彭 濤，陳劍云

(華東交通大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，江西 南昌 330013)

鋼軌在牽引供電中承擔(dān)牽引回流和傳輸信號(hào)的作用同時(shí)，還傳輸豐富的行波信號(hào)[1-2]。而鋼軌的電感L和電阻R參數(shù)會(huì)隨頻率發(fā)生變化(簡(jiǎn)稱頻變參數(shù))。鋼軌的參數(shù)頻變現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致行波在其傳播過(guò)程中產(chǎn)生色散，所以在研究故障行波在鋼軌中傳播特性時(shí)，鋼軌的頻變參數(shù)特性不可忽視[3-5]。為了對(duì)后續(xù)故障行波色散研究提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，本文主要針對(duì)鋼軌頻變參數(shù)計(jì)算展開(kāi)研究。

鋼軌鐵磁材料特性和“工”字形不規(guī)則截面[6]，導(dǎo)致目前并沒(méi)有很好的辦法確定鋼軌的頻變參數(shù)。對(duì)于一般不規(guī)則導(dǎo)體頻變參數(shù)計(jì)算，目前主要的方法有等效管狀數(shù)學(xué)模型和有限元軟件仿真等方法[7-8]。管狀導(dǎo)體模型[9]是一種針對(duì)不規(guī)則導(dǎo)體計(jì)算頻變參數(shù)的常用方法，將不規(guī)則導(dǎo)體等效成管狀模型，直接采用數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算導(dǎo)體頻變參數(shù)特性，數(shù)學(xué)模型精度較高，易于編程。但是在計(jì)算過(guò)程中難以確定導(dǎo)體的等效管狀模型內(nèi)徑、外徑等參數(shù)，較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[10-12]提出將鋼軌等效為管狀導(dǎo)體計(jì)算鋼軌頻變參數(shù)。其中文獻(xiàn)[10]提出一種四參數(shù)等效管狀模型計(jì)算鋼軌頻變參數(shù)，但是需要同時(shí)需要確定四種參數(shù)，較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[12]討論了通過(guò)建模導(dǎo)體細(xì)分方法來(lái)確定鋼軌等效管狀模型下各計(jì)算參數(shù)的確定，無(wú)法直接用數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算。

有限元建模仿真計(jì)算不規(guī)則界面導(dǎo)體頻變參數(shù)另一個(gè)普遍的方法是通過(guò)偏微分方程邊值問(wèn)題以及大量的網(wǎng)格劃分解決通過(guò)磁場(chǎng)、電場(chǎng)的不規(guī)則界面導(dǎo)體內(nèi)阻抗計(jì)算。文獻(xiàn)[13-15]利用FEM有限元分析軟件對(duì)鋼軌的頻變參數(shù)進(jìn)行研究，并取得了一定的效果。

現(xiàn)有針對(duì)計(jì)算鋼軌頻變參數(shù)方法，計(jì)算模型需要確定參數(shù)較多，較為復(fù)雜。本文根據(jù)已有管狀導(dǎo)體計(jì)算模型，針對(duì)計(jì)算鋼軌高頻頻變參數(shù)要求，對(duì)管狀導(dǎo)體模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化，并給出了簡(jiǎn)化管狀導(dǎo)體中各計(jì)算參數(shù)的確定方法，利用簡(jiǎn)化管狀導(dǎo)體數(shù)學(xué)模型對(duì)鋼軌頻變參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

1 管狀導(dǎo)線模型

1.1 管狀導(dǎo)線模型基本原理

在交變電流的作用下，導(dǎo)線和大地中會(huì)出現(xiàn)集膚效應(yīng)，使輸電線路的電阻和電感成為電流、頻率的參數(shù)，簡(jiǎn)稱頻變參數(shù)，這使得計(jì)算線路阻抗十分復(fù)雜。考慮集膚效應(yīng)時(shí)，頻變參數(shù)的主要影響是導(dǎo)線的自阻抗。在計(jì)算一般圓形導(dǎo)體時(shí)，為了計(jì)算的方便，我們一般采用管狀導(dǎo)線模型來(lái)計(jì)算導(dǎo)線的自阻抗，它既可以計(jì)算管狀導(dǎo)線，又能用來(lái)作為鋼芯鋁線等導(dǎo)線，是管狀導(dǎo)線內(nèi)徑為零的特例。管狀模型時(shí)導(dǎo)線內(nèi)阻抗可以表示為[9]

(1)

(2)

但是鋼軌作為一種不規(guī)則導(dǎo)體，其橫截面為“工”字形。很難有有效的數(shù)學(xué)模型計(jì)算鋼軌的內(nèi)阻抗。文獻(xiàn)[10]提出一種將鋼軌等效為管狀導(dǎo)體模型的方法來(lái)計(jì)算鋼軌內(nèi)阻抗，如圖1所示。

圖1 鋼軌等效管狀導(dǎo)線示意圖

根據(jù)式(1)和式(2)可知，鋼軌管狀導(dǎo)線模型需要確定3個(gè)關(guān)鍵參數(shù)：鋼軌等效管狀模型磁導(dǎo)率μ；等效管狀導(dǎo)線模型外徑r；等效管狀導(dǎo)線模型內(nèi)徑q。

1.2 鋼軌等效管狀導(dǎo)體模型的簡(jiǎn)化

在大量的計(jì)算仿真過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)在高頻狀態(tài)下，利用管狀等效導(dǎo)體數(shù)學(xué)模型計(jì)算不規(guī)則導(dǎo)體頻變參數(shù)時(shí)，管狀導(dǎo)體模型內(nèi)徑q對(duì)結(jié)果幾乎無(wú)影響。通過(guò)驗(yàn)證這一結(jié)果，給出一種簡(jiǎn)化的鋼軌等效管狀導(dǎo)體模型。

崔：既然提到了“拉三”，那么這幾個(gè)經(jīng)典版本的“拉三”，哪個(gè)是您的最愛(ài)？是拉赫瑪尼諾夫本人的經(jīng)典演繹？是霍洛維茲的傳承和創(chuàng)新？是阿格里奇的極致炫技？還是范·克萊本在“柴科夫斯基國(guó)際鋼琴比賽”中對(duì)此曲的解構(gòu)與重塑？

在討論內(nèi)徑q對(duì)結(jié)果的影響時(shí)，對(duì)相對(duì)磁導(dǎo)率、外徑r取固定值，測(cè)試不同頻率下內(nèi)徑q數(shù)值上的變化對(duì)鋼軌內(nèi)阻抗的計(jì)算結(jié)果影響，見(jiàn)表1。在本次驗(yàn)證過(guò)程中，對(duì)鋼軌等效管狀模型其他參數(shù)采用固定值，內(nèi)徑q從0.005 4按照步長(zhǎng)0.001自增，觀察每自增一次最終結(jié)果的變化。

表1 內(nèi)徑q對(duì)最終結(jié)果影響實(shí)驗(yàn)各參數(shù)取值

表2為不同頻率下內(nèi)徑變化后的計(jì)算結(jié)果。根據(jù)表2計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)頻率為100以上時(shí)，內(nèi)徑q對(duì)計(jì)算結(jié)果幾乎沒(méi)有影響。分析其原因，頻變參數(shù)主要是集膚效應(yīng)的影響，在高頻情況下，鋼軌內(nèi)阻抗主要集中在鋼軌表面，所以等效模型中內(nèi)徑q在高頻情況下對(duì)計(jì)算結(jié)果幾乎無(wú)影響。在研究鋼軌頻變參數(shù)對(duì)行波色散的影響時(shí)，考慮到行波的高頻特性，可以忽略內(nèi)徑q的影響，即將管狀導(dǎo)線模型近似等效為實(shí)心導(dǎo)體。

(3)

(4)

表2 不同頻率下內(nèi)徑變化后的計(jì)算結(jié)果

(5)

根據(jù)式(5)可知，簡(jiǎn)化模型只需要確定兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)：鋼軌等效管狀模型磁導(dǎo)率μ；鋼軌等效管狀模型外徑r。

2 鋼軌等效管狀導(dǎo)體模型參數(shù)的確定

2.1 鋼軌等效管狀模型磁導(dǎo)率μ確定

為計(jì)算方便，把不同磁介質(zhì)中的磁導(dǎo)率μ與真空中的磁導(dǎo)率μ0進(jìn)行比較，比較的倍數(shù)用μr表示，叫做相對(duì)磁導(dǎo)率。相對(duì)磁導(dǎo)率是一個(gè)常數(shù)。

μr=B/(μ0H)

(6)

(7)

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率，一般認(rèn)為μ0=4π×10-7H/km；μr為相對(duì)磁導(dǎo)率；I為鋼軌電流；P為鋼軌截面周長(zhǎng)。

在采用管狀導(dǎo)體模型計(jì)算鋼軌頻變參數(shù)時(shí)，由于模型進(jìn)行了等效轉(zhuǎn)換，不能直接使用鋼軌相對(duì)磁導(dǎo)率代入等效管狀模型進(jìn)行計(jì)算，而應(yīng)該使用一個(gè)具有某種平均意義的有效磁導(dǎo)率μe[16]。而在直流情況下，管狀導(dǎo)體直流內(nèi)感Lint(dc)可以表示為

(8)

(9)

當(dāng)利用鋼軌等效管狀簡(jiǎn)化模型時(shí)，由于S=0，g(S)=1，有

μe=Lint(dc)·8π

(10)

式中：Lint(dc)可現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量獲取，亦可有限元仿真直流情況下鋼軌內(nèi)感獲得。本文采用有限元分析軟件Anasys-Maxwell對(duì)P50型號(hào)鋼軌有限元建模仿真獲取Lint(dc)，在實(shí)際工程中，還需要對(duì)鋼軌直流情況下內(nèi)感進(jìn)行測(cè)量，以盡量消除誤差。

2.2 鋼軌等效模型外徑r的確定

根據(jù)文獻(xiàn)[2]定義自阻抗

Z=jωLii+Zc+Zg

(11)

Zc=Rc+jωLc

(12)

Z0是導(dǎo)線的內(nèi)電阻，根據(jù)文獻(xiàn)[3]，在忽略Zg的前提下，定義鋼軌的自阻抗為

Zc=Zext+Zin

(13)

Zext=jωLii

(14)

(15)

由于Zin與頻率和導(dǎo)體電流分布有關(guān)，在頻率f→∞時(shí)，電流集中在導(dǎo)體的表面，Zin→0。在管狀導(dǎo)線模型中，此時(shí)導(dǎo)體阻抗主要由外徑?jīng)Q定，在非常高的頻率下，導(dǎo)體阻抗與內(nèi)徑q無(wú)關(guān)。

(16)

(17)

此時(shí)r=ri，在能夠獲取到極限高頻率下鋼軌自阻抗時(shí)，可以根據(jù)式(17)確定鋼軌的等效管狀導(dǎo)線外徑r。一般情況下，我們可以用有限元分析軟件仿真極限頻率獲取鋼軌極限頻率下的鋼軌自阻抗。

本文采用有限元分析軟件Anasys-Maxwell對(duì)P50型號(hào)鋼軌[17]1∶1有限元建模仿真，可以得到極限頻率f∞下鋼軌的自阻抗參數(shù)(取極限頻率f∞=107Hz)，見(jiàn)表3。

表3 有限元仿真極限頻率下P50鋼軌自阻抗

根據(jù)表3仿真結(jié)果電感L的平均值以及式(17)，得到P50型號(hào)鋼軌等效管狀模型外徑r數(shù)據(jù)。

3 算例計(jì)算

根據(jù)第二章確定的相對(duì)磁導(dǎo)率μ和外徑r，利用管狀導(dǎo)體模型對(duì)P50鋼軌進(jìn)行算例計(jì)算，其取值參數(shù)見(jiàn)表4。

表4 簡(jiǎn)化管狀模型計(jì)算參數(shù)

利用表4參數(shù)，根據(jù)簡(jiǎn)化管狀導(dǎo)體模型對(duì)P50型號(hào)鋼軌頻變參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，分別計(jì)算在0～10 000 Hz頻率下電流為100、200、800 A鋼軌頻變參數(shù)數(shù)據(jù)，見(jiàn)表5、表6。

表5 簡(jiǎn)化管狀模型計(jì)算鋼軌電阻R

表6 簡(jiǎn)化管狀模型計(jì)算鋼軌電感L

圖2為P50鋼軌電流為100、200、800 A三種情況下不同頻率下的電阻R的變化曲線，圖3為P50鋼軌電流為100、200、800 A三種情況下不同頻率下的電阻L的變化曲線，表5和表6分別為其中截取的部分計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)。由圖2、圖3和表5、表6數(shù)據(jù)分析可知，鋼軌電阻R隨著頻率增加不斷增大，電感L隨著頻率增加逐漸減少，最后趨于穩(wěn)定?？傮w而言，鋼軌頻變參數(shù)中R、L隨頻率變化明顯，當(dāng)行波在鋼軌傳播過(guò)程中，不同頻率成分的行波分量具有不同的波速度和衰減系數(shù)。在研究行波故障測(cè)距考慮行波色散過(guò)程中，鋼軌頻變參數(shù)對(duì)其影響十分巨大，對(duì)此進(jìn)行深入的基礎(chǔ)性研究非常必要。

圖2 簡(jiǎn)化管狀模型計(jì)算P50鋼軌電阻R

圖3 簡(jiǎn)化管狀模型計(jì)算P50鋼軌電感L

4 結(jié)束語(yǔ)

本文根據(jù)現(xiàn)有管狀導(dǎo)體計(jì)算模型，得到一種針對(duì)計(jì)算鋼軌高頻頻變參數(shù)的簡(jiǎn)化等效管狀數(shù)學(xué)模型，對(duì)簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型中各參數(shù)的確定給出詳細(xì)確定方案，并通過(guò)MATLAB語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)該模型計(jì)算過(guò)程，利用該簡(jiǎn)化模型對(duì)P50鋼軌頻變參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果為后續(xù)研究牽引供電系統(tǒng)行波故障測(cè)距中行波色散問(wèn)題提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù)參考。從計(jì)算結(jié)果分析可知，鋼軌頻變參數(shù)中R、L隨頻率變化明顯，在考慮行波色散過(guò)程中，鋼軌頻變參數(shù)對(duì)其影響十分巨大，不可忽略。但是在計(jì)算過(guò)程中，鋼軌等效管狀模型磁導(dǎo)率μ很大程度依賴有限元仿真直流內(nèi)感Lint(dc)的準(zhǔn)確性。后續(xù)將對(duì)鋼軌相對(duì)磁導(dǎo)率μ的確定進(jìn)行深入研究。