廣東省廣州市南海中學(xué)(510000) 豐夢(mèng)婷

一、引言

“加強(qiáng)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)融合的實(shí)踐與研究”是全面深化數(shù)學(xué)課改的關(guān)鍵之一.融合的核心是要借助信息技術(shù),為學(xué)生提供有挑戰(zhàn)性的、互動(dòng)交流的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境——保持應(yīng)有的數(shù)學(xué)思考水平和強(qiáng)度,促進(jìn)學(xué)生積極的思維參與.而作為點(diǎn)燃學(xué)生積極思維的導(dǎo)火線——提出和發(fā)現(xiàn)問題,理應(yīng)成為貫穿教學(xué)設(shè)計(jì)的主線.因此,融合信息技術(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì),其要點(diǎn)在于：以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí),通過提出問題、獨(dú)立思考、課堂討論與交流、解決變式等多種活動(dòng),逐步深入、層層遞進(jìn),最終解決問題并獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的正確理解,并在“不知道怎么辦”的問題場(chǎng)景中,萌生新思想,進(jìn)而生成駕馭具體問題的數(shù)學(xué)方法[1].

二、融合信息技術(shù)于正態(tài)分布教學(xué)設(shè)計(jì)之原因探析

融合信息技術(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì),其特點(diǎn)在于充分、恰當(dāng)?shù)乩矛F(xiàn)代信息技術(shù)和信息資源,科學(xué)地安排教學(xué)過程的各個(gè)環(huán)節(jié)和要素,以實(shí)現(xiàn)教學(xué)過程的最優(yōu)化.而如何做到“充分”和“恰當(dāng)”,則需要教師明確融合信息技術(shù)的目的,制作、收集可以使用的信息技術(shù)課程資源,思考如何有效組織這些課程資源,明晰學(xué)生在融合信息技術(shù)的教學(xué)環(huán)境中對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解以及可能的誤解.下文以人教A 版選修2-3“正態(tài)分布”為例,從以上幾個(gè)方面展開分析.

(一) 融合信息技術(shù)的目的

明確融合信息技術(shù)的目的,即在教學(xué)中明確為什么要使用信息技術(shù),它可以帶來怎樣的優(yōu)勢(shì).在“正態(tài)分布”一節(jié)中,使用信息技術(shù)的目的之一：化抽象為具體,凸顯數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征.例如為了引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)正態(tài)曲線的本質(zhì)特征——中間高,兩邊低,左右對(duì)稱,首先借助信息技術(shù)展開高爾頓板實(shí)驗(yàn),學(xué)生在增加試驗(yàn)次數(shù)的過程中,初步獲得小球的分布情況——中間球槽內(nèi)的小球比較多,兩邊球槽內(nèi)的小球比較少.在此基礎(chǔ)上,以球槽的編號(hào)為橫坐標(biāo),以小球落入各個(gè)球槽內(nèi)的頻率值為縱坐標(biāo),學(xué)生借助EXCEL 繪制呈現(xiàn)小球分布規(guī)律的頻率分布直方圖和折線圖,觀察它們形狀的共同特點(diǎn).此時(shí),再一次凸顯了正態(tài)曲線的本質(zhì)特征,給學(xué)生建立了正態(tài)曲線的直觀印象.最后,借助幾何畫板演示當(dāng)組距不斷縮小時(shí)頻率分布直方圖的形狀變化——越來越接近于一條光滑的曲線,并且具備“中間高、兩邊低、左右對(duì)稱”的特點(diǎn),第三次凸顯了正態(tài)曲線的本質(zhì)特征,與此同時(shí),在組距不斷縮小、不斷逼近的過程中,也滲透了極限的思想.在此過程中,信息技術(shù)實(shí)現(xiàn)的三次凸顯,讓學(xué)生更容易把握正態(tài)曲線的本質(zhì)特征.在本節(jié)內(nèi)容中,使用信息技術(shù)的目的之二：化靜態(tài)為動(dòng)態(tài),凸顯數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在聯(lián)系.例如在研究參數(shù)μ和σ 對(duì)正態(tài)曲線的影響時(shí),借助幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示功能,學(xué)生可以直觀感受到兩個(gè)參數(shù)對(duì)正態(tài)曲線的影響.繼而回歸到正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)μ和σ 的位置以及本身的意義,那么,學(xué)生對(duì)于正態(tài)分布密度函數(shù)的由來也就不會(huì)感到突兀了.

(二) 可以使用的信息技術(shù)課程資源及組織形式

本節(jié)內(nèi)容中,用于課堂教學(xué)的信息技術(shù)主要是幾何畫板和EXCEL.在新課引入時(shí),使用了課程資源——高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)演示程序(圖1).在理解高爾頓板實(shí)驗(yàn)原理的基礎(chǔ)上,學(xué)生動(dòng)手操作高爾頓板實(shí)驗(yàn), 在不斷增加小球個(gè)數(shù)的過程中,觀察演示程序中所呈現(xiàn)的小球的分布情況.

圖1

圖2

在新課探究環(huán)節(jié),以使用幾何畫板和EXCEL 制作的課程資源為主.在學(xué)生初步獲得小球分布規(guī)律的基礎(chǔ)上,嘗試借助統(tǒng)計(jì)學(xué)中的圖形工具呈現(xiàn)小球的分布規(guī)律.每個(gè)小組選擇兩組數(shù)據(jù),借助EXCEL 制作頻率分布直方圖和折線圖(圖2).在探究正態(tài)曲線特點(diǎn)的過程中,學(xué)生動(dòng)手操作幾何畫板,通過不斷縮小組距,觀察頻率分布直方圖的形狀變化;通過改變參數(shù),觀察曲線的位置、形狀變化(圖3 和圖4).

圖3

圖4

(三) 學(xué)生在融合信息技術(shù)的教學(xué)環(huán)境中對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解以及可能產(chǎn)生的誤解

通過動(dòng)手操作高爾頓板實(shí)驗(yàn)——?jiǎng)邮种谱黝l率分布直方圖和折線圖——?jiǎng)邮盅菔窘M距不斷縮小時(shí)的頻率分布直方圖,有助于學(xué)生理解正態(tài)曲線的本質(zhì)特征.因此,在探究正態(tài)曲線特點(diǎn)的過程中,學(xué)生對(duì)正態(tài)曲線的位置、對(duì)稱性、峰值等特點(diǎn)脫口而出.幾何畫板在呈現(xiàn)正態(tài)曲線時(shí),容易給學(xué)生帶來誤解,如正態(tài)曲線的兩端是否會(huì)接觸到x 軸,此時(shí)借助正態(tài)分布密度函數(shù)以及正態(tài)曲線的幾何意義,可以有效化解學(xué)生的誤解.

三、融合信息技術(shù)的正態(tài)分布教學(xué)設(shè)計(jì)

基于以上原因,筆者嘗試將信息技術(shù)融合于正態(tài)分布教學(xué)設(shè)計(jì)中.

教學(xué)目標(biāo)

1.借助歷史上的高爾頓板試驗(yàn),建立鐘形曲線的直觀印象——兩頭低,中間高,左右對(duì)稱,從中滲透數(shù)學(xué)文化.

2.借助鐘形曲線,引出正態(tài)分布密度函數(shù)解析式,引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合解析式及概率的性質(zhì),借助數(shù)學(xué)幾何畫板,小組合作探究正態(tài)曲線的特點(diǎn),揭示正態(tài)曲線的幾何意義.

3.在理解正態(tài)分布定義的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生分析、認(rèn)識(shí)生活中的正態(tài)分布現(xiàn)象.

教學(xué)重點(diǎn)

正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn);正態(tài)分布密度曲線所表示的意義

教學(xué)難點(diǎn)

正態(tài)分布密度曲線所表示的幾何意義

新課引入

解釋高爾頓板試驗(yàn)原理

圖5

著名的試驗(yàn)裝置——高爾頓板試驗(yàn)裝置.它的最上層是通道口,里面綠色的部分表示小球.中間層是圓柱形小木塊,它們相互平行但相互錯(cuò)開,小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?前面擋有玻璃.小球從通道口落下,與層層木塊發(fā)生碰撞,每一次碰撞結(jié)果都有兩種可能,一種是從木塊左邊的空隙落下,另一種是從木塊右邊的空隙落下,最后落入球槽中.最下面一行是計(jì)數(shù)器,它會(huì)統(tǒng)計(jì)出對(duì)應(yīng)球槽內(nèi)小球的個(gè)數(shù).

新課探究

探究1高爾頓板試驗(yàn)中小球的分布規(guī)律

活動(dòng)1：計(jì)算機(jī)演示高爾頓板試驗(yàn)

問題1：在投放小球之前,你能知道這個(gè)小球落在哪個(gè)球槽中嗎?

問題2：隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,落入球槽中的小球又將如何分布?

設(shè)計(jì)意圖研究一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象,就是要了解它所有可能出現(xiàn)的結(jié)果和每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率.問題1 旨在讓學(xué)生注意投放一個(gè)小球試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn),其結(jié)果就是球落在某一個(gè)小槽內(nèi).問題2 引導(dǎo)學(xué)生觀察試驗(yàn)次數(shù)增加時(shí)小球的分布情況,思考高爾頓板試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果.

問題3：能否借助圖形工具來呈現(xiàn)球槽中小球的分布規(guī)律?

提示：從圖形的角度,表示樣本分布的方法有哪些? 如何建立坐標(biāo)系?

設(shè)計(jì)意圖由樣本估計(jì)總體,一般分為兩種,一種是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布,另一種是用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.從圖形的角度,表示樣本分布的方法有：頻率分布直方圖、頻率分布折線圖.引導(dǎo)學(xué)生回顧從圖形的角度來表示樣本分布的方法,探究小球的分布規(guī)律,體會(huì)樣本估計(jì)總體的思想.

活動(dòng)2：小組合作——借助EXCEL 繪圖

以球槽的編號(hào)為橫坐標(biāo),以小球落入各個(gè)球槽內(nèi)的頻率值為縱坐標(biāo).請(qǐng)各小組選擇兩組數(shù)據(jù),截圖到EXCEL 中,嘗試運(yùn)用EXCEL 繪制出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖.

問題4：它們的形狀有何共同特點(diǎn)?

設(shè)計(jì)意圖通過學(xué)生自己動(dòng)手操作完成頻率分布直方圖和頻率分布折線圖的繪制,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)高爾頓板試驗(yàn)中的隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行思考,建立鐘形曲線的直觀印象——兩頭低,中間高,左右對(duì)稱,為建立正態(tài)曲線的概念設(shè)置鋪墊.

探究2正態(tài)曲線的特點(diǎn)

問題5：如果不考慮小球的大小,不斷縮小球槽的寬度,那么頻率分布圖的形狀會(huì)發(fā)生怎樣的變化?

越來越接近于一條光滑的曲線——總體密度曲線,它可以反映總體的分布情況.這條總體密度曲線具有兩頭低、中間高、左右對(duì)稱的特點(diǎn),我們說它像一條鐘形曲線.我們把這種鐘形曲線稱為正態(tài)分布密度曲線,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.這條曲線所對(duì)應(yīng)的解析式稱為正態(tài)分布密度函數(shù).這個(gè)函數(shù)中,有兩個(gè)參數(shù)μ和σ,μ——均值,σ——標(biāo)準(zhǔn)差.

設(shè)計(jì)意圖借助幾何畫板演示,讓學(xué)生直觀形象地感受頻率分布直方圖和折線圖的極限形狀,完成由離散型隨機(jī)變量到連續(xù)性隨機(jī)變量的過渡.從描述鐘形曲線形狀的角度引入正態(tài)曲線和正態(tài)分布密度函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式.

活動(dòng)3：小組合作——探究正態(tài)曲線的特點(diǎn)

問題6：結(jié)合正態(tài)分布密度函數(shù)和正態(tài)曲線,研究正態(tài)曲線的特點(diǎn).

當(dāng)μ和σ 確定時(shí),這條正態(tài)曲線又有何特點(diǎn)? 當(dāng)σ 一定時(shí),μ的變化會(huì)對(duì)曲線產(chǎn)生什么影響? 當(dāng)μ一定時(shí),σ 的變化會(huì)對(duì)曲線產(chǎn)生什么影響?

設(shè)計(jì)意圖借助幾何畫板直觀感受兩個(gè)參數(shù)對(duì)正態(tài)分布密度曲線的影響,進(jìn)而得出正態(tài)分布的一些其他性質(zhì).通過小組合作交流的方式探究正態(tài)曲線的特點(diǎn),突出本節(jié)課重點(diǎn).

探究3正態(tài)分布

問題7：能否借助正態(tài)曲線準(zhǔn)確計(jì)算出隨機(jī)變量X 落在區(qū)間(a,b]內(nèi)的概率?

提示：(1) 用頻率估計(jì)概率;(2) 定積分的幾何意義：平面圖形的面積.

設(shè)計(jì)意圖研究一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象,就是要了解它所有可能出現(xiàn)的結(jié)果和每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率.即不僅需要了解隨機(jī)變量的分布規(guī)律,而且要了解它的概率分布規(guī)律.對(duì)于離散型隨機(jī)變量而言,分布列完全刻畫了它的概率分布規(guī)律,但是現(xiàn)在無法知道所構(gòu)造的隨機(jī)變量的分布列,所以只能通過頻率來近似.

問題8：分析高爾頓板試驗(yàn)中,小球的分布為什么近似服從正態(tài)分布?

小組分享：一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的,互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和,它就服從或近似服從正態(tài)分布.

問題9：試分析某一地區(qū)同年齡人群的身高近似服從正態(tài)分布的原因.

設(shè)計(jì)意圖正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)際之中,通過分析,旨在讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)生活中的正態(tài)分布現(xiàn)象.

歸納小結(jié)這節(jié)課,我收獲了什么知識(shí)? 在正態(tài)曲線、正態(tài)分布概念的得出和正態(tài)曲線特點(diǎn)的探究上,我們收獲了什么數(shù)學(xué)思想方法? 還有什么困惑?

教學(xué)反思運(yùn)用信息技術(shù)使得數(shù)學(xué)對(duì)象直觀化、動(dòng)態(tài)化,可以幫助學(xué)生建立直觀印象、理解數(shù)學(xué)對(duì)象,但是這種直觀印象是表面的,教師不能僅僅停留在讓學(xué)生看看數(shù)學(xué)對(duì)象的直觀形式,還需引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度分析產(chǎn)生這種特征的原因,由形回歸到數(shù),學(xué)生才能獲得更深層次的理解.例如學(xué)生在觀察正態(tài)曲線的動(dòng)畫演示后,容易得到正態(tài)曲線的一系列特點(diǎn),但是為何會(huì)有這些特點(diǎn)? 教師要引導(dǎo)學(xué)生回歸到正態(tài)分布密度函數(shù)上,對(duì)正態(tài)分布密度函數(shù)的本身特點(diǎn)進(jìn)行分析.

四、結(jié)束語

融合信息技術(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì),需要教師明確融合信息技術(shù)的目的,制作、收集可以使用的信息技術(shù)課程資源,思考如何有效組織這些課程資源,明晰學(xué)生在融合信息技術(shù)的教學(xué)環(huán)境中對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解以及可能的誤解.因此,如何做到充分而恰當(dāng)?shù)娜诤? 在融合信息技術(shù)之前,需要教師洞穿知識(shí)點(diǎn)所處的相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)的環(huán)節(jié),剖析學(xué)生發(fā)生這一知識(shí)點(diǎn)的心理環(huán)節(jié),精心設(shè)計(jì)信息技術(shù)的呈現(xiàn)方式,如此,方能讓信息技術(shù)在教學(xué)中最大限度地發(fā)揮功效.