孫欽瑤 李純良 武佳琪 劉璐

摘 要：本文研究了在達(dá)到救援目的并使所有啟程的飛機(jī)成功返回基地的前提下，如何能使總?cè)加土孔钌?，以及在總?cè)加妥钌俚那闆r下對應(yīng)出動的加油機(jī)數(shù)量。首先，本文通過線性規(guī)劃，建立了最低耗油量的初步模型。其中，求得總?cè)加虳最少的情況為，離開基地時(shí)出動3架加油機(jī)為運(yùn)輸機(jī)加油，回基地時(shí)出動1架。其次，本文對初步模型進(jìn)行了優(yōu)化，考慮了不同時(shí)加油的情況，得到總耗油量比初步模型總耗油量少約198kg，使模型更加實(shí)用。

關(guān)鍵詞：空中加油;多元不等式組;運(yùn)動狀態(tài)相對靜止

引言

在距基地615海里的小島上發(fā)生災(zāi)害，急需藥品并有一人重傷繼續(xù)轉(zhuǎn)移治療?；噩F(xiàn)只有最大航程為680海里的飛機(jī)，飛機(jī)最大油耗量為155kg，但此類飛機(jī)可改裝成可以裝油170kg的空中加油機(jī)。

運(yùn)輸機(jī)來回一共需要飛兩個(gè)615海里，然而最大航程僅為680海里，這樣在途中就需要加油機(jī)為運(yùn)輸機(jī)提供燃油，加油機(jī)既可以在去的時(shí)候中為運(yùn)輸機(jī)加油，也可以在回的時(shí)候?yàn)檫\(yùn)輸機(jī)加油，不同的情況需要出動不同的加油機(jī)數(shù)量。但是無論出動多少架加油機(jī)，前提都是保證加油機(jī)與運(yùn)輸機(jī)都能夠返回基地。

故假設(shè)運(yùn)輸機(jī)從基地離開飛往小島的 海里內(nèi)由于出現(xiàn)故障，導(dǎo)致不能立即加油，引入時(shí)間變量 ，但此時(shí)加油機(jī)和運(yùn)輸機(jī)一起飛行，沒有形成距離差，即保持相對靜止，在經(jīng)過時(shí)間 ，求出距離與時(shí)間的關(guān)系式，飛行距離的不等式以及方程組，將所求出的結(jié)果制成表格，作圖，找到在優(yōu)化模型下所對應(yīng)的所有可行最優(yōu)解維修人員便可成功修理好故障后，運(yùn)輸機(jī)可成功抵達(dá)小島救助重傷人員，在返回基地的路途中加油，最后和加油機(jī)一起返回基地。

1救援模型

1.1 模型準(zhǔn)備

1） 運(yùn)用簡單換算，對于題目所給類型的飛機(jī)，假設(shè)改裝后的飛機(jī)最大航程為C，

由等式

計(jì)算得C≈745海里，即改裝飛機(jī)最大航程約為745海里。

2） 設(shè)K為飛行每海里需要的油，則由題目可得

1.2 救援過程簡述

在運(yùn)輸機(jī)離開基地與回基地途中，去時(shí)與回時(shí)分別為A、B段，兩段各有一個(gè)加油點(diǎn)。運(yùn)輸機(jī)自基地出發(fā)，在距基地? ?海里的加油點(diǎn)1處由N架加油機(jī)為運(yùn)輸機(jī)加油，并加滿，加油機(jī)返航。運(yùn)輸機(jī)在到了島上放下藥品并接上傷員后經(jīng)B階段返回基地，返回途中至加油點(diǎn)2處油量耗盡并迅速接受M架加油機(jī)加油加至剛好可以返回基地的油量后，加油機(jī)與運(yùn)輸機(jī)一起返航至基地[1]。

1.3 基地至加油點(diǎn)1段過程分析

運(yùn)輸機(jī)與加油機(jī)同時(shí)由基地出發(fā)，到距基地 海里的加油點(diǎn)1處運(yùn)輸機(jī)接受 架加油機(jī)的加油，設(shè)每架加油機(jī)為運(yùn)輸機(jī)加了足夠運(yùn)輸機(jī)飛行 海里的油后返程，假設(shè)這 架加油機(jī)返程落地時(shí)剛好用盡剩余所有油[2]。

對于每架加油機(jī)來說，所載的油在給了運(yùn)輸機(jī)飛 海里的油后剩下的剛好夠自己飛回基地。對于運(yùn)輸機(jī)來說，飛行 海里消耗的油在加油點(diǎn)1剛好被 架飛機(jī)補(bǔ)滿。

可得方程組：

1.4 加油點(diǎn)1至加油點(diǎn)2段過程分析

此段中運(yùn)輸機(jī)完全用自己油箱中的油，共飛行680海里。運(yùn)輸機(jī)飛至小島降落并放下藥品、載上病人出發(fā)，在起落不耗油的假設(shè)下飛至加油點(diǎn)2耗盡油[3]。

由題設(shè)可得加油點(diǎn)1到小島為615-x海里，因而加油點(diǎn)2與小島之間的距離為

所以加油點(diǎn)2與基地之間的距離為

1.5 加油點(diǎn)2至基地段過程分析

運(yùn)輸機(jī)飛至加油點(diǎn)2時(shí)接受 架加油機(jī)的加油，加至剛好能飛回基地的油量后，運(yùn)輸機(jī)與加油機(jī)一同返程。假設(shè)每架加油機(jī)為運(yùn)輸機(jī)加能飛行 y2海里的油。

對于運(yùn)輸機(jī)， m架加油機(jī)為運(yùn)輸機(jī)加至能飛行550-x 海里的油;對于每架加油機(jī)，所載的油應(yīng)能支持飛機(jī)飛行不少于 海里[4]。

假設(shè)每架加油機(jī)在起飛時(shí)都是載滿油出發(fā)，在返程后油箱內(nèi)還存有能使飛機(jī)飛行y2+（550-x）×2海里的油，

1.6救援模型求解

對模型進(jìn)行求解，分別求解當(dāng)n=1，2，3，…，100 時(shí)在加油點(diǎn)2需要的加油機(jī)數(shù)量m ，最低耗油量D，

從n=3 開始至n=100 ，[m]的取值已經(jīng)全部為1，而且變動非常小，minD 的變化程度也非常小。n=4 與n=3 時(shí)minD 的差已低于20kg，而且多出動1架飛機(jī)，在人力物力上產(chǎn)生更多的成本，因而最優(yōu)解為n=3 ，[m]=1 ，即在加油點(diǎn)1有3架飛機(jī)同時(shí)為運(yùn)輸機(jī)加油，加油點(diǎn)2有1架飛機(jī)為運(yùn)輸機(jī)加油，總耗油為460.9158 公斤。

2 A救援模型

由于模型一求解中已經(jīng)找到最優(yōu)解為n=3 ，[m]=1 的情況，即在A段有3架加油機(jī)給運(yùn)輸機(jī)加油， B段有1架加油機(jī)給運(yùn)輸機(jī)加油。在模型一的基礎(chǔ)上，本文嘗試找到更加省油的方式[5-6]。

2.1? A段的優(yōu)化

A 段由在同一加油點(diǎn)加油改為在三個(gè)點(diǎn)加油，每架加油機(jī)給運(yùn)輸機(jī)的加油量仍為飛y1 海里需要的油量。

A 段過程：三架加油機(jī)與運(yùn)輸機(jī)同時(shí)起飛，飛至x1 處，第一架加油機(jī)給運(yùn)輸機(jī)加滿油，然后返航。即對第一架加油機(jī)來說，全程耗油量D1為，

其中k為飛行距離與耗油量的換算系數(shù)，模型一中已求出，y1 是106.42， x是319.29 。

加油過程結(jié)束后，另外兩架加油機(jī)與油箱裝滿油的運(yùn)輸機(jī)繼續(xù)前行，飛至距基地2y1 處，第二架加油機(jī)給運(yùn)輸機(jī)加油，此時(shí)運(yùn)輸機(jī)又消耗了飛行y1 海里需要的油。第二架加油機(jī)給運(yùn)輸機(jī)加滿后返航，即對第二架加油機(jī)來說，全程耗油量D2 為

第二次加油過程結(jié)束后，最后一架加油機(jī)與油箱裝滿油的運(yùn)輸機(jī)繼續(xù)前行，飛至距基地3y1海里處，最后一架加油機(jī)給運(yùn)輸機(jī)加油，將運(yùn)輸機(jī)加滿油[7-8]。而且由模型一的思路，最后一架加油機(jī)在給運(yùn)輸機(jī)加完油返程后落地時(shí)剛好用完所有油，

參考文獻(xiàn) （References） ：

[1] Shay R C.A TABU search metaheuristic for the air refueling tanker assignment problem ： AD A378299[P].2000.

[2] Derek K E. Air refueling operations planning[P].2001

[3]RonJon Annaballi .空中加油油船分配問題的多蟻群優(yōu)化Metahuristic [R].? AD報(bào)告. ADA400201，2002年3月.

[4] Breet A. Bush. Analysis of Fuel Consumption for an Aircraft Deployment [R]. AD Report. ADA451012. July 2006.

[5]Herrnberger， M.， Sachs，? G.， Holzapfel，? F.，? et? al. “Simulation? Analysis? of? Autonomous? Aerial Refueling? Procedures，”? AIAA? Guidance，? Navigation，? and? Control? Conference? and? Exhibit，? San Francisco， AIAA Paper 2005-5866， Aug. 2005.

[6]J. Vassberg， D. Yeh， A. Blair， and? J.? Evert. Numerical simulations of KC-10? centerline? aerial refueling hose-drogue dynamics with a reel take-up system[R]. AIAA-2004-4719， 2004.