江蘇省徐州市第二十六中學(221000) 史志偉

在2018年中考中,出現(xiàn)了與生活密切相關(guān)的新試題,即顯示數(shù)學源于生活,同時數(shù)學又可以解決生活中的實際問題,現(xiàn)選取部分試題進行賞析.

例1(紹興)利用如圖1 的二維碼可以進行身份識別.某校建立了一個身份識別系統(tǒng), 圖2 是某個學生的識別圖案, 黑色小正方形表示1, 白色小正方形表示0.將第一行數(shù)字從左到右依次記為a,b,c,d,那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級序號, 其序號為a × 23+ b × 22+ c × 21+ d × 20.如圖2 第一行數(shù)字從左到右依次為0, 1, 0, 1, 序號為0×23+1×22+0×21+1×20= 5, 表示該生為5 班學生.則表示6 班學生的識別圖案是( )

圖1

圖2

分析根據(jù)班級序號的計算方法一一進行計算即可.

解對于B 選項,第一行數(shù)字從左到右依次為0,1,1,0,序號為0×23+1×22+1×21+0×20=6,表示該生為6班學生,故本題選B.

賞析本題出現(xiàn)了二維碼這一近幾年新生事物,學生對此很熟悉,微信的應用走進了大家的生活,一個微信號可產(chǎn)生二維碼,但二維碼對我們來說是抽象的;那么從生活中的數(shù)學角度,又如何識別學生的身份呢? 當然通過算式計算就可以求出學生所在的班級;從題型上看屬于數(shù)學中的新定義題型,與生活息息相關(guān),考查了學生的抽象辨析能力.

例2(溫州)小明發(fā)現(xiàn)相機快門打開過程中,光圈大小變化如圖3 所示,于是他繪制了如圖4 所示的圖形.圖4 中六個形狀大小都相同的四邊形圍成一個圓的內(nèi)接六邊形和一個小正六邊形,若PQ 所在的直線經(jīng)過點M,PB =5cm,小正六邊形的面積為則該圓的半徑為____cm.

圖3

圖4

分析隨著人們生活水平的提高,很多家庭都擁有了相機,光圈的大小是受圓和多邊形影響的,要設(shè)法尋找圓和兩個正六邊形之間的關(guān)系.

解設(shè)兩個正六邊形的中心為O,連接OP,OB,過點O 作OG ⊥PM于點G,OH ⊥AB 于點H,如圖5 所示, 由題意得∠MNP = ∠NMP =∠MPN = 60°,所以△PMN 是一個等邊三角形, 邊長而且面積等于小正六邊形的面積的故△PMN 的面積為因為OG ⊥PM,且O 是正六邊形的中心,所以所以在R t △OPG 中,根據(jù)勾股定理得OP2=OG2+PG2,即OP2, 所以O(shè)P = 7, 設(shè)OB 為x, 因為OH ⊥A B 且O 是正六邊形的中心, 所以所以在R t △PHO 中, 根據(jù)勾股定理得OP2= PH2+OH2,即解得：x1=8,x2=-3(舍),故該圓的半徑為8cm,答案為8.

賞析沒想到吧,相機中也有數(shù)學問題;在光圈變化過程中,通過正六邊形、正三角形、圓的變換,構(gòu)成了一幅美妙的數(shù)學畫卷.解題中兩次運用勾股定理,再加上三角函數(shù),巧妙解決了問題;培養(yǎng)了學生的邏輯推理與幾何直觀能力.

例3(衢州)某游樂園有一個直徑為16 米的圓形噴水池,噴水池的周邊有一圈噴水頭,噴出的水柱為拋物線,在距水池中心3 米處達到最高,高度為5 米,且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合.如圖6 所示,以水平方向為x 軸,噴水池中心為原點建立直角坐標系.

圖5

(1) 求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式;

(2) 王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間,噴水管意外噴水,為了不被淋濕,身高1.8 米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內(nèi)?

(3) 經(jīng)檢修評估,游樂園決定對噴水設(shè)施做如下設(shè)計改進：在噴出水柱的形狀不變的前提下,把水池的直徑擴大到32 米, 各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物(高度不變)處匯合,請?zhí)骄繑U建改造后噴水池水柱的最大高度.

圖6

分析(1) 根據(jù)頂點坐標可設(shè)二次函數(shù)的頂點式,代入點(8,0),求出a 的值,此題得解;

解(1) 設(shè)水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式為y =a(x-3)2+5(a0),將(8,0)代入得25a+5=0,解得所以水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式為

分析(2) 利用二次函數(shù)圖像上點的坐標特征,求出當y =1.8 時x 的值,由此即可得出結(jié)論;

解(2) 當y = 1.8 時,有解得x1= -1(舍去),x2= 7,所以為了不被淋濕,身高1.8 米的王師傅站立時必須在離水池中心7 米以內(nèi).

分析(3) 利用二次函數(shù)圖像上點的坐標特征可求出拋物線與y 軸的交點坐標, 由拋物線的形狀不變可設(shè)改造后水柱所在拋物線(第一象限部分) 的函數(shù)表達式為代入點(16,0)可求出b 值,再利用配方法將二次函數(shù)表達式變形為頂點式,即可得出結(jié)論.

解(3) 當x = 0 時,設(shè)改造后水柱所在拋物線(第一象限部分) 的函數(shù)表達式為因為該函數(shù)圖象過點(16,0),所以解得b = 3, 所以改造后水柱所在拋物線(第一象限部分) 的函數(shù)表達式為所以擴建改造后噴水池水柱的最大高度為米.

賞析利用數(shù)學建模思想,先解決拋物線問題,再根據(jù)實際需要引出安全問題及改擴建問題,彰顯了數(shù)學為生活服務(wù)的宗旨.

例4(臨安)用一條寬相等的足夠長的紙條,打一個結(jié),如圖7 所示,然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖8 所示的正五邊形ABCDE,其中∠BAC =______度.

圖7

圖8

分析利用多邊形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題.

解因為五邊形ABCDE 是正五邊形,所以∠ABC =而△ABC 是等腰三角形, 所以∠BAC =∠BCA=36°,故答案為36.

賞析本題是折疊問題,通過折疊產(chǎn)生新圖形正五邊形,顯出了一種美感;體現(xiàn)了積累基本活動經(jīng)驗這一核心素養(yǎng).

例5(金華) 小靚用七巧板(如圖9) 拼成一幅裝飾圖,如圖10 所示,放入長方形ABCD 內(nèi),裝飾圖中的三角形頂點E,F 分別在邊AB,BC 上,三角形 ①的邊GD 在邊AD上,則的值是____.

圖9

圖10

分析可設(shè)原來七巧板的邊長為4(或一個字母),在圖10 中,需要作輔助線,尋求七巧板中相關(guān)圖形線段之間的關(guān)系是關(guān)鍵,進而求出AB 與BC 的長.

圖11

解如圖11,過G 作于H,交三角形 ②斜邊于點I,則AB = GH = GI +HI,BC =AD = AG+GD = EI +GD,設(shè)原來七巧板的邊長為4,則三角形 ②斜邊的長度為4,三角形 ③斜邊長則AB = GI +IH =而AG = EI = 4,GD = 4, 則BC = 8, 所以故答案為

賞析小小七巧板,構(gòu)筑數(shù)學大舞臺,七巧板中的相關(guān)圖形的線段之間有密切的關(guān)系,這也是本題的突破所在.

例6(臺灣)如圖12 的宣傳單為菜克印刷公司設(shè)計與印刷卡片計價方式的說明, 妮娜打算請此印刷公司設(shè)計一款母親節(jié)卡片并印刷,她再將卡片以每張15 元的價格販售.若利潤等于收入扣掉成本,且成本只考慮設(shè)計費與印刷費, 則她至少需印多少張卡片, 才可使得卡片全數(shù)售出后的利潤超過成本的2 成? ( )

圖12

A.112 B.121 C.134 D.143

分析設(shè)妮娜需印x 張卡片,根據(jù)利潤=收入-成本,結(jié)合利潤超過成本的2 成,即可得出關(guān)于x 的一元一次不等式,解之即可得出x 的取值范圍,取其內(nèi)最小的整數(shù)即可得出結(jié)論.

解設(shè)妮娜需印x 張卡片,根據(jù)題意得15x-1000-5x ＞0.2(1000+5x),解得因為x 為整數(shù),所以x ≥134.

答：妮娜至少需印134 張卡片,才可使得卡片全數(shù)售出后的利潤超過成本的2 成,故選C.

王府飯店門口，矗立著一個大大的氣囊，上寫著：瑞恩·杰克蘇婷婷婚禮志喜。一輛掛彩的紅色寶馬駛來，立刻鞭炮齊鳴，鼓樂聲起。車門打開，身著婚紗的蘇婷婷和身著禮服的杰克下了車，周圍人鼓起掌來。杰克拉著蘇婷婷的手，向周圍人群連連揮手。彩絲彩帶同時在兩人頭上飄下。

賞析臺灣的這個中考題考查的是利潤問題,根據(jù)題目意思列出不等式即可,體現(xiàn)數(shù)學建模思想.

例7(達州)如圖13,在物理課上,老師將掛在彈簧測力計下端的鐵塊浸沒于水中,然后緩慢勻速向上提起,直至鐵塊完全露出水面一定高度,則下圖能反映彈簧測力計的讀數(shù)y(單位：N)與鐵塊被提起的高度x(單位：cm)之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖像是( )

圖13

分析根據(jù)題意,利用分類討論的數(shù)學思想可以解答本題.

解由題意可知,鐵塊露出水面以前,F拉+F浮= G,浮力不變,故此過程中彈簧的度數(shù)不變;當鐵塊慢慢露出水面開始,浮力減小,則拉力增加;當鐵塊完全露出水面后,拉力等于重力,故選D.

賞析本題考查函數(shù)圖像,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,要運用物理學的知識,再運用數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學思想解答,展現(xiàn)了數(shù)學與其他學科的融合.

圖14

練習2(隨州)隨州市新水一橋(如圖15)設(shè)計靈感來源于市花--蘭花,采用蝴蝶蘭斜拉橋方案,設(shè)計長度為258 米, 寬32 米, 為雙向六車道, 2018年4 月3 日通車.斜拉橋又稱斜張橋,主要由索塔、主梁、斜拉索組成.某座斜拉橋的部分截面圖如圖16 所示, 索塔AB 和斜拉索(圖中只畫出最短的斜拉索DE 和最長的斜拉索AC) 均在同一水平面內(nèi),BC 在水平橋面上.已知∠ABC = ∠DEB = 45°,∠ACB =30°,BE =6 米,AB =5BD.

(1) 求最短的斜拉索DE 的長;

(2) 求最長的斜拉索AC 的長.

圖15

圖16

通過以上試題分析和練習,我們知道對于與生活相關(guān)的問題,這也是各地中考試題的熱點;在以后的教學中,我們要關(guān)注這類吃穿住行的問題;在平時的課堂中,首先,說明生活中孕育著數(shù)學問題,另一方面,生活中的問題是可以用數(shù)學解決的;這樣能充分激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,興趣是最好的老師,學生的數(shù)學綜合能力自然能提高.其次,注重數(shù)學實驗,在教學中,還要培養(yǎng)學生動手實踐的能力,讓學生親自操作,比如拼圖、旋轉(zhuǎn)、平移、翻折折紙等,手腦并用,在實驗中積累經(jīng)驗,思考中增長智慧.最后,注重數(shù)學與其他學科的融合;中考中,不僅考查數(shù)學知識,還有語文、物理、生物等知識,教師在平時多留心此類的問題,也可以買些數(shù)學科普讀物讓同學們?nèi)ラ喿x,開闊視野,培養(yǎng)思維.通過以上三個方面,就會培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識與應用意識,培養(yǎng)用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的語言表達世界、用數(shù)學的思維思考世界的能力,從而提高學生的核心素養(yǎng).