祁玄玄，楊興業(yè)，熊 鑫，牟成銘，曹建安

(1.西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，陜西西安 710049；2.航空工業(yè)成都飛機(jī)工業(yè)(集團(tuán))有限公司，四川 成都 610031)

多電飛機(jī)技術(shù)改變傳統(tǒng)液壓、機(jī)械式的動(dòng)力系統(tǒng)， 將飛機(jī)電能的產(chǎn)生、分配和使用集成到一個(gè)統(tǒng)一電力系統(tǒng)中，實(shí)現(xiàn)多電飛機(jī)電能發(fā)、輸、變、配的統(tǒng)一規(guī)劃。由于多電飛機(jī)成品部件數(shù)量和種類的增加，多電飛機(jī)供電可靠度評(píng)估成為一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。如何構(gòu)建適用于多電飛機(jī)可靠度評(píng)估的數(shù)學(xué)模型對(duì)其故障預(yù)測(cè)以及可靠運(yùn)行具有重要意義。

文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［2］介紹了多電飛機(jī)電源系統(tǒng)可靠度分析模型，并且從各個(gè)方面說(shuō)明計(jì)算多電飛機(jī)供電可靠度的重要性。采用故障樹(shù)［3-6］對(duì)飛機(jī)供電系統(tǒng)可靠度進(jìn)行分析是一種傳統(tǒng)分析方式，該方法是從理論上給出了飛機(jī)可靠度分析結(jié)果。但是隨著飛機(jī)供電系統(tǒng)元件數(shù)目的增加，故障樹(shù)方法的分析復(fù)雜性較大，并且很難對(duì)整個(gè)供電系統(tǒng)做可靠度評(píng)估。后來(lái)引入鄰接矩陣算法［7-9］求故障樹(shù)的最小割集，以改善故障樹(shù)提取割集的效率，該算法具有較強(qiáng)的通用性，在一定程度上彌補(bǔ)了故障樹(shù)的不足。但飛機(jī)供電系統(tǒng)元件數(shù)目的增加使得該算法的分析過(guò)程復(fù)雜，計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。由于計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的提升，概率分析方法-蒙特卡洛法［10-12］逐漸應(yīng)用在對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的可靠度評(píng)估中，該方法應(yīng)用靈活、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單。由于系統(tǒng)元件較多，且故障率較低，如果直接使用傳統(tǒng)蒙特卡洛法對(duì)整個(gè)多電飛機(jī)供電系統(tǒng)做可靠度評(píng)估，就需要大量抽樣，這將大大降低該算法的效率。

針對(duì)以上問(wèn)題，通過(guò)信息熵［13］引入多元件系統(tǒng)的近似概率分布，該近似概率分布可使可靠度評(píng)估方差近似為零，從而改善了抽樣效率。最后通過(guò)一個(gè)用例驗(yàn)證了本文的方法在多電飛機(jī)供電系統(tǒng)可靠度評(píng)估中的優(yōu)越性。

1 多電飛機(jī)可靠度解析模型

圖1為某多電飛機(jī)供電系統(tǒng)簡(jiǎn)圖，該多電系統(tǒng)由低壓直流電和三相恒頻交流電系統(tǒng)組成［14］。從圖1中可以看出，保護(hù)器和發(fā)電機(jī)以及接觸器構(gòu)成發(fā)電機(jī)發(fā)電系統(tǒng)。交流發(fā)電機(jī)系統(tǒng)與直流系統(tǒng)為互為熱備用的并聯(lián)系統(tǒng)，應(yīng)急交流發(fā)電機(jī)作為冷備用系統(tǒng)的模型。所謂的冷備用意味著當(dāng)系統(tǒng)的某個(gè)供電部件發(fā)生故障時(shí)，備用供電部件需立即被更換上，并且備用供電部件在備用期間不會(huì)發(fā)生故障或劣化。雖然單供電模式，比如串聯(lián)、并聯(lián)或冷備用等可靠性模型都能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)的供電性能要求，但在元器件老化、失效等約束條件下，系統(tǒng)高可靠性的要求有時(shí)無(wú)法被滿足。因此為實(shí)現(xiàn)多電飛機(jī)的高可靠性要求，多電飛機(jī)電源系統(tǒng)往往由典型的供電拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，如串聯(lián)、并聯(lián)、冷備用等組合而成。

圖1 多電飛機(jī)供電系統(tǒng)簡(jiǎn)圖

元件的故障概率密度函數(shù)為fi(t)，i代表元件個(gè)數(shù)。為得出元件的故障概率需要對(duì)元件的概率密度函數(shù)積分，故障概率和“1”作差求出元件t時(shí)刻的可靠度Ri(t)。

串聯(lián)系統(tǒng)可靠度準(zhǔn)則是各個(gè)串聯(lián)元件可靠度累積為整個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)可靠度，所以得到每個(gè)串聯(lián)子系統(tǒng)的可靠度函數(shù)表達(dá)式如下。

式中，Rsn(t)為串聯(lián)子系統(tǒng)t時(shí)刻的可靠度；m為串聯(lián)子系統(tǒng)元件個(gè)數(shù)；n為串聯(lián)子系統(tǒng)個(gè)數(shù)。

并聯(lián)系統(tǒng)可靠度準(zhǔn)則是并聯(lián)系統(tǒng)故障概率是n個(gè)并聯(lián)子系統(tǒng)故障概率累積。通過(guò)累積先求得系統(tǒng)故障概率，然后與“1”作差得到整個(gè)系統(tǒng)的可靠度模型。

式中，R(t)為t時(shí)刻并聯(lián)系統(tǒng)可靠度；n為并聯(lián)系統(tǒng)元件個(gè)數(shù)。通過(guò)上述推導(dǎo)可以得出本文簡(jiǎn)化飛機(jī)供電系統(tǒng)模型的系統(tǒng)可靠度解析表達(dá)式。由于各個(gè)元件的概率分布不同，式(2)積分后再累積，所以其復(fù)雜性很高。為進(jìn)一步推出系統(tǒng)可靠度，式(3)的復(fù)雜性更加高。式(3)適用于本文飛機(jī)供電系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型。當(dāng)系統(tǒng)元件數(shù)量增加，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)也并非簡(jiǎn)單的串并聯(lián)，那么將很難求出如式(3)那樣的解析式。因此將回避解析法計(jì)算系統(tǒng)可靠度。采用蒙特卡洛對(duì)當(dāng)前短時(shí)間范圍的飛機(jī)系統(tǒng)故障情況抽樣。同時(shí)引入信息熵的方法對(duì)樣本抽樣概率密度函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，該概率密度函數(shù)可以有效地解決傳統(tǒng)蒙特卡羅方法仿真效率低的問(wèn)題。為建模方便，本文簡(jiǎn)化了過(guò)程，假設(shè)系統(tǒng)中每個(gè)組件的狀態(tài)模型是雙態(tài)模型。

2 多電飛機(jī)可靠度估計(jì)模型

2.1 蒙特卡洛模型

基于非序貫蒙特卡洛模擬法飛機(jī)供電系統(tǒng)可靠度評(píng)估過(guò)程如下。

(1)隨機(jī)抽樣決定元件狀態(tài)。

根據(jù)式(4)得出系統(tǒng)元件狀態(tài)。

式中，Xin代表第n個(gè)元件的第i次抽樣狀態(tài)，“1”代表故障，“0”代表非故障；ξni代表第n個(gè)元件的第i次隨機(jī)抽樣數(shù)；un代表第n個(gè)元件的故障概率。

(2)分析系統(tǒng)狀態(tài)。

采樣得出系統(tǒng)組件的狀態(tài)并分析系統(tǒng)是否可以正常供電。故障為“0”，運(yùn)行為“1”。失負(fù)荷評(píng)估函數(shù)為F(X)。

(3)更新系統(tǒng)的可靠度。

根據(jù)式(5)得出當(dāng)前抽樣次數(shù)下系統(tǒng)可靠度估計(jì)值E^(F)。

式中，N為樣本總數(shù)；F(Xi)為第i次抽樣系統(tǒng)評(píng)估狀態(tài)。

(4)判斷是否跳出迭代。

式中，V(E^(F))代表可靠度估計(jì)值方差。根據(jù)計(jì)算方差系數(shù)β的值，判斷其是否小于設(shè)定的閾值，當(dāng)值小于閾值跳出循環(huán)，否則繼續(xù)執(zhí)行進(jìn)行抽樣。

2.2 信息熵模型

由于飛機(jī)供電系統(tǒng)可靠度較高，在進(jìn)行蒙特卡洛抽樣時(shí)很難抽樣得到系統(tǒng)故障元件，這樣計(jì)算得出的系統(tǒng)可靠度基本為1。這顯然不是本文需要的。為了提高采樣效率，改善原本系統(tǒng)的概率的分布f(x，u)為最優(yōu)概率分布g(x)，使得方差系數(shù)理論上可以為零。但是g(x)往往很難求解。為此，引入信息熵熵方法近似求解，信息熵一般用來(lái)衡量目標(biāo)分布與預(yù)測(cè)值分布之間的差距。利用信息熵構(gòu)造了接近g(x)分布的概率分布。

飛機(jī)供電系統(tǒng)的可靠度評(píng)估表達(dá)式如下：

式中，f(x，u)為系統(tǒng)元件狀態(tài)的概率密度函數(shù)；I為失負(fù)荷標(biāo)志函數(shù)；s(x)為系統(tǒng)在狀態(tài)x時(shí)系統(tǒng)供電量；r為負(fù)荷量；N為抽樣次數(shù)；Xi為第i次抽樣系統(tǒng)狀態(tài)；l為可靠度估計(jì)值。為了提高抽樣效率需要對(duì)式(7)進(jìn)行變形。變形后的概率密度可以使可靠度方差系數(shù)為零。變形如下：

式中，L(x)為系統(tǒng)元件原概率密度函數(shù)和改進(jìn)后概率密度函數(shù)比值，常被稱為似然比；g(x)是任意的概率密度函數(shù)。式(8)的蒙特卡洛估計(jì)值為：

式中，Xi為在概率密度函數(shù)g(x)下某次抽樣得到的系統(tǒng)狀態(tài)。

當(dāng)g(x)=gopt(x)時(shí)，l的系統(tǒng)可靠度估計(jì)方差為零。gopt(x)的表達(dá)式為

可以看出原來(lái)的概率密度函數(shù)除以l后的概率密度函數(shù)可使可靠度估計(jì)方差為零。因此蒙特卡洛抽樣時(shí)，就可以在gopt(x)概率密度函數(shù)下，隨機(jī)抽樣得出N個(gè)樣本。但是從式(10)可以看出gopt(x)和l相關(guān)，可l卻是待求量可靠度，所以直接使用gopt(x)概率密度函數(shù)是不現(xiàn)實(shí)的。

本文引入概率密度函數(shù)f(x，v)作為gopt(x)的近似概率密度函數(shù)。為了衡量f(x，v)和gopt(x)的接近程度，利用信息熵來(lái)衡量目標(biāo)分布與近似概率分布之間的距離D。如式(11)所示。

最小化f(x，v)和gopt(x)的接近程度就是求D的最小值，也就是求 －∫gopt(x)ln(f(x，v))dx的最小值。最后等價(jià)于式(12)的最大值問(wèn)題。

將式(10)中的gopt(x)代入式(11)得到式(13)。

由于l對(duì)于已知系統(tǒng)是常數(shù)。所以式(13)的等效估計(jì)值為

式中，Eu為概率密度函數(shù)f(x，u)抽樣求均值。上面的推導(dǎo)都是在概率密度函數(shù)的基礎(chǔ)上。由于本文變量為離散量，所以需要把概率密度函數(shù)轉(zhuǎn)換為概率分布函數(shù)。比如 f(x，u)轉(zhuǎn)換成 F(x，u)，f(x，v)轉(zhuǎn)換成 F(x，v)，積分變成求和。

X是通過(guò)概率分布函數(shù)F(x，u)抽樣得出的系統(tǒng)抽樣樣本。由于根據(jù)F(x，u)采樣產(chǎn)生的有效樣本較少，因此利用重要抽樣法代替F(x，u)為F(x，w)。所以式(14)變形為式(15)。

式中，Ew為概率密度函數(shù)f(x，w)抽樣求均值。其中W(X；u，w)=F(x，u)/F(x，w)。通過(guò)式(15)的極大值求解就可以得出系統(tǒng)的最優(yōu)概率分布函數(shù)F(x，v)?？梢钥闯鍪?15)的最大值求解是個(gè)多變量極大值優(yōu)化過(guò)程。引入差分進(jìn)化來(lái)迭代求解得出F(x，v)。然后在新的概率分布函數(shù)下抽樣得出樣本，根據(jù)式(4)求解出系統(tǒng)可靠度指標(biāo)。

為了進(jìn)一步提高采樣效率，通過(guò)對(duì)偶變數(shù)法(對(duì)偶抽樣)一次采樣產(chǎn)生彼此負(fù)相關(guān)的隨機(jī)數(shù)。利用相關(guān)點(diǎn)間負(fù)關(guān)聯(lián)的這個(gè)特點(diǎn)快速減小估計(jì)值的方差。

3 仿真與驗(yàn)證

3.1 實(shí)例化系統(tǒng)估計(jì)模型

根據(jù)文獻(xiàn)［15］中相關(guān)數(shù)據(jù)，給出兩個(gè)系統(tǒng)模型下供電系統(tǒng)各個(gè)元件的分布類型和參數(shù)。如表1所示為主要元件的失效分布參數(shù)。

表1 主要元件失效分布參數(shù)

本文中測(cè)試函數(shù)IS(X)＜r代表系統(tǒng)故障情況，S(X)＜r時(shí)為0，代表故障，S(X)＞r時(shí)為1，代表運(yùn)行。S(X)代表多電飛機(jī)系統(tǒng)的總發(fā)電量，r代表多電飛機(jī)總負(fù)荷。系統(tǒng)元件數(shù)目為n。規(guī)定Xk代表系統(tǒng)狀態(tài)空間向量 X 中的第 k次取值，X=［x1，x2，…，xn］。系統(tǒng)元件為雙態(tài)模型，ui代表元件i的故障概率。ui的具體數(shù)值由元件的失效概率密度函數(shù)積分得到。根據(jù)以上假設(shè)得出系統(tǒng)狀態(tài)概率分布函數(shù)F(x，u)。

由于S(X)＜r是小概率事件，因此本文先設(shè)法改變概率分布函數(shù)F(x，u)為F(x，v)。在改進(jìn)后概率分布函數(shù)F(x，v)下系統(tǒng)可靠度估計(jì)如式(17)所示。

式中，W(X，u，v)是修正系數(shù)。具體形式如下：

狀態(tài)空間概率的變化由參數(shù)向量v=［v1，v2，…，vn］決定，現(xiàn)在的問(wèn)題即尋找最優(yōu)的v以求取F(x，v)。由于差分進(jìn)化具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，性能優(yōu)越，且算法存在可協(xié)同搜索的特點(diǎn)。采用差分進(jìn)化算法求解最優(yōu)v，能夠達(dá)到快速優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)v的目的。

3.2 實(shí)現(xiàn)流程

①參數(shù)初始化。

初始化參數(shù)向量v，優(yōu)化過(guò)程樣本規(guī)模N，系統(tǒng)元件故障率ui，故障率縮放因子k，差分進(jìn)化迭代次數(shù)Ns。對(duì)偶變數(shù)法下抽樣樣本規(guī)模Nd，方差收斂系數(shù)β。

②確定優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

根據(jù)系統(tǒng)元件故障率ui，故障率縮放因子k，隨機(jī)抽樣N個(gè)抽樣樣本。根據(jù)式(15)確定優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

③變異。

種群中第i個(gè)體變異。通過(guò)差分策略實(shí)現(xiàn)個(gè)體變異。

④交叉。

交叉操作的目的是隨機(jī)選擇個(gè)體并確定是否接受上一步驟的結(jié)果。

⑤篩選。

采用貪婪選擇策略，即根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行優(yōu)勝劣汰的進(jìn)化。

⑥條件判斷。

判斷差分進(jìn)化迭代次數(shù)是否達(dá)到Ns。如果達(dá)到進(jìn)入下一步，此時(shí)系統(tǒng)概率分布函數(shù)為F(x，v)，否則跳轉(zhuǎn)回步驟③。

⑦對(duì)偶變數(shù)法抽樣。

在區(qū)間［0，1］內(nèi)產(chǎn)生n個(gè)樣本數(shù)組，同時(shí)用1減去該數(shù)組得到其對(duì)偶數(shù)組。通過(guò)式(4)得到本次抽樣系統(tǒng)元件狀態(tài)。

⑧計(jì)算可靠度指標(biāo)。

根據(jù)式(15)計(jì)算可靠度指標(biāo)。

⑨條件判斷。

判斷方差系數(shù)是否滿足收斂條件。如果滿足跳出循環(huán)，輸出相關(guān)信息和圖形，否則跳轉(zhuǎn)至步驟⑦。

3.3 仿真結(jié)果分析

圖2為系統(tǒng)元件的參數(shù)利用解析法得到各個(gè)元件可靠度分布曲線?？煽闯鱿到y(tǒng)元件可靠度大體上在運(yùn)行3000 h就會(huì)變得十分不可靠。

圖2 可靠度分布曲線

為驗(yàn)證本文算法的優(yōu)越性，使用傳統(tǒng)的蒙特卡洛法、解析法和基于信息熵的可靠度評(píng)估法仿真計(jì)算A和B系統(tǒng)。

為驗(yàn)證本文算法的收斂特性，仿真了蒙特卡洛法和基于信息熵的可靠度評(píng)估法的方差系數(shù)收斂特性。此階段仿真的是在1000 h時(shí)刻的系統(tǒng)可靠度。同時(shí)為了保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，對(duì)A系統(tǒng)進(jìn)行了3次可靠度評(píng)估。然后取3次結(jié)算結(jié)果的平均值作為最終結(jié)果。如圖3所示是采用Matlab仿真后方差系數(shù)收斂圖。

圖3 方差系數(shù)收斂圖

從圖3方差系數(shù)收斂圖可以看出，基于信息熵的可靠度評(píng)估法在評(píng)估飛機(jī)供電系統(tǒng)可靠度時(shí)具有非常好的收斂特性。本文方法在仿真次數(shù)為10000次的時(shí)候就可以達(dá)到很好的收斂穩(wěn)定性，而傳統(tǒng)的抽樣法需要在30000次的時(shí)候才可以達(dá)到很好的收斂穩(wěn)定性。相比較而言本文算法在收斂性上提高了2倍。

為驗(yàn)證本文算法的準(zhǔn)確性，本文分析解析法和基于信息熵的可靠度評(píng)估法可靠度隨時(shí)間變化特性。

圖4所示為電源系統(tǒng)可靠度隨時(shí)間變化的分布曲線。紅色線代表本文方法，藍(lán)色線代表傳統(tǒng)解析法。圖4可以看出對(duì)于A電源系統(tǒng)和B電源系統(tǒng)本文方法相比較傳統(tǒng)方法計(jì)算結(jié)果十分接近，從而驗(yàn)證了本文算法的準(zhǔn)確性。

圖4 電源系統(tǒng)可靠度

從上面分析可以得出對(duì)于電源系統(tǒng)的可靠度分析，采用基于信息熵的可靠度評(píng)估法所得可靠度估計(jì)模型的分析結(jié)果與直接采用蒙特卡羅仿真所得的可靠度分析結(jié)果相比收斂性較好，與傳統(tǒng)解析法所得的可靠度分析結(jié)果相比計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性較為接近，計(jì)算模型的復(fù)雜性較小。因此，該模型可以滿足航空電源系統(tǒng)可靠度估計(jì)的要求。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文使用基于信息熵的可靠度評(píng)估法評(píng)估復(fù)雜系統(tǒng)可靠度；采用信息熵引入其概率密度分布，從而使得可靠度方差在理論上為零；然后采用差分進(jìn)化求取近似概率函數(shù)；最后在近似的概率分布下，結(jié)合對(duì)偶變數(shù)法，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)抽樣做可靠度評(píng)估。文章最后采用一個(gè)算例，分別使用解析法、蒙特卡洛法、基于信息熵的可靠度評(píng)估法做可靠度評(píng)估。從收斂性上分析，本文方法與直接蒙特卡羅仿真所得的可靠度分析結(jié)果相比，收斂性提高2倍有余。從計(jì)算準(zhǔn)確性上分析，本文方法與傳統(tǒng)解析法所得的可靠度分析結(jié)果相比，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性較為接近。所以綜合分析本文方法非常適用于多電飛機(jī)電源系統(tǒng)可靠度評(píng)估。