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        一類具有預防控制的傳染病模型研究

        2018-03-31 07:34:57閆婷婷
        關鍵詞:特征方程平衡點常數(shù)

        閆婷婷

        (晉中職業(yè)技術學院,山西 晉中 030600)

        傳染病是人類疾病中不可避免且廣泛存在的一種疾病,因其種類繁多危害性大且情況各異,所以人類對傳染病的研究一直在深入且細化。通過數(shù)學模型對傳染病的傳播過程、病齡結構、預防控制進行細化分析研究,做出疾病控制的有效措施。

        在辛京奇等文中基于經典的具有常數(shù)輸入率和雙線性傳染率的SIR模型,建立一類具有接種的SIR-V傳染病模型,得到了基本再生數(shù),并證明了全局漸近穩(wěn)定性[1]。楊亞莉等討論了一類具有接種和因病死亡的SIS-V傳染病模型的全局穩(wěn)定性[2]。本文主要討論一類具有預防接種的傳染病模型,分析其平衡點的類型及無病平衡點和有病平衡點的全局穩(wěn)定性。

        1 模型的建立

        如式(1)所示為一種具有預防接種的傳染病模型,

        其中S(t)表示t時刻易感染者數(shù)量,I(t)表示t時刻染病者數(shù)量,R(t)表示t時刻恢復者數(shù)量。N =S +I+R 表示總人口數(shù)量,a1表示出生率與死亡率的差值,a2表示染病率,a3表示接種率,a4表示恢復率。

        引理1常數(shù)變量公式

        2 系統(tǒng)的平衡點分析

        定理1 總人口數(shù)量N是不變的。

        證明 由于 N =S +I +R ,故有

        因此N是不變的,即 N= N0。

        定理2系統(tǒng)(1)的解是有界的。

        證明 因S(t),I(t),R(t)均表示人口數(shù)量,故S(t),I(t),R(t)≥0,又 N =S +I +R,再利用定理1知

        系統(tǒng)(1)的平衡點應滿足方程組

        經計算,知(2)有兩個解

        設P(S?,I?,R?)為系統(tǒng)(1)的任意一個平衡點,則(1)在P處的線性近似系統(tǒng)的特征方程為

        因此系統(tǒng)(1)在1P處的特征方程為:

        經計算解得

        當 R1<1時, λ2<0,因此當 R1<1時,為穩(wěn)定的平衡點;

        當 R1>1時, λ2>0,因此,當 R1>1時,P1為不穩(wěn)定的平衡點。

        當 R1>1,P2為正的平衡點,符合實際情況,系統(tǒng)(1)在P2點處的特征方程為;

        特征根 λ1=-a1<0,剩下的兩特征根應滿足方程

        化簡,得

        進一步化簡,得

        故由引理4知,P2為穩(wěn)定的平衡點。

        定理3 當 R1<1時,系統(tǒng)(1)的平衡點 P1是穩(wěn)定的;當 R1>1時,平衡點 P1是不穩(wěn)定的,但平衡點P2是穩(wěn)定的。

        3 平衡點的全局穩(wěn)定性

        定理4 當 R1<1時,系統(tǒng)(1)的平衡點 P1是全局漸近穩(wěn)定的。

        由Bendixson判定知,系統(tǒng)(1)在G內無閉軌,又知當 R1<1時,在G內只有一個平衡點 P1是穩(wěn)定的,故 P1點是全局穩(wěn)定的。

        由于(1)中的兩個方程不含R,故也可以考察(1)的前兩個方程構成的子系統(tǒng):

        (3)的平衡點應滿足方程組

        經計算知(4)有兩個解

        (3)在 Q (S?,I?)處的線性近似系統(tǒng)的特征方程為

        因此(3)在Q1處的特征方程為:

        解得 λ1= -(a1+a3)< 0,

        因此可見當 R1<1時, λ2<0,因此Q1為穩(wěn)定的平衡點。當 R1>1, λ2>0,Q1為不穩(wěn)定的平衡點。

        系統(tǒng)(3)在Q2處的特征方程為

        顯然,從上式可以看出,當 R1<1時,有特征根λ <0,故Q2為穩(wěn)定的平衡點。

        即有如下的結論:

        定理5 當 R1<1時,(3)的平衡點Q1是穩(wěn)定的;當 R1>1時,Q1是不穩(wěn)定的,但Q2是穩(wěn)定的。

        定理6 對于系統(tǒng)(1)當 R1<1時,有

        證明 當 R1<1時,Q1是全局穩(wěn)定的,因此有

        將上式代入系統(tǒng)(1)中,有如下的極限方程

        利用常數(shù)變量公式解得

        又因R(0)=0,故C=0,即

        從上述分析可以看出,當 R1<1時,該傳染病根本不會傳播開來。但 R1>1時,該傳染病將會流行開來,因此,需要通過降低R1的值來控制。

        4 結論

        本文主要討論了一類具有預防接種的傳染病模型,利用常數(shù)變量公式及Bandixson判定法進行了理論研究,分析了其平衡點類型,得到了無病平衡點和有病平衡點的全局穩(wěn)定性。當基本再生指數(shù)小于1時,該傳染病根本不會傳播開來。但基本再生指數(shù)大于1時,該傳染病將會流行開來,因此,需要通過降低R1的值來控制傳染病的流行。

        [1] 辛京奇,王文娟.一類帶有接種的SIR傳染病模型的全局分析[J].數(shù)學的實踐與認識,2001,(20):71-76.

        [2] 楊亞莉,李建全,張吉廣.一類帶有接種的傳染病模型的全局性分析[J].西北大學學報,2009,(5):729-731+749.

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