馮安同

問(wèn)題引入如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x，y軸的正半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，4）.點(diǎn)M是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），反比例函數(shù)y=kx（k>0，x>0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)M且與邊AB交于點(diǎn)N，點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段BM，BN，BC，BA四條線段有何比例關(guān)系？

探究1若M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)嗎？

分析由點(diǎn)B坐標(biāo)（8，4）及點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，易得點(diǎn)M坐標(biāo)為（4，4），代入反比例函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx，求得 k=16.將N點(diǎn)橫坐標(biāo)x=8代入y=16x得y=2，則點(diǎn)N（8，2）是邊AB的中點(diǎn).

這時(shí)BMBC=BNBA=12.

探究2若BM=14BC，那么BN=14BA嗎？

分析由點(diǎn)B坐標(biāo)（8，4）及BM=14BC，易得點(diǎn)M坐標(biāo)為（6，4），代入反比例函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx，求得k=24.將N點(diǎn)橫坐標(biāo)x=8代入y=24x得y=3，所以點(diǎn)N坐標(biāo)是（8，3），所以BN=1，又因?yàn)锳B=4，那么BN=14BA.

這時(shí)BMBC=BNBA=14.

由前面的探究我們知道：

① 當(dāng)M是BC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，這時(shí)BMBC=BNBA，即BMBN=BCBA;

② 當(dāng)BM=14BC，BN=14BA，同樣有BMBC=BNBA，也能得到BMBN=BCBA.

那么點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，BMBN=BCBA具有普遍性嗎？

探究3在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試說(shuō)明：BMBN=BCBA.

分析由y=kx及點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y=4，可得x=k4，所以BM=8-k4.同樣由y=kx及點(diǎn)N的橫坐標(biāo)x=8，可得y=k8，所以BN=4-k8.

這樣BMBN=8-k44-k8=14（32-k）18（32-k）=2.

由于BCBA=84=2，這樣BMBN=BCBA.

結(jié)論通過(guò)探究3我們發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在BMBN=BCBA.

那么上述結(jié)論有什么作用呢？

例1如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x，y軸的正半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，4）.點(diǎn)M是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），反比例函數(shù)y=kx（k>0，x>0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)M且與邊AB交于點(diǎn)N，連接MN，AC，試證明MN∥AC.

分析由探究3的結(jié)論知道，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中有BMBN=BCBA，又因?yàn)椤螹BN=∠CBA，所以△MBN∽△CBA，所以∠BMN=∠BCA，從而證得MN∥AC.

例2如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x，y軸的正半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，4）.點(diǎn)M是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），反比例函數(shù)y=kx（k>0，x>0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)M且與邊AB交于點(diǎn)N，將△BMN沿MN折疊，點(diǎn)B恰好落在邊OA上的點(diǎn)G處，求此時(shí)反比例函數(shù)的解析式.

分析由探究3知，BMBN=BCBA=84=2，

過(guò)點(diǎn)M作MD⊥OA于D，

∴MD=OC=4，∠MDG=∠GAN=90°，

∴∠MGD+∠DMG=90°.

由折疊知，MG=MB，NG=NB，∠MGN=∠B=90°，

∴∠MGD+∠AGN=90°，

∴∠DMG=∠AGN.

∵∠MDG=∠GAN=90°，

∴△MDG∽△GAN，∴MDAG=MGGN=BMBN.

又∵BMBN=BCBA=2，∴4AG=2，∴AG=2.

設(shè)AN=a，則GN=BN=4-a.

在Rt△NAG中，NG2-AN2=AG2，

∴（4-a）2-a2=22，∴a=32，

∴點(diǎn)N坐標(biāo)為8，32，∴k=8×32=12，

∴反比例函數(shù)解析式為y=12x.