趙英英,胡華

( 寧夏大學數(shù)學統(tǒng)計學院,寧夏 銀川750021)

1.引言

長期以來,人類健康受到傳染病的巨大威脅.為了減緩其對人類威脅,大量的數(shù)學模型被建立且用于分析傳染病的動力學行為.其中經典的是Kermack和Mckendrick[1]對倫敦的黑死病和孟買的瘟疫傳播規(guī)律的研究.除此以外關于傳染病的研究還有許多著名的模型[1?3],這些模型為我們提供了有用的控制措施.一個由Lahrouz 等人提出的SIRS模型[4]有以下形式:

為了更好地控制傳染病的傳播,除了采取藥物管制措施(如接種疫苗和抗病毒藥物)以外,還應采取非藥物控制措施(包括信息干預)[5?6].在傳染病傳播初期,由于藥物干預措施的缺乏有必要研究一個由于非藥物控制措施即信息干預對疾病流行影響的模型.Kumar[6]等人提出了連續(xù)SIRS傳染病模型:

上述兩個模型均沒有考慮時滯的影響,這是不符合實際的.事實上,流行病的傳播具有時滯這一特點具體包括潛伏期時滯,感染期時滯,失去免疫期時滯等[7?9].Cooke[10]研究了一個帶時滯的SIR模型，其中傳染率函數(shù)為βS(t)I(t?τ),τ是一個固定時間,只有經過這段時間,易感人群才能被感染者感染.模型如下:

結合這三個模型,即考慮時滯影響及標準發(fā)生率下的SIRS模型:

其中S(t),I(t),R(t)和Z(t)分別代表易感人群,感染人群,恢復人群和信息在t的數(shù)量,I(t?τ)代表在t時刻經過潛伏期后處于感染期的感染者數(shù)量,τ >0是一定值,代表已感染者成為帶菌者所需要的時間,N(t)=S(t)+I(t)+R(t).Λ是人口的流入率或更新率,其中比例p的人是接種疫苗的,1?p是容易感染的(0≤p≤1).γ是感染人群的恢復率,μ是自然死亡率,δ是疾病引起的死亡率,β是接觸傳播系數(shù),δ0(=δ1+δ2)表示失去免疫的總比率,包括失去自然免疫的比率δ1和失去由于保障措施所得的免疫力的比率δ2,m表示信息交互率,μ1(0≤μ1≤1)代表反應強度,a表示信息的增長速度,b是飽和常數(shù),a0是信息的自然衰減率.所有參數(shù)假定非負.

基本再生數(shù)[11]是流行病學中的一個重要概念.模型(1.4)的基本再生數(shù)為

模型(1.4)有兩個均衡點[6]:一個是無病平衡點另一個是地方病平衡點E?=(S?,I?,R?,Z?).無病平衡點總是存在的,地方病平衡點只有滿足R0>1才存在.

2.平衡點的局部漸近穩(wěn)定性分析

本節(jié)通過分析模型(1.4)對應的特征方程,分別對模型(1.4)的無病平衡點和地方病平衡點E?=(S?,I?,R?,Z?)的局部漸近穩(wěn)定性進行討論.

引理2.1(Routh-Hurwitz 判據(jù))[12]設給定常系數(shù)的n次代數(shù)方程

該方程的所有根具有負實部的充要條件是下述所有行列式同號

構造上述行列式時,若i>n,則取ai=0.

定理2.1τ≥0時,若R0<1,則模型(1.4)在無病平衡點處是局部漸近穩(wěn)定的;若R0>1,則模型(1.4)在E0處不穩(wěn)定.

證模型(1.4)在無病平衡點處的Jacobian 矩陣是

從而在E0處的特征方程為

不難發(fā)現(xiàn)(2.1)有三個特征根λ1=?μ<0,λ2=?(μ+δ0)<0,λ3=?a0<0,為求(2.1)的另一個根,令

當τ=0時,(2.2)化為f(λ)=λ+(μ+δ+γ)(1?R0),該方程的根λ4=(μ+δ+γ)(R0?1).當R0<1時,特征方程的四個根均小于0,故該模型的無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的.反之,當R0>1時,λ4>0,所以E0不穩(wěn)定.

當τ >0時,f(λ)表達式仍為(2.2).設f(λ)=0的根為λ=α+iβ,將其代入f(λ)中得

比較實部和虛部得到

當R0<1時,此時,特征方程(2.1)的所有根的實部均為負,所以E0局部漸近穩(wěn)定.當R0>1時,有

此時,f(λ)=0有一個正實根.所以當R0>1時,E0不穩(wěn)定.

注當R0<1時,對任意的τ,模型(1.4)在無病平衡點處局部漸近穩(wěn)定;當R0>1時,對任意的τ,模型(1.4)在無病平衡點處不穩(wěn)定,即R0是模型(1.4)的一個閾值.

定理2.2假設R0>1成立且τ=0時,模型(1.4)的地方病平衡點E?局部漸近穩(wěn)定.

證模型(1.4)在地方病平衡點E?=(S?,I?,R?,Z?)處的Jacobian矩陣是

從而在E?處的特征方程為

不難發(fā)現(xiàn),(2.3)有兩個特征根λ1=?a<0,λ2=?μ<0,令

其中

當τ=0時,(2.4)式化為λ2+(m1+n1)λ+m2+n2=0.則

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)可得當τ=0時,(2.4)式有兩個負實根.所以此時特征方程的所有根都是負實根,定理得證.

定理2.3假設R0>1成立且τ >0時,若(μ+μ1mZ?+δ0)2?μ+δ+γ)>0,則模型(1.4)的地方病平衡點E?局部漸近穩(wěn)定.

證用反證法證明上述結論.假設方程(2.4)有非負實部,則其解必須是虛數(shù).由τ=0到τ >0的過程中,必有一個τ?>0,使得(2.4)有純虛根.不妨設λ=iw是(2.4)的解.代入得

整理上式可得

令u=w2,(2.5)式化為

則

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)可得(2.6)式無正實根.即u=w2無根,即不存在純虛根λ=iw,也就是E?的穩(wěn)定性不變,故R0>1且τ >0 時,若(μ+μ1mZ?+δ0)2?+μ+δ+γ)>0,E?局部漸近穩(wěn)定.

3.平衡點的全局漸近穩(wěn)定性分析

引理3.1(Halanay不等式)[13]設f(t)≥0且連續(xù)(t≥t0?r),0<β <α,f′(t)≤?αf(t)+β ‖ft ‖,t≥t0,‖ft ‖=supt?r≤s≤t | f(s)|,則f(t)≤‖ft0‖e?λ(t?t0)(t≥t0),其中λ=α?βeλr.

定理3.1若β <μ+δ+γ且1,則模型(1.4)的無病平衡點E0是全局漸近穩(wěn)定的.

證任取模型(1.4)滿足初始條件的正解(S(t),I(t),R(t),Z(t)),若β <μ+δ+γ,1,取任意小的?>0,使其滿足:

將模型(1.4)的前三個方程相加,可知人口總量N(t)=S(t)+I(t)+R(t)滿足如下微分方程:

因此有:

進一步可以得到:

因此模型的所有解S,I,R均具有上界設所以對于滿足(3.1)的足夠小的?>0,存在T1>0,使得當t>T1時,有S(t)

對上述?>0,當t>T1+τ時,由模型(1.4)的第二個方程有:

由引理3.1 和(3.1)有所以對于滿足不等式(3.1)的足夠小的?>0,存在T2>T1+τ,使得當t>T2時,有I(t)

對上述?>0,當t>T2時,由模型的最后一個方程有:

經計算得

令?→0,我們有另一方面,因此所以對滿足不等式(3.1)的足夠小的?>0,存在T3>T2,使得當t>T3時,有Z(t)

對上述?>0,當t>T3時,由模型的第三個方程有:

經計算有

令?→0,我們有

另一方面

經計算有

由不等式(3.2)和(3.3),我們有

所以,對任意?>0,存在T4>T3,使得當t>T4時,由模型的第一個方程有:

經計算有

令?→0,我們有

另一方面

令?→0,我們有

由不等式(3.4)和(3.5),我們有

綜上,若β <μ+δ+γ且<1,模型(1.4)的無病平衡點E0是全局漸近穩(wěn)定的.

定理3.2若R0>1,sgn(S(t)?S?(t))=sgn(I(t)?I?(t))=sgn(R(t)?R?(t))=sgn(Z(t)?Z?(t)),則模型(1.4)的地方病平衡點E?是全局漸近穩(wěn)定的.

證令x=S?S?,y=I?I?,u=R?R?,v=Z?Z?.構造Lyapunov函數(shù)

則

其中?=min{μ,a0}.將上式兩邊從0到t積分得

因此,對任意t≥0,V(t)在[0,t]內有界同時

故

定理得證.

注當β <μ+δ+γ且<1時,模型(1.4)的無病平衡點E0是全局穩(wěn)定的,這表明在此條件下該傳染病將逐漸消失不會流行;當R0>1時,模型(1.4)的地方病平衡點E?是全局穩(wěn)定的,這表明在此條件下該傳染病將會流行并將最終成為地方病.

4.數(shù)值分析和結論

繼研究帶有標準發(fā)生率和信息干預的時滯SIRS傳染病模型平衡點的局部漸近穩(wěn)定性和全局漸近穩(wěn)定性之后,下面對該模型進行可視化并借助Matlab 7.1來進一步分析信息干擾因素以及系統(tǒng)一些參數(shù)對疾病傳播的動力學影響.對模型(1.4),令參數(shù)的取值為：

方程的初始值為(S0,I0,R0,Z0)=(479.0,20.0,1.0,10.0).

例4.1可變參數(shù)μ1的作用

下面研究人們對信息的反應強度(以下簡稱“反應強度”)μ1的作用.式(4.1)中取β=0.02,τ=0.1,其余參數(shù)不變,此時R0>1.圖4.1給出反應強度μ1取不同值(μ1=0.00,0.25,0.50,0.75,1.00)時,模型(1.4)中I(t)的時間序列圖.從圖可以看出,在患病人數(shù)趨于穩(wěn)定時,信息干預可以減少患病人數(shù).

圖4.1 反應強度μ1對I(t)的影響

例4.2可變參數(shù)β的作用

下面研究接觸傳播系數(shù)β的作用.式(4.1)中取μ1=0.25,τ=0.1,其余參數(shù)不變,此時R0>1.圖4.2,圖4.3分別給出接觸傳播系數(shù)β取不同值(β=0.02,0.2)時,模型(1.4)中對應的S(t),I(t)的時間序列圖.圖4.2(b)和圖4.3(b)分別為對應的圖4.2(a)和圖4.3(a)的局部小圖.從圖4.2可以看出在初始階段S(t)的變化較為復雜,之后S(t)趨于穩(wěn)定且此時β越大,易感人數(shù)越少.從圖4.3可以看出在初始階段I(t)的變化較為復雜,之后I(t)趨于穩(wěn)定且此時β越大,感染人數(shù)越多.

圖4.2 接觸傳播系數(shù)β對S(t)的影響

例4.3可變參數(shù)τ的作用

下面研究時滯τ的作用.式(4.1)中取μ1=0.25,β=0.02,其余參數(shù)不變,此時R0>1.圖4.4,圖4.5分別給出時滯τ取不同值(τ=0.1,1,10 ) 時,模型(1.4)中對應的S(t),I(t)的時間序列圖.從圖4.4,圖4.5可以看出,在初始階段不同的時滯τ對S(t),I(t) 產生不同的較為復雜的變化,之后S(t),I(t)均趨于穩(wěn)定且與時滯無關,即經過一段時間后模型(1.4)的地方病平衡點E?全局穩(wěn)定且與時滯無關.

圖4.3 接觸傳播系數(shù)β對I(t)的影響

圖4.4 τ對S(t)的影響

圖4.5 τ對I(t)的影響

總之,本文研究了一類帶有標準發(fā)生率和信息干預的時滯SIRS傳染病模型.通過分析模型的特征方程,討論了無病平衡點和地方病平衡點局部漸近穩(wěn)定性.應用Halanay不等式對無病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性進行了證明.通過構造適當?shù)腖yapunov函數(shù)討論了地方病平衡點全局漸近穩(wěn)定性.最后運用Matlab 7.1進一步分析了信息干擾因素以及系統(tǒng)一些參數(shù)對疾病傳播的動力學影響.