重慶市萬州高級(jí)中學(xué)(404100) 何亮

本次抽考的結(jié)果下來,我們班上130 分以上的29 人,140分以上的13 人,146 分左右的10 人,可見整個(gè)卷子的難度不大,但沒有滿分.研究下來發(fā)現(xiàn),問題主要出現(xiàn)在26 題第(3)問,全班只有一人做對(duì),下來后我和學(xué)生們一起將這個(gè)題梳理了一遍,將他們的一些想法落實(shí)下來,得到了許多方法,現(xiàn)將它呈現(xiàn)下來.

試題呈現(xiàn)如圖1：拋物線y = -x2+2x+3 的圖像與x 軸交于點(diǎn)A、B,與y 軸交于點(diǎn)C,連接BC.

(1) 求直線BC 的解析式;

(2) 如圖2, 點(diǎn)P 是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn), 作PQ//y 軸交BC 于點(diǎn)Q,當(dāng)線段PQ 的長度最大時(shí),在x 軸上找到一點(diǎn)M,使PM +CM 的值最小,求PM +MC 的最小值;

(3) 拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E,在拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使得直線AN 與直線AE 的夾角為45 度.若存在請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)N 的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

圖1

圖2

第(3)問題分析：?jiǎn)栴}的本質(zhì)是求將直線AE 繞著點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn)45°后所得的直線與拋物線的交點(diǎn).如圖3 可以發(fā)現(xiàn),由于旋轉(zhuǎn)的方向可以分為順時(shí)針和逆時(shí)針,作出的直線有兩條,且這兩條直線互相垂直,所以有兩個(gè)符合條件的點(diǎn)N.求出第一個(gè)N1就可以順帶求出第二個(gè)N2的坐標(biāo),現(xiàn)在我們先來求N1.

圖3

問題解決學(xué)生思路1：先求直線與x 軸、y 軸的交點(diǎn),確定直線表達(dá)式再求點(diǎn)N1.

方法1如圖4, 過點(diǎn)F 作AD 的垂線交AD 于點(diǎn)G,連接FG.因?yàn)锳(-1,0), E(1,4), 所以lAE: y = 2x+2,所以D(0,2).在R T △AOD 中, AO = 1, OD = 2,所以故在△ADF 中有3個(gè)條件我們可以解這個(gè)三角形.設(shè)GF = x, 因?yàn)樵O(shè)AG = x, 則GD = 2x,又因?yàn)樗运运杂傻弥本€AF 表達(dá)式：聯(lián)立得

方法2如圖5, 設(shè)直線AE 交y 軸于點(diǎn)D, 直線AN1交y 軸于點(diǎn)F, 過點(diǎn)D 作DG⊥AN1交AN1于點(diǎn)G.由法1 知OD = 2, AO= 1, AD =且∠DAG = 45°,所以設(shè)OF = x, 則DF = 2 - x,顯然△AOF ≈△DGF,所以即所以或x=-3(舍去),所以同理方法1 可得

圖4

圖5

學(xué)生思路2：不一定非要求直線與y 軸的交點(diǎn),只要是直線上面的任意一點(diǎn)都可以.由45°可能會(huì)想到去構(gòu)造等腰直角三角形.而用好這個(gè)等腰直角三角形的方法我給的是三垂直圖形.

方法3如圖6, 過點(diǎn)E 作AE 的垂線交AN1于點(diǎn)M, 再過E 作x 軸的平行線, 過A、M 作垂線交于點(diǎn)H、K.因?yàn)椤螲 = 90°,∠AEM = 90°, 所以∠HAE + ∠HEA = 90°,∠KEM + ∠HEA = 90°, 所以∠HAE = ∠KEM, 且∠H = ∠K = 90°,AE = AM, 所以ΔAEH ～= EMK(AAS),所以EK = AH,KM = HE,又因?yàn)锳(-1,0)、E(1,4), 所以AH = 4, HE = 2, 所以EK = 4,KM = 2,所以M(5,2),所以直線AM 的表達(dá)式為同理方法1 可得

圖6

圖7

方法4如圖7, 過點(diǎn)E 作AN1的垂線交于點(diǎn)M, 過M 作y 軸的平行線,再過A、E 作平行線的垂線于點(diǎn)H、K,過E 作x 軸垂線交于點(diǎn)Q.同理方法3, 我們依然可以得△EHM ～= △MKA,所以EH = MK,HM = AK.因?yàn)锳(-1,0)、E(1,4), 所以AQ = 2,EQ = 4.設(shè)QK = x, 則EH =x,MK =x,HM =2+x,所以x+(2+x)=4,所以x = 1,所以M(2,1),故直線AM 的表達(dá)式為同理可以求

學(xué)生思路3：是否可以直接求N 的坐標(biāo)而跳過直線表達(dá)式呢?

方法5如圖8, 過點(diǎn)N1向直線AE 作垂線交AE于點(diǎn)M, 過點(diǎn)M 作x 軸的平行線, 過A、N1作平行線的垂線交平行線于點(diǎn)H、K.因?yàn)锳(-1,0)、E(1,4),所以直線AE : y = 2x + 2.設(shè)M(m,2m + 2), 所以AH =2m+2,HM =m+1,又因?yàn)椤鱉HA ～= △N1KM,所以MK = AH = 2m + 2, KN1= MH = m + 1, 所以N1坐標(biāo)為(3m+2,m+1), 將它代入拋物線的表達(dá)式y(tǒng) =-x2+2x+3,得-(3m+2)2+2(3m+2)+3=m+1,所以m=-1 或所以N1(-1,0)(舍)或

圖8

圖9

方法6如圖9,過N1作直線AN1的垂線交AE 于點(diǎn)M,過N1作y 軸的平行線,過A、M 作平行線的垂線交于點(diǎn)H、K.設(shè)N1的坐標(biāo)(n,-n2+2n+3),所以AK = n+1,KN1=-n2+2n+3,又因?yàn)椤鱉HN1～= △N1KA,所以MH =KN1=-n2+2n+3,HN1=AK =n+1,所以M的坐標(biāo)為(n2-n-3,-n2+3n+4),將其代入y =2x+2中得2(n2-n-3)+2 = -n2+3n+4,所以n = -1 或所以N1(-1,0)(舍)或

最后我們可以仿照前面的方法繼續(xù)求得N2(6,-21),所以點(diǎn)N 的坐標(biāo)為或(6,-21).

總結(jié)和同學(xué)們一起探討完這個(gè)題目后,同學(xué)們有種恍然大悟的感覺.原來自己的一些想法都是對(duì)的,但是如何進(jìn)一步深入挖掘和分析直至得到我們想要的結(jié)果還需要向老師一樣細(xì)致的分析和抓好基礎(chǔ).這個(gè)題目看似簡(jiǎn)單,但在這些方法中考查到了除二次函數(shù)和一次函數(shù)以外的其他知識(shí),包括解三角形、相似、全等,是一個(gè)具有思維深度的好題.