林曉偉

1 四種重要變換的概念聯(lián)系

信號(hào)的主要作用為傳播信息，因此人們對(duì)信號(hào)的關(guān)注重點(diǎn)為該信號(hào)所攜帶的信息。而信號(hào)所攜帶的信息存在于其各個(gè)頻率分量中。所以我們?cè)诘谌轮杏懻摿酥芷谛盘?hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析，以傅里葉級(jí)數(shù)的方式分析了周期信號(hào)各頻率分量所占的比重。然而，在自然界中，我們所遇到的信號(hào)不可能是理想的周期信號(hào)，而是有限能量的信號(hào)。因此，我們將周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)推廣到了非周期的有限能量信號(hào)的傅里葉變換。

隨著時(shí)代的發(fā)展，我們對(duì)信號(hào)的需求由連續(xù)時(shí)間的模擬信號(hào)轉(zhuǎn)移到了離散時(shí)間的數(shù)字信號(hào)中（模擬信號(hào)剛干擾能力較差，取樣頻率大于二倍的奈奎斯特頻率信號(hào)就不會(huì)失真）。所以我們的研究方向從連續(xù)時(shí)間信號(hào)（模擬信號(hào)）傅里葉變換轉(zhuǎn)移到了離散時(shí)間信號(hào)（數(shù)字信號(hào)）傅里葉變換中。

傅里葉分析可以解決信號(hào)分析中的許多問(wèn)題，然而傅里葉分析也有其局限之處。例如，傅里葉分析并不能適用于不穩(wěn)定信號(hào)的分析。因此我們需要將傅里葉分析進(jìn)一步推廣。相應(yīng)的，連續(xù)時(shí)間傅里葉分析推廣到了拉普拉斯變換;離散時(shí)間傅里葉變換推廣到了z變換。這兩種變換與傅里葉變換共有的代數(shù)性質(zhì)組合在一起，就形成了一整套重要的系統(tǒng)分析工具。

以上是DTFT、CTFT、LT與ZT的簡(jiǎn)要概述及其概念上的聯(lián)系?？梢院?jiǎn)述為：將CTFT推廣可得到LT，將DTFT推廣可得到ZT，而將CTFT離散化可得到DTFT，將LT離散化可得到ZT。

2 四種重要變換的具體聯(lián)系

四種變換都具有相似的性質(zhì)，具體為線(xiàn)性、時(shí)移、頻移、共軛、時(shí)間反轉(zhuǎn)、時(shí)間尺度變換、時(shí)域微分，積分（離散形式為差分）、頻域微分，積分等。以綜合等式及分析等式為基礎(chǔ)，運(yùn)用這些性質(zhì)可以獲得一系列基本變換對(duì)，并由這些基本變換對(duì)得到一系列變換對(duì)從而對(duì)信號(hào)進(jìn)行高效的分析。

可以簡(jiǎn)要的說(shuō)明：拉普拉斯變換將頻域從實(shí)數(shù)推廣到了復(fù)數(shù)，頻域也從實(shí)軸推廣到了復(fù)平面，因此連續(xù)時(shí)間傅里葉變換成為了拉普拉斯變換的一種特例。當(dāng)拉普拉斯變換中s為純虛數(shù)時(shí)，x（t）的拉普拉斯變換，即為x（t）的傅里葉變換。Z變換之于離散時(shí)間傅里葉變換的關(guān)系亦如是，而當(dāng)Z變換中Z的模為1即在頻域上為單位圓時(shí)，Z變換就變成了離散時(shí)間傅里葉變換。

3 四種重要變換分析的主要區(qū)別

3.1 收斂的區(qū)別

在傅里葉變換中，是否能夠進(jìn)行變換，只需判斷該信號(hào)是否滿(mǎn)足狄利克雷收斂條件即可。而在拉普拉斯變換和Z變換中。是否收斂的判斷轉(zhuǎn)移到了當(dāng)s的實(shí)部或z的模取到了某一定值時(shí)，信號(hào)是否滿(mǎn)足狄利克雷收斂條件。因此在拉普拉斯變換及Z變換中，相對(duì)傅里葉變換多出了收斂域的討論。收斂域的討論是這兩種變換必不可少的一個(gè)步驟。因此，在寫(xiě)出拉普拉斯變換和Z變換的時(shí)候，必須標(biāo)記其收斂域。

3.2 性質(zhì)的區(qū)別

連續(xù)時(shí)間變換信號(hào)的微分和積分性質(zhì)在離散時(shí)間變換中變?yōu)榱瞬罘趾屠奂有再|(zhì)。在Z變換中討論的時(shí)間反轉(zhuǎn)性質(zhì)在拉普拉斯變換中并未涉及，而在拉普拉斯變換中所討論的初值和終值定理在Z變換中變?yōu)橹挥懻摮踔刀ɡ怼Ｔ诟道锶~變換中所討論的實(shí)信號(hào)的對(duì)稱(chēng)性和奇偶分解到了拉普拉斯變換和Z變換中因信號(hào)及頻域擴(kuò)展到了復(fù)平面而并未加以敘述。

4 學(xué)習(xí)總結(jié)

在信號(hào)與系統(tǒng)這門(mén)課程的學(xué)習(xí)中，讓我感觸最深且學(xué)到的最有用的一件事是：從另一個(gè)角度看問(wèn)題。就像課程中學(xué)習(xí)的四種重要變換以及對(duì)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)分析。若想從其定義出發(fā)即綜合方程和分析方程來(lái)求的級(jí)數(shù)或者變換是極為困難的。因此我們不提倡用這樣的方法去求解問(wèn)題。轉(zhuǎn)而從其性質(zhì)及用定義很容易求得變換的基本變換對(duì)，來(lái)對(duì)不同的信號(hào)或者系統(tǒng)進(jìn)行分析。這樣的做法避免了繁雜的計(jì)算，節(jié)省了時(shí)間，不失為學(xué)習(xí)信號(hào)與系統(tǒng)這門(mén)課最為有效的方法之一。而我“從另一個(gè)角度看問(wèn)題”的感想不僅僅局限于信號(hào)與系統(tǒng)這門(mén)課程之中，更體現(xiàn)在了我對(duì)這個(gè)世界不同的理解。我們所生存的世界，hen直觀的理解成了在時(shí)間軸上不斷向前的一個(gè)三維物體，然而四種重要變換告訴我，世界不僅僅可以看成時(shí)間上的變換，也可以看成是不同頻率的加權(quán)組合。盡管在一個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)中我對(duì)這樣的想法并沒(méi)有深刻鉆研下去，但我想隨著我對(duì)時(shí)間流逝的感覺(jué)加深，這樣的想法伴隨著我的人生將會(huì)在我的腦海里越來(lái)越清晰甚至形成直觀的圖像。我想，這將會(huì)對(duì)我對(duì)這個(gè)感知世界的理解產(chǎn)生顛覆性的作用。

最后，感謝張老師一個(gè)學(xué)期以來(lái)對(duì)我們的辛勤教導(dǎo)，老師在課程結(jié)束前不舒服依然堅(jiān)持給我們傳授知識(shí)讓我十分感動(dòng)！信號(hào)與系統(tǒng)這門(mén)課程的學(xué)習(xí)并不局限于大二的這個(gè)學(xué)期。我相信，在我們以后的專(zhuān)業(yè)課程甚至是未來(lái)的工作中，這門(mén)課程都會(huì)是一個(gè)不可或缺的角色！祝老師身體健康，繼續(xù)傳授給我們更多的知識(shí)！

（作者單位：電子科技大學(xué)）