王強國

（寶應(yīng)縣實驗小學(xué)，江蘇 寶應(yīng)縣 225800）

在小學(xué)數(shù)學(xué)的核心詞中，“空間觀念”自誕生以來名稱從未變更，是教師十分熟悉的核心詞之一。但一線的教師似乎更擅長能力的培養(yǎng)，如運算能力等，一旦定位為“觀念”，不少教師覺得有些玄乎，從內(nèi)涵的解讀到策略的探尋，因而“空間觀念”也成為教師“最熟悉的陌生人”！盡管提出多年，但實際教學(xué)效果不容樂觀，有必要引起重視，更好地落實相關(guān)課程目標(biāo)。

一、“空間觀念”的內(nèi)涵解讀

（一）課標(biāo)的詮釋

教育部《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》認(rèn)為：“空間觀念主要表現(xiàn)在：能由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)換；能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形；能從復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系；能描述實物或幾何圖形的運動與變化；能采用適當(dāng)?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的位置關(guān)系；能運用圖形形象地描繪問題，利用直觀進(jìn)行思考?！盵1]

教育部《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》修改為：“空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描繪的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描繪圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等?！盵2]

兩種表述均從行為表現(xiàn)的角度陳述“空間觀念”?！罢n標(biāo)實驗稿”的內(nèi)容很豐富，涉及空間想象方面的表現(xiàn)，包括兩種轉(zhuǎn)換；動手操作方面的表現(xiàn)：制作與畫圖；空間分析方面的表現(xiàn)：復(fù)雜圖形的分解、分析；空間描述方面的表現(xiàn)：描述運動變化、位置關(guān)系；用圖形描述問題和直觀思考，相當(dāng)于課標(biāo)的另一個核心詞“幾何直觀”。相比而言，“課標(biāo)2011 年版”的解釋更為精煉、概括，意在突出重點、削枝強干。在空間想象方面，增加了想象方位和位置關(guān)系，補充根據(jù)特征抽象出幾何圖形。這里的特征顯然是指幾何特征，“幾何圖形”應(yīng)該包括平面圖形、立體圖形及其三視圖與展開圖。兩種表述中的“想象”，都是以空間表象水平的再認(rèn)、再現(xiàn)及聯(lián)想為主，也都體現(xiàn)出這樣的過程：從形象到表象，從表象到抽象，從抽象到形象，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷完整的“數(shù)學(xué)化”的過程。

（二）相關(guān)的解讀

美國新澤西州的數(shù)學(xué)課程框架認(rèn)為：空間觀念是對于圖形和空間的直觀感覺，它涉及傳統(tǒng)的幾何概念，例如對于幾何圖形的識別、想象、表征、變換的能力；也包含其他的一些非正式的方式去看待二維和三維的空間，例如折紙、變換、鑲嵌、對稱、投影等[3]。全美數(shù)學(xué)教師理事會（NCTM）在《學(xué)校數(shù)學(xué)的課程與評價標(biāo)準(zhǔn)》中指出：空間觀念是對一個人周圍環(huán)境和實物的直接感知；對于二維、三維圖形及其性質(zhì)的領(lǐng)會和感知，圖形之間的相互關(guān)系和變換圖形的效果是空間觀念的重要方面[4]。

國內(nèi)，一些專家學(xué)者圍繞“課標(biāo)”中的解釋，給出更為學(xué)術(shù)化的描述。王林全認(rèn)為，學(xué)生的空間觀念包含圖形的識別與理解能力、圖形的分解與組合能力、圖形的建構(gòu)與探索能力、對圖形的運動與變換的欣賞和利用幾何直觀解決問題能力五個基本成分。其中，圖形的識別與理解能力是空間觀念的基礎(chǔ)，圖形的分解與組合能力是空間觀念得以健康發(fā)展的基本條件，良好的圖形的建構(gòu)與探索能力是空間觀念發(fā)展的標(biāo)志，對圖形的運動與變換的欣賞是空間觀念逐步成熟的前提，利用幾何直觀解決問題的能力是空間觀念成熟的標(biāo)志[5]。劉曉玫認(rèn)為，小學(xué)生的空間觀念的成分與要素主要包含軸對稱、旋轉(zhuǎn)、方向與位置、視圖四個方面，并將小學(xué)生的空間觀念的發(fā)展劃分為直觀想象階段、直觀想象與簡單分析抽象階段、直觀想象與復(fù)雜分析階段三個水平[6]。

二、“空間觀念”的基本特征

對“空間觀念”的認(rèn)知，除了對其內(nèi)涵的深刻理解，還應(yīng)當(dāng)關(guān)注兒童形成與發(fā)展“空間觀念”的特征，體現(xiàn)主體與客體的雙重推進(jìn)。實踐中，對“空間觀念”特征的把握，有助于我們理性地面對教學(xué)中的得與失，繼而尋找出更為豐富有效的教學(xué)對策。

1.直觀性

直觀性是“空間觀念”最基本的特征，也是學(xué)生形成與發(fā)展空間觀念的起點與支撐?！翱臻g觀念主要是指根據(jù)物體特征……”從其內(nèi)涵中可見：“形象的建立”與“適度地抽象”是“空間觀念”培養(yǎng)的關(guān)鍵。首先，直觀性體現(xiàn)于認(rèn)識圖形屬性時的選擇性層面。對直觀性較強的屬性學(xué)生容易感知，而那些不太明顯的屬性特征往往會被忽略。如長方形、正方形的各部分名稱以及周長與面積的計算容易理解，而對圓的相關(guān)概念的理解困難許多，因為前者都是顯現(xiàn)的，后者有些則是隱現(xiàn)的，以半徑為例，在正式畫出前，學(xué)生是看不見的，也是難以想象的。其次，直觀性表現(xiàn)為解決相關(guān)實際問題的思維層面，學(xué)生更擅長圖文結(jié)合類的題型，對于純文字表述的問題理解困難。最后，“空間觀念”的直觀性還表現(xiàn)在學(xué)生對概念或性質(zhì)的描述層面。低年級的兒童對圖形的描述通常會用日常生活的語言表述，如三角形學(xué)生會說成“三角”，正方形會表述為“方塊”等。

2.過程性

過程性首先體現(xiàn)于學(xué)生的空間表象的建立，研究表明：學(xué)生的空間表象不是以他們的空間環(huán)境感覺讀出的，而是從早些那些環(huán)境的活動操作中構(gòu)造的，他們是依靠經(jīng)驗開始幾何學(xué)習(xí)并逐步形成空間觀念的[7]。學(xué)生相關(guān)經(jīng)驗的積累是一個不斷重建的過程。其次，“空間觀念”相關(guān)內(nèi)容的編排體現(xiàn)出過程性。以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“平面圖形”為例，教材分多次教學(xué)，低年級重點是從實物中抽象出圖形，中高年級完成圖形特征的認(rèn)知以及面積與周長的計算，中間穿插圖形的位置轉(zhuǎn)換等知識點，時間維度幾乎跨越了整個小學(xué)階段。類似的學(xué)生從二維空間進(jìn)入到三維空間，從平面圖到三維圖也有一個過程。最后，課程目標(biāo)的表述方式也體現(xiàn)出“過程性”的特征?！罢n標(biāo)2011年版”在空間與圖形課程目標(biāo)的表述中，多使用“經(jīng)歷”“體驗”“探索”等詞匯，而這些都是描述過程性目標(biāo)的詞匯。

3.遷移性

數(shù)學(xué)知識的環(huán)環(huán)相扣與螺旋上升，使得遷移學(xué)習(xí)普遍存在?！翱臻g觀念”的建立中也是如此。一方面體現(xiàn)在幾何概念的理解。如長方形、正方形、三角形、圓的周長，雖然在具體敘述時有一定的差異，計算公式有所區(qū)別，但本質(zhì)都是指圍成一個圖形的所有邊長的總和，這為學(xué)生后續(xù)的理解認(rèn)知提供正向指引。另一方面，還體現(xiàn)在對幾何圖形的研究方式上。比如對一個圖形的研究我們通常從它的邊和角開始。當(dāng)然，在實際的教學(xué)中，由于學(xué)生對“直觀性”的偏重以及“標(biāo)準(zhǔn)樣式”的依賴，我們也要注意“負(fù)遷移”的影響，小學(xué)數(shù)學(xué)中主要是二維圖對三維圖的影響。如“6 根一樣長的小棒擺同樣的三角形，最多能擺出幾個？”學(xué)生往往想到的是二維圖（圖1），想不到三維圖（圖2）。

圖1

圖2

三、“空間觀念”的教學(xué)要點

（一）加強兩種直觀

1.動作直觀

動作直觀通過實際的動作達(dá)到直觀的效果。在小學(xué)圖形與幾何內(nèi)容中主要包括實驗活動（如圖形的拼擺、折疊、測量等）與畫圖兩種。實驗活動豐富了數(shù)學(xué)課程的教學(xué)資源，關(guān)注了小學(xué)生的年齡特征與認(rèn)知特征，是一種行之有效的教學(xué)對策，備受追捧。而作為學(xué)習(xí)幾何的常規(guī)的直觀手段，畫圖至今沒有受到應(yīng)有的重視。一方面，在小學(xué)階段，“課標(biāo)2011 年版”關(guān)于畫圖的目標(biāo)設(shè)置比較單一，僅在第二學(xué)段提出：在方格紙上簡單畫圖，會用圓規(guī)畫圓、能畫指定度數(shù)的角等；另一方面，在教學(xué)實踐中，畫圖處于可有可無的地位，“平時用不著、用時想不到”。與實驗活動相比，畫圖是對客觀條件要求最低，能夠“隨身攜帶”的直觀手段。教學(xué)中，需要注意以下三點：一是加強畫法指導(dǎo)。教者應(yīng)該將作圖方法的講解納入教學(xué)的流程之中，適時、適度地講解畫法，可結(jié)合具體的題型，采用教師的板畫的方式，呈現(xiàn)完整的作圖過程。二是簡化畫圖的過程。淡化一些形式化的東西，如畫圖一定要用直尺等，允許學(xué)生“畫草圖”，只要能表達(dá)出題意，反映出數(shù)量關(guān)系即可。三是感悟畫圖的價值。要精選合適的題型，讓學(xué)生在問題解決中充分感受畫圖的價值，注重畫圖解題的習(xí)慣與意識的培養(yǎng)。

2.視覺直觀

觀察是智力活動的門戶，是一種有思維參與的積極的感知活動。對于小學(xué)生而言，其觀察能力的發(fā)展與空間觀念的發(fā)展幾乎一致，主要表現(xiàn)為：從感知強刺激成分到感知弱刺激成分；從認(rèn)識單一要素到認(rèn)識要素關(guān)系；從熟悉標(biāo)準(zhǔn)圖形到熟悉變式圖形。[8]視覺直觀的呈現(xiàn)方式主要有靜態(tài)和動態(tài)兩種：靜態(tài)的視覺直觀價值主要在于提供參照、建立表象；動態(tài)的視覺直觀則有揭示規(guī)律、建立聯(lián)系等功能。在空間觀念培養(yǎng)的教學(xué)中，一線教師存在偏靜態(tài)輕動態(tài)的傾向，原因一是過高估計了學(xué)生的認(rèn)知能力，二是動態(tài)呈現(xiàn)的前期準(zhǔn)備相對繁瑣，應(yīng)該給予糾正。這里的“動態(tài)”應(yīng)該是廣義的，可以分為兩類：一是多個元素的相互比照。如“長方形與正方形的認(rèn)識”，教學(xué)中，借助方格紙出示兩個完全一樣的長方形，然后將其中的一個演變?yōu)檎叫?，觀察比較兩者的異同。二是同一元素的前后變化。如“圓的面積”教學(xué)，將一個圓若干等分，拼成一個近似的長方形，推導(dǎo)其計算公式。值得注意的是，無論是靜態(tài)或動態(tài)，在視覺直觀的基礎(chǔ)上，一定要引導(dǎo)學(xué)生比較與歸納，體會其中的變與不變。當(dāng)然，動作直觀中必然有視覺的直觀，視覺直觀中也常常包含動作直觀的成分。實踐中，應(yīng)該緊扣實質(zhì)：通過直觀，豐富學(xué)生的幾何認(rèn)知，促進(jìn)空間觀念的形成。

（二）注重兩個結(jié)合

1.語言與形象的結(jié)合

在學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)中，語言是僅次于直觀的重要手段。實質(zhì)上語言是一種用符號表示的有一定法則的形象系統(tǒng)。形象與語言在某種程度上是糾結(jié)在一起的，處于一種互補的關(guān)系之中。兩者的結(jié)合，能夠促進(jìn)學(xué)生對表象的建立。實踐中，一方面要突出口頭語言對形象的表征。如“認(rèn)識三角形”，出示一組圖形，讓學(xué)生判斷哪些是三角形。在這個過程中，可以引導(dǎo)學(xué)生說說這樣判斷的理由，以突顯三角形的本質(zhì)特征。值得注意的是，在學(xué)生表述的過程中，教師應(yīng)該恰當(dāng)指導(dǎo)，適時引入幾何語言同化、矯正日常用語。以“平移和旋轉(zhuǎn)”為例，在描述位置關(guān)系時，學(xué)生的說法可能較多，教者要引導(dǎo)學(xué)生表述為：“繞（）點，（）時針方向，旋轉(zhuǎn)（ ）度?！绷硪环矫?，要注重書面語言對形象的定性。即出示圖形時，要配以適當(dāng)?shù)奈淖终f明。如“長方形的面積”，出示一組長方形，習(xí)慣用語是“求下列圖形的面積”，其理由是小學(xué)幾何是直觀幾何，允許學(xué)生“看出像什么，就是什么”，理所當(dāng)然但值得商榷，應(yīng)該準(zhǔn)確地表述為“求下列長方形的面積”，有意識地語言介入，會幫助學(xué)生逐步擺脫單純的直觀依賴。

2.數(shù)值與圖形的結(jié)合

“數(shù)形結(jié)合”包含兩方面的轉(zhuǎn)化：一是從數(shù)量的解讀到圖形的解讀，以形助數(shù)；二是從圖形的解讀到數(shù)量的解讀，以數(shù)解形。小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，前者運用較多，即在圖形的輔助下，化抽象為直觀，實現(xiàn)規(guī)律的尋覓與解法的探究。但在圖形與幾何領(lǐng)域的教學(xué)中，我們既需要對圖形以及位置關(guān)系等進(jìn)行定性的刻畫，又離不開定量的刻畫。在空間觀念的培養(yǎng)中，數(shù)與形的結(jié)合其價值主要表現(xiàn)在以下兩個方面：一是降低空間想象的難度。如“面積單位”總復(fù)習(xí)，有這樣的習(xí)題：一間舞蹈房的地面面積大約40（ ）。要求在括號里填入合適的面積單位，教學(xué)中有一定的難度，個別學(xué)生正確填空后，仍然無法確定，因為學(xué)生腦中有1平方米的表象，40平方米有多大，即使成年人也不一定能夠想象。這時，我們可以進(jìn)一步豐富數(shù)值，根據(jù)長方形面積=長×寬，將“40”拆分為兩個數(shù)的積：40×1，20×2，10×4，8×5，然后引導(dǎo)學(xué)生展開想象。二是提升空間推理能力。如“用12 個邊長1 厘米的小正方形，拼成一個長方形，有幾種拼法？拼成的長方形周長、面積各是多少？”由于數(shù)值的參與，題目的內(nèi)涵深刻許多，在拼組與計算的過程中，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：面積一定，當(dāng)長、寬越接近時，周長越小，反之也成立。同樣的邏輯在立方體的相關(guān)題型中一樣具備。事實上，在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合”既是一種數(shù)學(xué)思想，同時也表現(xiàn)出一定的教學(xué)法的意義。

（三）化解兩種障礙

1.前概念障礙

生活中，學(xué)生對于線、體、面的大小、長短以及位置關(guān)系等有著廣泛的接觸，前概念的影響明顯。一方面來源于先入為主的日常生活經(jīng)驗。以“線段、射線、直線”的認(rèn)識為例，在生活中，線段是學(xué)生接觸最多的，如物體的邊沿等，而射線、直線很少見（尤其是直線幾乎見不到），學(xué)生很難想象，直線、射線可以無限延伸、無限長，在學(xué)生的認(rèn)知中，只要是直的線就是直線。即使對于線段，所見到的也沒有端點，因此，學(xué)生經(jīng)常忘記標(biāo)記線段的兩個端點，無法確信直線和射線的長度無法比較等。另一方面來源于語詞帶來的曲解。如“角的認(rèn)識”，在學(xué)習(xí)這一幾何概念前，學(xué)生已有的經(jīng)驗是語文學(xué)科教學(xué)中的“墻角”“桌角”“牛角”“羊角”等，并且學(xué)生知道，牛角比羊角大。因而，在教學(xué)角的大小與邊的長短的關(guān)系時，學(xué)生困難重重。此外，教學(xué)中，標(biāo)準(zhǔn)圖形的過渡強化也容易產(chǎn)生干擾，比如“等腰三角形”，教材給出的多為頂角在上、底邊水平放置的圖形，這樣的圖示，有利于結(jié)合生活經(jīng)驗理解概念（腰、頂角、底角），但過渡的強化，往往使得學(xué)生在面對倒立或者斜放的等腰三角形時，無法判斷相關(guān)概念。面對學(xué)生的前概念，教學(xué)中，教者應(yīng)該適時地引入相關(guān)幾何概念的生活原型，注重變式（形體位置等）練習(xí)，在對比中強化概念的教學(xué)。

2.知覺障礙

從知覺層面看，以下兩種障礙影響著學(xué)生空間觀念的形成：一是空間識別障礙，是指對物體的形狀、長度、高度、大小以及位置關(guān)系等的識別障礙。這一障礙也體現(xiàn)出學(xué)生空間識別能力發(fā)展的階段性，如小學(xué)低年級學(xué)生對于比較近的對象有一定的識別能力，而對于比較遠(yuǎn)的對象識別困難。再如兩個大小不同的正方體，起初學(xué)生只能進(jìn)行定量的判斷，誰大誰小，隨著認(rèn)知能力與水平的積累，學(xué)生逐漸可以進(jìn)行定量的刻畫，大一點還是大得多？兩者大約是幾倍的關(guān)系等。當(dāng)然，空間識別能力在學(xué)生個體發(fā)展中具有差異性，有的學(xué)生發(fā)展得比較快，稍加練習(xí)即可，有的學(xué)生則需要多次訓(xùn)練、不斷強化。二是視覺知覺障礙。主要表現(xiàn)為：不能積極而有效地運用視覺知覺符號與大腦中儲存的圖式與概念建立聯(lián)系[9]。如觀察長方體，學(xué)生會習(xí)慣性地猜摩它的原型（是一個什么物品的包裝盒）、大小、顏色等。而不能聯(lián)結(jié)“長”“寬”“高”“棱”等概念，無法建立“表面積”“體積”等表象。在面對具體的問題情境時，熟知表面積、體積的計算公式，可能還會十分困難。事實上，知覺障礙不僅存在于學(xué)生的學(xué)習(xí)中，成年人同樣具有。教學(xué)時，一方面要基于直觀也要超越直觀，及時地抽象；另一方面，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的“數(shù)學(xué)化”的過程，學(xué)會用數(shù)學(xué)的方式觀察思考等，從而巧妙化解上述障礙。

綜上所述，“空間觀念”的建立有其自身的特征。小學(xué)生“空間觀念”的培養(yǎng)需要立足生活的原型，也需要一定的想象能力。教學(xué)中，應(yīng)該直面學(xué)生的認(rèn)知障礙，引領(lǐng)學(xué)生多種感官的參與，注重教學(xué)方式的豐富性，以促進(jìn)學(xué)生“空間觀念”的發(fā)展與提升！▲