江蘇省揚州大學數(shù)學與科學學院(225000)徐理宜 陳算榮

1 初中函數(shù)概念教學現(xiàn)狀

函數(shù)是對變化過程中兩個變量之間依賴關(guān)系的刻畫,是一種常見的數(shù)學模型,很多數(shù)學知識都是以函數(shù)概念為基礎(chǔ)而發(fā)展的.因此函數(shù)在數(shù)學發(fā)展過程中起著十分重要的作用,而函數(shù)概念本身十分抽象,初中函數(shù)概念是初中遇到的第一個用“數(shù)學關(guān)系概念定義法”給出的概念,要懂得它的本質(zhì)(對應(yīng)關(guān)系)對于初中生來說是比較困難的,正因為如此,現(xiàn)在很多初中生在學完函數(shù)概念后并不清楚函數(shù)的本質(zhì)是什么.對“函數(shù)是不是數(shù)”、“函數(shù)是不是一定有解析式”等問題,很多學生在學過函數(shù)概念后根本給不出正確的回答.

2 歷史發(fā)生原理

事實上,學生在數(shù)學學習過程中的個人認知障礙與科學知識的發(fā)展過程中所遇到的障礙具有很高的相似度[1].讓學生經(jīng)歷、體驗數(shù)學概念、公式、定理的發(fā)展、發(fā)現(xiàn)過程的重要環(huán)節(jié),有助于學生跨越學習中的思維障礙,更好地掌握和理解概念的本質(zhì),這也是基于歷史發(fā)生原理的教學的初衷和內(nèi)涵.

3 函數(shù)概念發(fā)展簡史

著名數(shù)學家萊布尼茨是最早使用“函數(shù)”一詞的人,他當時僅用函數(shù)表示曲線上的點或線,經(jīng)過半個世紀的發(fā)展,到18世紀中期,數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了變量之間有相互依賴的變化關(guān)系,于是他指出函數(shù)可以用解析式表示,到18世紀后期,人們都沒有跳出函數(shù)一定有解析式的思維圈.直到1821年,法國的數(shù)學家柯西重新給函數(shù)下了定義,他說當給定某個變量一個值,其他變量的值就被確定的時候,我們可以想象這些其他被確定的量都跟最開始的變量是有關(guān)的,于是他就給最開始變化的量取名為自變量,而隨著自變量的確定而隨之確定的其他量叫做這個自變量的函數(shù)[1].這時候他指出函數(shù)并一定要有解析式.他所給出的定義與我們今天初中教科書的函數(shù)概念就極為相似了,20世紀初布爾巴基學派用集合論的語言重新描述了函數(shù)的定義,與我們今天高中教科書上的函數(shù)概念對應(yīng).函數(shù)概念先后經(jīng)歷了“幾何說”、“變量說”、“對應(yīng)說”、集合說”的發(fā)展.

4 基于歷史發(fā)生原理下的初中函數(shù)概念教學(片斷)設(shè)計

4.1 引入環(huán)節(jié)

用幾何畫板動態(tài)展示在直角坐標系中的曲線上找一點,只要給出這個點的橫坐標,這一點就會在曲線上被確定下來,也就是說這一個在曲線上的點的縱坐標會隨著橫坐標的確定而確定.通過展示PPT,闡述函數(shù)一詞,最初是在德國數(shù)學家萊布尼茨1673年的手稿里使用的,但它僅表示關(guān)于曲線上的點的橫坐標和縱坐標,以及一些線段(如弦、切線、法線等).接下來設(shè)置懸念：經(jīng)過幾個世紀的發(fā)展,我們今天所要學習的函數(shù)的概念是到底是怎么樣定義的呢? 接下來我們一起來探究.

設(shè)計意圖用幾何畫板動態(tài)展示要在直角坐標系中的曲線上找一點,只要給出這個點的橫坐標,這一點就會在曲線上被確定下來的現(xiàn)象是為了給學生函數(shù)的初體驗,并不要求學生完全理解.但是可以由這一活動引出函數(shù)概念的發(fā)展史,并引發(fā)學生對函數(shù)概念的產(chǎn)生的強烈的好奇心.

4.2 探究環(huán)節(jié)

在數(shù)學史上,數(shù)學家們對函數(shù)認識經(jīng)歷從“幾何說”到“解析式說”再到“對應(yīng)說”的發(fā)展,根據(jù)函數(shù)的歷史發(fā)生過程,設(shè)置如下三個問題探究：

問題一氣象站測得某市某日氣溫變化圖如圖1所示,請學生思考：

(1)在這個變化過程中,哪些量是變量?

(2)你能說說這些變量之間有什么關(guān)系嗎?

圖1 某市某日氣溫隨時間變化圖

問題二汽車以100km/h 的速度在一條筆直的公路上行駛,

(1)1 小時后,汽車行駛的路程為____;

(2)2 小時后,汽車行駛的路程為____;

(3)t小時后,設(shè)汽車行駛的路程為y千米,則y=____.

思考：

(1)行駛路程隨____的變化而變化,即y隨____的變化而變化;

(2)當行駛時間t取定一個確定的值時,對應(yīng)的行駛路程y的取值是否唯一確定?

問題三下面表1是近幾年某市某一中學的入學人數(shù)統(tǒng)計表,請根據(jù)前面兩題的解法,回答：

(1)在這個變化過程中,哪些量是變量?

(2)你能說說這些變量之間有什么關(guān)系嗎?

表1 某市一中學近六年來入學人數(shù)統(tǒng)計

設(shè)計意圖選取來自于實際生活中的三個例子有多重意圖.首先,這些貼近學生生活實際的例子很容易將學生帶入課堂并且能使其迅速進入思考狀態(tài),通過挖掘和利用實際生活中與變量有關(guān)的問題,讓學生經(jīng)歷探索具體情境中兩個變量之間對應(yīng)關(guān)系的過程,直接獲得探索變量關(guān)系的體驗.其次,學生對于函數(shù)概念認識的初級階段跟當年大多數(shù)數(shù)學家一樣,以為函數(shù)必須要有解析式,否則就不是.而問題一中的圖,問題三中的表的例子就給了學生直觀的沖擊,雖變量間寫不出解析式,但仍有依賴關(guān)系,這些也都是函數(shù),由此更加深刻地揭露了函數(shù)概念中對應(yīng)的本質(zhì)思想.再者,只要教師稍做引導,學生就能從上述的三個實例發(fā)現(xiàn)函數(shù)的表示方法有解析式法、圖象法、列表法三種,讓學生這樣有依據(jù)地發(fā)現(xiàn)歸納知識更加有利于學生認知結(jié)構(gòu)的良好建構(gòu).

4.3 生成環(huán)節(jié)

教師可以利用PPT 再現(xiàn)以上三個問題,并提問,上述三個問題都取材于我們的生活,根據(jù)我們剛剛的探究,想一想它們有什么樣的共同特征? 多數(shù)學生會發(fā)現(xiàn)以上三個問題中都是含有兩個變量,并能指出兩個變量之間的關(guān)系是當一個變量變化時,另外的一個量都有唯一的值與之對應(yīng).教師可以順著學生的回答引出函數(shù)的概念,生活中還有許許多多存在著這樣的規(guī)律的例子,我們可以用函數(shù)來刻畫它們的共同特征,一般地,在一個變化過程中的兩個變量x和y,如果對于x的每一個值,y都有唯一的值與它對應(yīng),那么我們稱y是x的函數(shù),x是自變量.

通過這樣一個探究—發(fā)現(xiàn)—歸納概括的過程,讓學生體驗到函數(shù)概念的核心就是在刻畫兩個變量之間的關(guān)系,所以函數(shù)并不是一個數(shù).三個實例也從側(cè)面讓學生了解到函數(shù)三種表示方式,因此并不一定都有解析式.通過上例不難看出,基于歷史發(fā)生原理下的概念教學,一方面可以激發(fā)學生的學習興趣,幫助學生理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵,另一方面,讓學生了解概念的歷史發(fā)展過程,體驗到數(shù)學家們一步步解決困境的智慧和科學概念發(fā)展的艱難曲折,可以增進學生數(shù)學情感體驗,促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展.中學中有許許多多抽象的概念都有其“成長歷程”,了解概念背后的歷史,將“它的故事”帶入數(shù)學概念教學的課堂,能使概念的種子深入人心,并能生根發(fā)芽.