何開應(yīng)

摘 要：函數(shù)中的不等式恒成立問題是新課程背景下的高考數(shù)學(xué)中的熱點考題之一，同時也是考題中的重點和難點，它常以基本初等函數(shù)為背景，與導(dǎo)數(shù)、不等式綜合考查等價轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)的最值或值域問題。對涉及已知函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的取值問題、證明不等式等問題，大多數(shù)題目可以利用分離參數(shù)的方法，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域問題。結(jié)合本人教學(xué)的積累，現(xiàn)將這類問題的解決策略與各位同仁探討如下。

關(guān)鍵詞：不等式恒成立，函數(shù)，策略

一、 型在區(qū)間 上恒成立問題

【例1】已知函數(shù)

（Ⅰ）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè) ，若 對 恒成立，求 的取值范圍.

【分析】本題以對數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)和一次函數(shù)的和、差為模型，以不等式恒成立問題為背景，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值以及求參數(shù)的范圍問題。

解：（Ⅰ）函數(shù)定義域為 ，且 ，

故 在 上為單調(diào)遞減函數(shù).

（Ⅱ）∵z ，而 ，

由（Ⅰ）有 在 上為單調(diào)減函數(shù)，又 ，

故當(dāng) 時， ，即 ，

當(dāng) 時， ，即 ，

而 時， ，∴ 時， 的最小值為0，

要使 對 恒成立，只需 ，故有 .

【解決策略】

對于 型在區(qū)間 上恒成立問題，通常是將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)最值問題求解：若 在區(qū)間 上恒成立 ，若 在區(qū)間 上恒成立 。

二、 型在區(qū)間 上恒成立問題

【例2】已知函數(shù) 若 對定義域內(nèi)的 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍 .

【分析】本題以二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)為模型，在二次函數(shù)的一次項系數(shù)中設(shè)置參數(shù)，以不等式恒成立問題為背景，利用分離變量法以及轉(zhuǎn)化思想考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及參數(shù)的范圍問題。

解：函數(shù) 與函數(shù) 的公共定義域為 ，

由 即 ，得 對任意 恒成立，

，當(dāng) 時， ，當(dāng) 時，

故當(dāng) 時， 取最小值 ，要使 恒成立，只需 ，

故 ，即實數(shù) 的范圍是 .

【解決策略】

對于 型在區(qū)間 上恒成立問題：

1.若是證明 或 在區(qū)間 上恒成立。

（1）通常情況下，需構(gòu)造函數(shù) 或 ，利用導(dǎo)數(shù)求出 在區(qū)間 上的單調(diào)性和最值（或值域），判斷其最值與0的關(guān)系。

（2）極少數(shù)情況下需判斷 在區(qū)間 上的最值與 在區(qū)間 上的最值關(guān)系，如 在區(qū)間 上恒成立 ； 在區(qū)間 上恒成立 ，但前提是尋找等價條件。

（3）若上述（1）、（2）方法都不奏效時，則需構(gòu)造“加強不等式”進行證明，如要證 ，若能證 ，且 ，即可證明 。

2.若是求參數(shù)的取值問題，則通過轉(zhuǎn)化思想，利用分離變量法或分類討論的思想，將該類恒成立問題轉(zhuǎn)化為上述一的恒成立問題求解。

總之，對于函數(shù)中的不等式恒成立問題，函數(shù)是載體，求參數(shù)的范圍或證明不等式是目的，導(dǎo)數(shù)是工具，分離變量、分類討論、構(gòu)造新函數(shù)和轉(zhuǎn)化是思想和方法，求函數(shù)最值或值域是目標(biāo)。

參考文獻：

[1]秦傳明，楊子林.函數(shù)中不等式恒成立、能成立問題的七種類型及解題策略[J].學(xué)周刊，2017（05）：221-222.