戎加磊

摘 要：本文將介紹運用電荷面密度快速判斷電場變化的方法，避開繁瑣的計算過程，進而快速求解其他物理量，為該類問題教學提供參考。

關鍵字：高斯定理；平行板電容器；電場強度

一、引入電荷面密度

在電磁學中，根據高斯定理：通過一個任意閉合曲面 的電通量 等于該曲面所包圍的所有電量的代數和 除以 （ 為真空介電常數），與閉合曲面外的電荷無關。可以用以下公式表示[1]

對于平面均勻帶電情形，利用高斯定理，可以求解出其電場強度 ?，F(xiàn)在假設一個面積為 、帶電量為 的平面，如下圖甲所示，為方便討論，建立空間直角坐標系，作出高斯閉合曲面（虛線長方體），將帶電平面包圍，如圖乙所示。

根據帶電平面電場分布呈對稱性且垂直于帶電平面（即上圖中的與 軸平行方向）[1]，為方便起見，上圖乙中的高斯閉合曲面取為一個長方體，因為 軸和 軸方向沒有電場，故電場僅僅穿過長方體左右兩個面，面積均為 ，電場與之垂直。利用高斯定理，電通量表示為

因此，帶電平面電場強度為

由上式可得，真空中帶電極板的電場強度與距離無關，而是取決于電荷面密度 和 ，因此從電荷面密度和真空介電常數可以直接判斷出電場強度的變化，避開繁瑣計算過程，掌握這個技巧，對數學基礎薄弱的學生會有很大幫助。

二、平行板電容器的極板間的電場

平行板電容器由正負兩個極板組成，所帶電荷量為某一極板電荷量。因此極板間的電場強度需要經過兩個帶電平面的電場強度矢量疊加合成，在真空中如下

所以在平行板電容器中，（真空中）電場強度為 ，電場強度可以從電荷面密度 的變化來判斷。因此電容器動態(tài)問題中，電容器與電源斷開或其他帶電量 不變的諸類情形，從電荷面密度可直接判斷電場變化，不需要從電容器基本定義式出發(fā)逐步推導。

在下列情形（真空中）中，當情形一變化到情形二時，電荷量 不變，而正對面積 減小，所以電荷面密度 增大，故電場強度增大，再由 ，判斷出兩極板電勢差增加。

情形一變?yōu)榍樾稳龝r，電荷量 和正對面積 不變，故電荷面密度 不變，電場強度不變，因 ，判斷出兩極板電勢差增加。

若極板之間充入其他介質（非真空），電容器中極板間電場可簡單歸納為 ， 為電介質的絕對介電常數，且存在關系 。

三、牛刀小試原題

（2017江蘇高考）如圖所示，三塊平行放置的帶電金屬薄板A、B、C中央各有一小孔，小孔分別位于O、M、P點。由O點靜止釋放的電子恰好能運動到P點。現(xiàn)將C板向右平移到P′點，則由O點靜止釋放的電子（ A ）

解析：各個極板帶電情況與以前相同，可視為帶電量不變，雖然加大間距，因極板正對面積 不變，則電荷面密度 不變，則極板間電場強度不變，因此電子運動時受力情況不變，故運動到P點返回。

四、結束語

采用本文方法，對極板間電場變化情況，引入高斯定理方法較為方便。避開頗多計算過程，快速得出電場變化情況，從而得出其他物理量變化，減小了解題障礙，不易出錯，不耗時，即可解決該類型問題，是行之有效的方法。在今后該類問題教學中，可以引入該方法，降低學生學習困難，對培養(yǎng)學生自信心和提升學習興趣有較大幫助。

參考文獻：

【1】褚祝文. 巧用電荷面密度（σ）對平行板電容器動態(tài)分析[J]. 中學物理，2012，30（11）：23-24.