浙江省仙居縣安洲中學(xué)(317300) 吳剛

教材習(xí)題是解題教學(xué)的基礎(chǔ)訓(xùn)練題源,但如果沒有好的設(shè)計提升,那也只是停留于基礎(chǔ)訓(xùn)練,而不是解題的堅強(qiáng)后盾.學(xué)生解題困惑的表面是內(nèi)容講的不夠多,題目練得不夠深,其實際是教學(xué)中不注重核心素養(yǎng)的培養(yǎng),背和記代替學(xué)生的體驗和探究.如何用好教材題源,提升演變成壓軸大題;如何把難題大題設(shè)計分解,回歸教材基本題,結(jié)合自己的教學(xué)實際談具體操作,以期拋磚引玉.

1 基本習(xí)題,變式壓軸

案例1(人教版八年級上13.3 等腰三角形配套的單元習(xí)題)如圖1,△ABC 與△DCE 是等邊三角形,且B、C、E共線.BD 與AE,AC 分別相交于點P,M,CD 與AE 相交于點N.求證：BD =AE.

老師層層設(shè)計, 步步追問, 由淺入深, 讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,解決問題.

圖1

圖2

問題1在不添加任何條件的前提下,能得到結(jié)論

(1) BD =AE,∠APB =60°;

(2) △MCD 與△NCE 全等;

(3) CM =CN,AN =BM,EN =DM;

問題2如圖2,如果允許連接其他線段,還能提出

(4) △MCN 是等邊三角形;

(5) MN 平行BE;

(6) 連接PC,可以證明PE 是∠BPE 的角平分線......

問題3如圖3,B、C、E 不共線,△DCE 繞點C 順時針旋轉(zhuǎn)一定角度,上述結(jié)論哪些成立?

問題4如圖4, 把兩個等邊三角形變成等腰直角三角形,上述結(jié)論哪些成立?

問題5如圖5,在問題4 的基礎(chǔ)上,B、C、E 不共線,上述結(jié)論哪些成立?

圖3

圖4

圖5

歸納內(nèi)化立足圖形的旋轉(zhuǎn)變換過程,研究一個圖形的變與不變,讓學(xué)生真正把握數(shù)學(xué)的本質(zhì),在變中找不變,以不變應(yīng)萬變.特殊到一般的解題思想和變式教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 壓軸大題,化身基本

綜合解題指導(dǎo)重點學(xué)習(xí)怎樣感知問題、怎樣分析思路、怎樣選擇合理的思想方法和知識解決問題,轉(zhuǎn)化類比為熟悉的題目.通過訓(xùn)練,形成“套路”,找到解題的突破口.

案例2(2015 山東省德州市)如圖6, ⊙O 的半徑為1, A,P,B,C 是⊙O 上的四個點,∠APC =∠CPB =60°.

圖6

(1) 判斷△ABC 的形狀：

(2) 試探究線段PA,PB,PC 之間的數(shù)量關(guān)系,并證明結(jié)論;

(3) 當(dāng)點P 位于弧AB 的什么位置時, 四邊形APBC的面積最大? 求出最大面積.

直接解題(2)、(3)兩問提高太快,難度較大.課本有類似原題.

案例3人教版(2014)九年級上冊P90 第13 題.

如圖6, A,P,B,C 是⊙O 上的四個點, ∠APC =∠CPB =60°.判斷△ABC 的形狀,并證明你的結(jié)論.

這是一道基本題,如果就題論題,到此結(jié)束,那太可惜了.教師應(yīng)該立足教材, 讓學(xué)生探究, 提出問題, 進(jìn)行變式教學(xué).設(shè)計的時候注意題目的難易程度,應(yīng)該由淺入深,層層逼近,有梯度,有深度,其最終目的讓學(xué)生明白,所謂的難題大題其實是有章可循,類比轉(zhuǎn)化為常規(guī)的思路、思想、方法.

變式1如圖7,P 是弧AB 的上的點,當(dāng)P 在何處時,四邊形APBO是菱形.

圖7

分析注意畫圖,幾何應(yīng)該從直觀入手,發(fā)現(xiàn)合適的位置、結(jié)論,再思考嚴(yán)密的證明,推理的依據(jù).

變式2如圖6,求證：PC = PA+PB(或者讓學(xué)生探究三者的數(shù)量關(guān)系,再證明).

圖8

圖9

圖10

分析可以要求學(xué)生測量三者的具體長度,發(fā)現(xiàn)結(jié)論,轉(zhuǎn)化為常規(guī)的截長補(bǔ)短法,輔助線可以如圖8 截長法,如圖9、圖10 補(bǔ)短法,要求學(xué)生分別嘗試兩種方法,一題多解,分別分析落實具體證明流程.也可以站在旋轉(zhuǎn)的角度去添輔助線,將△PAC 繞點C 逆時針旋轉(zhuǎn)60 度與△PBC 組成一個大三角形,證明是等邊三角形,反之也可.體驗兩者的具體區(qū)別和共性,使得做一題練一串,做一題,解一片.

變式3如圖6,在原題條件下,若再有PA=1,PB =2,求四邊形APBC 的面積.

分析利用變式2,如圖11,如圖12,旋轉(zhuǎn)等值轉(zhuǎn)化為求△PDC 或△EPC 的面積.

變式4如圖6,在原題條件下,點P 在何處時,四邊形APBC 的面積最大.

分析可以直接用變式3 的結(jié)論,四邊形APBC 的面積就是等邊三角形的面積,四邊形面積最大就是等邊三角形的面積最大,就是等邊三角形的邊最大,當(dāng)然是過圓心的直徑時最大.如圖13,也可以站在面積就是底和高的乘積,底邊定值,PM +PN 的值最大,就是面積最大,此時為直徑.

圖11

圖12

圖13

以上各題的變式,其實際就是命題者從簡單到難的設(shè)計題目.教師的變式教學(xué),其實際就是啟發(fā)學(xué)生如何解決大題、難題的思路,如何熟練轉(zhuǎn)化.

如果直接考變式(3)(4),那該如何思考分析? 那不就是案列2：(2015 山東省德州市)的問題.我們采用波利亞解題表的解題策略四部曲：弄清題意、擬定方案、執(zhí)行方案、總結(jié)回顧.重新整理一下解題的整個流程.

1.弄清題意

觀察要求的問題,這是什么類型的問題? 見過類似的問題嗎? 圓背景中的題目.周角定理入手,標(biāo)條件,標(biāo)條件推出的結(jié)論.自然得到△ABC 等邊三角形的結(jié)論.對于(2)問,探究三邊關(guān)系,轉(zhuǎn)化的思想入手,平時一般怎么考慮? 首先直接測量,發(fā)現(xiàn)三條線段的結(jié)論PA+PB = PC,直觀想象的核心素養(yǎng); 或者轉(zhuǎn)化一般到特殊的方法,當(dāng)點P 在點A 時,PA=0,PB =AB,所以PA+PB =PC(點P 在B 點時同理);點P 在中點時,計算知道PA = PB = 0.5PC,所以PA+PB = PC.截長補(bǔ)短法.對于(3)問,面積問題最大,或面積的函數(shù)表達(dá)式,利用函數(shù)的性質(zhì)求解,或直接割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積加減.

2.擬定方案

類比轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)為熟悉類型,或者方法的套路,由(2)結(jié)論,PC = PA+PB,嘗試截長或補(bǔ)短的兩種可能途徑,添加輔助線,構(gòu)造三角形的全等,或者三邊轉(zhuǎn)化為兩邊相等,利用等角對等邊的思路.四邊形PBCA 的面積就是△PCE 的面積.對于第(3)個問題,如果有(2)做基礎(chǔ),那么就轉(zhuǎn)化簡單了,四邊形PBCA 的面積就是△PCE 的面積,四邊形面積最大就是三角形的面積最大,就是PC 最大即PC 為直徑時.也可這樣思考,△ABC 的邊是固定不變的,面積最大就是高之和PM +PN 最大,即PC 是過圓心的直徑時面積最大.

3.執(zhí)行方案

選定一個可行的角度,具體解答,如圖14 或如圖15,從已知開始嚴(yán)密推理.

圖14

圖15

4.回顧總結(jié)

解題中關(guān)鍵如何轉(zhuǎn)化為熟悉類型方法,使得問題變得簡單.如何一般到特殊,直觀想象,數(shù)學(xué)建模,如何邏輯推理? 當(dāng)題目有多個小問題的時候,你有什么解題經(jīng)驗嗎? 解題者要注意這個信息：題目之間往往是上下關(guān)聯(lián),層層遞進(jìn).上一題的結(jié)論經(jīng)常是下一題的隱含條件或者為下一題提供思路.要用聯(lián)系整體的眼光看各個小題,體會它們之間的關(guān)聯(lián),包括題目提供的圖,主動利用題目的已知條件和題目順序.通過一步步的自我提問將題目難點逐步突破,這也是分析問題,解決問題的有效方式.

3 感悟反思

數(shù)學(xué)教育家波利亞曾經(jīng)提出：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑是由自己發(fā)現(xiàn),因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深,也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.”[1]最有效的復(fù)習(xí),是通過講解一道題,建立基本模型,總結(jié)出一般思想和方法,串起一類題.培養(yǎng)學(xué)學(xué)生化歸能力,“將未知的、陌生的和復(fù)雜的問題通過演繹歸納,轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的和簡單問題”.[2]