張?jiān)?，劉澤翔，王晨?/p>

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

薄壁箱梁廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代橋梁工程中，其扭轉(zhuǎn)性能分析一直受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，文獻(xiàn)[1-9]已發(fā)表了相關(guān)成果。在薄壁箱梁的約束扭轉(zhuǎn)分析中，為了考慮二次剪切變形對(duì)縱向翹曲位移的影響，通常在自由扭轉(zhuǎn)翹曲位移模式基礎(chǔ)上，引入廣義翹曲位移β′代替扭率φ′，即對(duì)自由扭轉(zhuǎn)翹曲位移進(jìn)行修正，將其作為約束扭轉(zhuǎn)翹曲位移。建立約束扭轉(zhuǎn)微分方程時(shí)，需要首先建立β′與φ′的關(guān)系式，其中會(huì)出現(xiàn)一個(gè)翹曲系數(shù)μ，即箱梁橫截面極慣性矩和抗扭慣性矩之差與極慣性矩的比值[10-15]。翹曲系數(shù)μ是反映箱梁扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面翹曲程度的重要參數(shù)，它對(duì)約束扭轉(zhuǎn)內(nèi)力和應(yīng)力都有直接影響。顯然，合理計(jì)算極慣性矩是正確計(jì)算翹曲系數(shù)的基礎(chǔ)。在分析薄壁箱梁的約束扭轉(zhuǎn)時(shí)，文獻(xiàn)[10-12]只在閉口范圍內(nèi)計(jì)算極慣性矩而未考慮懸臂板部分，文獻(xiàn)[9，14-15]則在全截面上計(jì)算極慣性矩。由于極慣性矩與扭轉(zhuǎn)中心(扭心)至壁厚中心線距離的平方成正比，按上述兩種方法計(jì)算的結(jié)果將會(huì)相差較大，導(dǎo)致翹曲系數(shù)也相差較大。目前，對(duì)不同極慣性矩計(jì)算方法導(dǎo)致的約束扭轉(zhuǎn)內(nèi)力和應(yīng)力變化的研究，尚未見文獻(xiàn)報(bào)道。此外，為了簡化計(jì)算薄壁箱梁的約束扭轉(zhuǎn)幾何特性，文獻(xiàn)[16-19]推導(dǎo)了計(jì)算扭心位置、廣義主扇性坐標(biāo)及主扇性慣性矩等幾何特性的實(shí)用公式，但沒有涉及極慣性矩的計(jì)算。綜上所述，有必要開展極慣性矩的合理計(jì)算及其對(duì)約束扭轉(zhuǎn)內(nèi)力和應(yīng)力影響的研究。

本文在闡明薄壁箱梁翹曲系數(shù)的引入及極慣性矩合理計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，應(yīng)用約束扭轉(zhuǎn)微分方程的初參數(shù)解，結(jié)合簡支箱梁數(shù)值算例，具體分析極慣性矩和翹曲系數(shù)的不同計(jì)算結(jié)果對(duì)約束扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響規(guī)律，對(duì)合理計(jì)算極慣性矩提出建議。

1 極慣性矩和翹曲系數(shù)的引入

根據(jù)烏曼斯基第二理論及剛周邊假設(shè)，薄壁箱梁發(fā)生約束扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面壁厚中心線上任一點(diǎn)處的縱向翹曲位移u(z，s)和切向位移v(z，s)可分別表達(dá)為

(1)

v(z，s)=φ(z)ρ(s)

(2)

在箱梁橫截面的閉口部分，箱壁厚度中心線上任一點(diǎn)處的剪應(yīng)力τc為

(3)

式中：G為剪切模量；uc和vc分別為閉口部分壁厚中心線處的翹曲位移和切向位移，只需將式(1)和式(2)中的ρ改為ρc后即可得到uc和vc的表達(dá)式，ρc為扭心至閉口部分壁厚中心線的垂直距離。

將uc和vc的表達(dá)式代入式(3)，可得

(4)

則橫截面閉口部分剪應(yīng)力合成的扭矩Mzc為

Mzc=∮τcρctds=GIρc(φ′-β′)+GIdβ′

(5)

在箱梁橫截面上，懸臂板屬于開口部分。懸臂板厚度中心線上任一點(diǎn)處的翹曲位移uo和切向位移vo分別為

(6)

vo(z，s)=φ(z)ρo(s)

(7)

(8)

可以證明，薄壁箱梁發(fā)生約束扭轉(zhuǎn)時(shí)，閉口箱室兩側(cè)懸臂板上的剪應(yīng)力τo方向是相同的。故由τo合成的扭矩Mzo為

(9)

將Mzc與Mzo相加，可得橫截面上的總扭矩Mz為

Mz=G(Iρc+Iρo)(φ′-β′)+GIdβ′=GIρ(φ′-μβ′)

(10)

式中：Iρ為箱梁橫截面的極慣性矩，Iρ=Iρc+Iρo；μ為翹曲系數(shù)，μ=(Iρ-Id)/Iρ。

上述推演表明，計(jì)算薄壁箱梁橫截面的極慣性矩時(shí)，應(yīng)該在全截面上計(jì)算才合理。而文獻(xiàn)[10-12]只在閉口范圍內(nèi)計(jì)算橫截面的極慣性矩，這顯然是不合理的。

應(yīng)該指出，薄壁箱梁發(fā)生約束扭轉(zhuǎn)時(shí)，無論在閉口箱壁還是懸臂板內(nèi)，除前述剪應(yīng)力外，還有沿壁厚呈線性分布的圣維南剪應(yīng)力τs(在壁厚中心線處為0)，但這部分圣維南剪應(yīng)力對(duì)應(yīng)的扭矩和抗扭慣性矩均較小，通常忽略不計(jì)。此外，不能直接按式(3)和式(8)計(jì)算約束扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力，而應(yīng)按薄壁微元體平衡條件或根據(jù)自由扭矩和二次扭矩進(jìn)行計(jì)算。

2 初參數(shù)解及其應(yīng)用

根據(jù)薄壁箱梁的約束扭轉(zhuǎn)理論，在式(10)基礎(chǔ)上可建立關(guān)于扭轉(zhuǎn)角φ的微分方程[10]

(11)

(12)

圖1 跨中作用集中扭矩荷載的簡支箱梁

(13)

則箱梁任一截面的廣義位移和內(nèi)力為

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

式中：Md(z)為自由扭矩；Mω(z)為二次扭矩；M(z)為總扭矩；帶有符號(hào)‖l/2的項(xiàng)表示只對(duì)z>l/2的截面才需計(jì)入該項(xiàng)。

3 數(shù)值算例分析

圖2 簡支箱梁橫截面(單位：m)

分別使用翹曲系數(shù)的兩個(gè)計(jì)算值μ1和μ2，應(yīng)用薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)解析理論對(duì)距跨中2 m處橫截面上的翹曲正應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算，連同應(yīng)用ANSYS有限元軟件中SHELL63殼單元的計(jì)算結(jié)果一并示于圖3中。箱梁共劃分為13 200個(gè)殼單元、13 222個(gè)節(jié)點(diǎn)，跨中截面作用的集中扭矩荷載按靜力等效的集中力施加在跨中截面閉口部分的各節(jié)點(diǎn)處。計(jì)算翹曲應(yīng)力時(shí)，選取距跨中2 m處的橫截面，主要是為了消除集中加載可能帶來的應(yīng)力集中影響。由圖3可以看出，按解析法求得的翹曲正應(yīng)力分布與殼單元結(jié)果相近，按全截面計(jì)算極慣性矩(相應(yīng)翹曲系數(shù)μ1=0.300)求得的翹曲正應(yīng)力與ANSYS殼單元結(jié)果吻合更好。

圖3 距跨中2 m處橫截面翹曲正應(yīng)力對(duì)比

圖4和圖5分別為按約束扭轉(zhuǎn)解析理論計(jì)算的對(duì)應(yīng)于兩個(gè)翹曲系數(shù)μ1和μ2的箱梁扭轉(zhuǎn)角和廣義翹曲位移分布。由圖4可以看出，按兩個(gè)翹曲系數(shù)計(jì)算的扭轉(zhuǎn)角分布曲線幾乎重合，即計(jì)算極慣性矩時(shí)是否考慮懸臂板，對(duì)扭轉(zhuǎn)角計(jì)算結(jié)果幾乎沒有影響。由圖5可以看出，計(jì)算極慣性矩時(shí)是否考慮懸臂板，對(duì)廣義翹曲位移的影響也較小，影響主要體現(xiàn)在靠近跨中位置的截面處，當(dāng)只按閉口截面計(jì)算極慣性矩時(shí)，求得的廣義翹曲位移偏小?？傊?，按兩種方法計(jì)算極慣性矩，對(duì)箱梁約束扭轉(zhuǎn)位移計(jì)算結(jié)果的影響都不大。

圖4 簡支箱梁扭轉(zhuǎn)角分布對(duì)比

圖5 簡支箱梁廣義翹曲位移分布對(duì)比

圖6為按兩個(gè)翹曲系數(shù)計(jì)算的雙力矩分布。由圖6可以看出，按兩個(gè)翹曲系數(shù)計(jì)算的跨中截面雙力矩有明顯差別，對(duì)應(yīng)于μ1和μ2的跨中雙力矩分別為B1=241.4 kN·m2，B2=188.3 kN·m2，后者相對(duì)于前者約減小了22%，表明只在閉口部分計(jì)算極慣性矩時(shí)，將大幅低估跨中截面的實(shí)際雙力矩。值得注意的是，在距離跨中約4 m處附近的截面內(nèi)，只按閉口部分計(jì)算極慣性矩求得的雙力矩比按全截面計(jì)算極慣性矩時(shí)求得的雙力矩大，但差別不如跨中截面明顯。

圖6 簡支箱梁雙力矩分布對(duì)比

圖7和圖8分別為按兩個(gè)翹曲系數(shù)計(jì)算的自由扭矩Md和二次扭矩Mω分布。由圖7和圖8可以看出，按兩個(gè)翹曲系數(shù)計(jì)算的跨中左截面和右截面的自由扭矩和二次扭矩都有較大差別，只按閉口截面計(jì)算極慣性矩時(shí)，求得的跨中左截面處二次扭矩要比按全截面計(jì)算極慣性矩時(shí)求得的二次扭矩約減小39%，而自由扭矩約增大17%。與雙力矩的分布類似，二次扭矩的分布也具有局部性，主要產(chǎn)生于跨中截面附近，二次扭矩在其余大部分梁段內(nèi)均為0，即總扭矩只表現(xiàn)為自由扭矩。

圖7 簡支箱梁自由扭矩分布對(duì)比

圖8 簡支箱梁二次扭矩分布對(duì)比

由圖6～圖8可知，按兩種不同方法計(jì)算極慣性矩對(duì)廣義內(nèi)力計(jì)算結(jié)果有較大影響，尤其對(duì)跨中截面的雙力矩和二次扭矩有明顯影響。

4 結(jié)論

(1)本文從分析薄壁箱梁橫截面上剪應(yīng)力合成的扭矩出發(fā)，提出極慣性矩的合理計(jì)算方法，明確了計(jì)算帶懸臂板箱梁截面的極慣性矩時(shí)應(yīng)考慮懸臂板的影響。

(2)選取跨中作用集中扭矩荷載的簡支箱梁算例，將約束扭轉(zhuǎn)解析理論與有限元軟件ANSYS殼單元計(jì)算的橫截面翹曲正應(yīng)力進(jìn)行比較，結(jié)果表明，按照全截面計(jì)算極慣性矩和相應(yīng)翹曲系數(shù)時(shí)求得的翹曲正應(yīng)力與ANSYS殼單元的計(jì)算結(jié)果更加吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了考慮懸臂板的合理性。

(3)對(duì)于跨中作用集中扭矩荷載的簡支箱梁，按全截面或僅按閉口截面計(jì)算極慣性矩和翹曲系數(shù)對(duì)扭轉(zhuǎn)角和廣義翹曲位移影響較小，但對(duì)雙力矩和二次扭矩等內(nèi)力有明顯影響，只按閉口部分計(jì)算極慣性矩時(shí)將大幅低估箱梁跨中截面的雙力矩和二次扭矩。

(4)簡支箱梁承受集中扭矩荷載時(shí)的雙力矩和二次扭矩都具有快速衰減的分布特性，其只對(duì)加載截面及其附近截面的應(yīng)力分布有明顯影響，其余梁段內(nèi)的總扭矩僅為自由扭矩。