是不變的，由此滲透了變化與對(duì)應(yīng)的思想。

師（利用多媒體課件，動(dòng)態(tài)演示“把15個(gè)氣球每人3個(gè)，發(fā)給排在前面的2人”）照這樣分一分，15個(gè)氣球可以分給幾個(gè)小朋友？

生可以分給5個(gè)小朋友。

師你是怎樣想的？

生順著次序分給小朋友，3個(gè)一份地分，分5份，正好分完。

生我想用減法：分給一個(gè)小朋友就減去一個(gè)3，依次用15-3-3-3-3-3=0，減5次是0，說(shuō)明正好分完，所以可以分給5個(gè)小朋友。

生我直接想5個(gè)3是15，所以分給了5個(gè)小朋友。

（教師出示如下變式問(wèn)題，讓學(xué)生看圖填空。）

15個(gè)，每人分3個(gè)，可以分5人。

（）個(gè)，每人分3個(gè)，可以分（）人。

（）個(gè)，每人分3個(gè)，可以分（）人。

（）個(gè)，每人分3個(gè)，可以分（）人。

師你還能依次想到把幾個(gè)氣球每人分3個(gè)，分給幾個(gè)人呢？

生27個(gè)氣球分給9個(gè)人，30個(gè)氣球分給10個(gè)人，33個(gè)氣球分給11個(gè)人。

師照這樣的規(guī)律往下想，說(shuō)得完嗎？

生說(shuō)不完，有很多很多這樣的數(shù)。

對(duì)于此題，教師同樣沒(méi)有因?yàn)楂@得解答結(jié)果而止步，而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更高層次的思維爬坡，讓學(xué)生通過(guò)觀察、比較和推想，知道符合上述規(guī)律的總個(gè)數(shù)和可以分給的人數(shù)都有無(wú)窮個(gè)，再一次感受到兩個(gè)量之間的變化與對(duì)應(yīng)關(guān)系。

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