高坤，史晨路，呂曉，祖炳潔

摘 要：Leaky-LMS算法是傳統(tǒng)LMS的改進(jìn)算法，該算法主要適用于隨機(jī)性較強(qiáng)的寬帶噪聲，該算法解決了傳統(tǒng)LMS算法收斂性、穩(wěn)定性和瞬態(tài)特性的固有缺陷，同時(shí)它在系統(tǒng)辨識(shí)方面也有很多應(yīng)用。文章詳細(xì)介紹了Leaky-LMS算法的推導(dǎo)過(guò)程，并分析了該算法的收斂性和穩(wěn)定性。同時(shí)通過(guò)MATLAB仿真，比較了傳統(tǒng)LMS算法和Leaky-LMS算法對(duì)寬帶噪聲的控制效果。仿真結(jié)果表明，Leaky-LMS算法的穩(wěn)定性、收斂性和瞬態(tài)特性要優(yōu)于傳統(tǒng)LMS算法，有效的對(duì)汽車(chē)車(chē)內(nèi)寬帶噪聲進(jìn)行控制。

關(guān)鍵詞：泄露LMS算法;收斂性;穩(wěn)定性;瞬態(tài)特性;MATLAB仿真

中圖分類(lèi)號(hào)：U462.3 ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ?文章編號(hào)：1671-7988（2019）23-167-03

Leaky-LMS Algorithm Based on Broadband Noise Control

Gao Kun1，2， Shi Chenlu1， Lv Xiao1， Zu Bingjie2

（ 1.China Auto Research （Tianjin） Automotive Engineering Research Institute Co. Ltd.， Tianjin 300000;2.Shijiazhuang Railway University， Hebei Shijiazhuang 050043 ）

Abstract： Leaky-LMS algorithm is an improved algorithm of traditional LMS， which is mainly applicable to broadband noise signals with strong randomness. This algorithm solves the inherent defects of convergence， stability and transient characteristics of traditional LMS algorithm， and also has many applications in system identification. Leaky-LMS algorithm was introduced in detail， its convergence and stability were analyzed， and the control effect of broadband noise by traditional LMS algorithm and leaky-LMS algorithm were compared by MATLAB simulation. Simulation results show that leaky-LMS algorithm has better stability， convergence and transient characteristics than traditional LMS algorithm， and effectively controls the wideband noise in cars.

Keywords： Leak LMS algorithm; Convergence; Stability; Transient characteristics; MATLAB simulation

CLC NO.： U462.3 ?Document Code： A ?Article ID： 1671-7988（2019）23-167-03

前言

隨著NVH控制手段的不斷進(jìn)步和數(shù)字信號(hào)處理芯片運(yùn)算能力的提升，主動(dòng)控制技術(shù)越來(lái)越多的應(yīng)用在車(chē)內(nèi)噪聲控制中。傳統(tǒng)的最小均方（LMS）算法由于良好的自適應(yīng)性能被廣泛的應(yīng)用到汽車(chē)主動(dòng)降噪領(lǐng)域。由于LMS算法的固有屬性，該算法的收斂性和穩(wěn)定性不能同時(shí)滿足，當(dāng)步長(zhǎng)因子較大時(shí)，可以提高收斂速度，但是穩(wěn)定性變的較差;當(dāng)步長(zhǎng)因子較小時(shí)，可以提高穩(wěn)定性，但是收斂速度變的較慢。特別是對(duì)于隨機(jī)性較強(qiáng)的寬帶信號(hào)，LMS算法的瞬態(tài)特性會(huì)較差。

Leaky-LMS算法可以解決LMS算法的固有缺陷，該算法可以限制瞬態(tài)輸出信號(hào)，并可以同時(shí)提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂性。

1 介紹

最小均方（Least Mean Square LMS）算法是由Widrow和Hodff在1960年提出來(lái)的[1][2]。該算法簡(jiǎn)單并易于實(shí)現(xiàn)，對(duì)自適應(yīng)系統(tǒng)具有良好的處理能力，所以被廣泛的應(yīng)用在汽車(chē)主動(dòng)降噪領(lǐng)域。但是傳統(tǒng)的LMS算法適用于周期短并且較為規(guī)律的窄帶信號(hào)，對(duì)于周期長(zhǎng)、隨機(jī)性較強(qiáng)的寬帶信號(hào)（路噪），系統(tǒng)的收斂速度和穩(wěn)定性就不能保證了，特別是瞬態(tài)特性會(huì)變的較差。而Leaky-LMS算法可以解決以上的問(wèn)題，汽車(chē)運(yùn)行過(guò)程中產(chǎn)生的寬帶噪聲，瞬時(shí)信號(hào)可能會(huì)出現(xiàn)“失真”現(xiàn)象，算法中的泄露因子可以減少由于“失真”現(xiàn)象引起的系統(tǒng)失調(diào)。

泄露因子可能會(huì)引起系數(shù)偏置，所以選定泄露因子和步長(zhǎng)需要保持在較低的取值范圍內(nèi)。本文中，我們提出了一種針對(duì)于寬帶噪聲的LMS改進(jìn)算法—Leaky-LMS算法，第二節(jié)主要介紹了Leaky-LMS算法的推導(dǎo)公式，第三節(jié)是對(duì)Leaky-MS算法進(jìn)行收斂性和穩(wěn)定性分析。第四節(jié)是通過(guò)MATLAB編寫(xiě)仿真程序，來(lái)比較LMS和Leaky-LMS算法寬帶噪聲的控制效果。第五節(jié)，得出本文的結(jié)論。

2 Leaky-LMS算法公式推導(dǎo)

在Leaky-LMS算法中，期望信號(hào)與輸入信號(hào)之間的關(guān)系為[3]：

（1）

式中：d（n）為期望信號(hào);hT為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng);X（n）為系統(tǒng)中的參考信號(hào);c（n）為在系統(tǒng)中增加的噪聲信號(hào)。

Leaky-LMS算法的代價(jià)方程為：

（2）

誤差函數(shù)為：

（3）

式中：Leaky-LMS算法目的是為了縮小目標(biāo)函數(shù)J（n），所以Leaky-LMS算法是在LMS算法的代價(jià)函數(shù)的基礎(chǔ)上加入了一個(gè)稀疏矩陣，W（n）為1×k的自適應(yīng)濾波器權(quán)重的向量，γ為大于0的泄露因子，x（n）為1×k的輸入向量，其中γWT（n）W（n） 是稀疏矩陣。在代價(jià)函數(shù)中增加稀疏矩陣，可以引起更新權(quán)重的收縮，當(dāng)輸入信號(hào)矩陣中非零個(gè)數(shù)沒(méi)有到達(dá)濾波器的階數(shù)時(shí)，權(quán)重系數(shù)會(huì)出現(xiàn)一部分零系數(shù)，同時(shí)γWT（n）W（n）矩陣中會(huì)出現(xiàn)許多零系數(shù)，由于MATLAB只對(duì)非零元素進(jìn)行操作，所以這種稀疏矩陣可以減少大量的運(yùn)算時(shí)間，從而提高了濾波器的性能。

利用梯度法推出權(quán)重系數(shù)更新方程：

（4）

式中：u為步長(zhǎng)因子。

3 Leaky-LMS算法性能分析

3.1 收斂性分析

（5）

式中：R為關(guān)于輸入信號(hào)x（n）的相關(guān)矩陣。在LMS算法中，λ是相關(guān)矩陣R的特征值。其中，λmax/λmin為擴(kuò)散程度，擴(kuò)散程度與收斂速度成反比，該參數(shù)擴(kuò)展的越大，LMS算法收斂的速度就越慢[4]。

（6）

式中：由于γ是大于0的泄露因子， 所以Leaky-LMS算法的收斂性要優(yōu)于LMS算法。

權(quán)重系數(shù)誤差方程：

（7）

（8）

（9）

式中：V（n）為權(quán)重系數(shù)誤差向量，P為d（n）和x（n）的互相關(guān)矩陣。

（10）

式中：旋轉(zhuǎn)誤差E（Vj（∞））的作用是表示權(quán)重系數(shù)均值收斂性，在LMS算法中，γ=0，旋轉(zhuǎn)誤差為E（Vj（∞））為0，所以LMS算法的權(quán)重系數(shù)W（n）均值趨于收斂于W0。由公式（10）可知，泄露因子γ會(huì)導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)系數(shù)偏置，所以Leaky-LMS算法有一個(gè)固有缺陷：權(quán)重系數(shù)均值不能趨于收斂，也就是不能實(shí)現(xiàn)維納解（均方差和權(quán)重系數(shù)平均值均收斂才能實(shí)現(xiàn)維納解）。

公式（4）中的步長(zhǎng)因子u的取值范圍為：

（11）

步長(zhǎng)因子u在該范圍內(nèi)，Leaky-LMS算法的均方差MSE趨于收斂。

3.2 穩(wěn)定性分析

以路噪為代表的寬帶噪聲，瞬時(shí)信號(hào)不會(huì)總是穩(wěn)定的，會(huì)出現(xiàn)“失真”的情況，所以針對(duì)于瞬時(shí)信號(hào)，瞬時(shí)MSE（均方差）為：

（12）

（13）

式中：εmin是最小均方誤差，權(quán)重的偏差向量方程為：

（14）

（15）

式中：I為單位矩陣，WL為穩(wěn)態(tài)權(quán)重系數(shù)，W*為瞬時(shí)權(quán)重系數(shù)。

公式（15）結(jié)合公式（12）可得：

（16）

根據(jù)上述方程，求得步長(zhǎng)u的取值范圍：

（17）

式中：為輸入信號(hào)x（n）的方差，步長(zhǎng)在此取值范圍內(nèi)，算法保持穩(wěn)定[5]。

4 基于MATLAB對(duì)寬帶噪聲控制仿真分析

為了判斷Leaky-LMS算法的對(duì)寬帶噪聲的控制效果，通過(guò)MATLAB編寫(xiě)仿真程序，分別通過(guò)LMS算法和Leaky- LMS算法對(duì)寬帶噪聲進(jìn)行仿真分析，并將兩種算法的學(xué)習(xí)曲線（MSE曲線）進(jìn)行對(duì)比。

本文仿真的目的是為了判斷LMS算法和Leaky-LMS算法對(duì)寬帶噪聲的控制效果，設(shè)定仿真的采樣點(diǎn)為5000個(gè)。

圖1 ?有源噪聲控制系統(tǒng)

濾波LMS算法與LMS算法的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)特征大致相同，濾波LMS算法應(yīng)用了聲通道原理，所以影響濾波LMS算法的因素較多。上圖中，P（z）表示從噪聲源到誤差信號(hào)的初級(jí)通道，d（n）表示待消除的噪聲信號(hào)，s（z）表示次級(jí)通道，（z）表示估計(jì)參考通道。經(jīng)過(guò)研究分析可知，三個(gè)通道的傳遞函數(shù)主要是為了解決算法中時(shí)延性問(wèn)題。在理想的狀態(tài)下，我們忽略時(shí)延性的問(wèn)題，我們假設(shè)有源噪聲控制系統(tǒng)中揚(yáng)聲器和麥克風(fēng)的靈敏度為1，并假設(shè)初級(jí)通道P（z）的傳遞函數(shù)、次級(jí)通道s（z）和參考估計(jì)通道（z）的傳遞函數(shù)都設(shè)定為1，式中y（n）=Y（n）?？刂葡到y(tǒng)中濾波器為128階的FIR橫向?yàn)V波器。參數(shù)設(shè)置方面，定步長(zhǎng)因子設(shè)定為0.001，采樣點(diǎn)數(shù)設(shè)定為5000，干擾信號(hào)為均值0，信噪比為5的高斯白噪聲，在Leaky-LMS算法中，泄露因子γ為0.5。為了判斷Leaky-LMS算法和LMS算法的瞬態(tài)特性，在輸入信號(hào)第2872-3072采樣點(diǎn)處加入脈沖信號(hào)。

圖2 ?LMS算法與LEAKY-LMS算法學(xué)習(xí)曲線對(duì)比

上述的學(xué)習(xí)曲線表明Leaky-LMS算法對(duì)寬帶噪聲的控制效果要優(yōu)于LMS算法。由圖2可知，LMS算法大約在1500個(gè)采樣點(diǎn)處收斂，Leaky-LMS算法大約在1000個(gè)采樣點(diǎn)處

收斂，并且LMS的最小MSE值為2.1578e-04，LEAKY-LMS的最小MSE值為5.6427e-05。通過(guò)仿真可以判斷出Leaky- LMS算法的收斂性和穩(wěn)定誤差要優(yōu)于LMS算法[6]。

圖3 ?LMS算法與Leaky-LMS算法在第2800—3300

采樣點(diǎn)處學(xué)習(xí)曲線對(duì)比

由圖3可知，由于輸入信號(hào)在第2872-3072個(gè)采樣點(diǎn)處加入脈沖信號(hào)，并且LMS算法在該區(qū)間MSE值偏高，均值為6.9235e-04，最高值為0.0029;而LEAKY-LMS算法在該區(qū)間MSE均值為2.8345e-04，最高值為0.0024，所以判斷出Leaky-LMS算法的瞬態(tài)特性要優(yōu)于LMS算法，所以Leaky- LMS算法可以對(duì)瞬時(shí)輸出信號(hào)進(jìn)行限制。

5 結(jié)論

在本文中，針對(duì)隨機(jī)性強(qiáng)的寬帶噪聲，提出了一種改進(jìn)LMS算法代價(jià)函數(shù)的算法—Leaky-LMS算法。通過(guò)公式推導(dǎo)分析出Leaky-LMS算法的可以對(duì)瞬時(shí)輸出信號(hào)進(jìn)行限制，但是該算法不能實(shí)現(xiàn)維納解。同時(shí)本文通過(guò)MATLAB仿真分析出Leaky-LMS算法和LMS算法對(duì)寬帶噪聲的控制效果。仿真結(jié)果表明，Leaky-LMS算法的收斂性、穩(wěn)定性和瞬態(tài)特性要優(yōu)于LMS算法。

參考文獻(xiàn)

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